离散数学函数

1、第五章 函数 函数是一个基本的数学概念，应用范围很广，在计算机科学中，如计算理论 、编译理论、数据库理论、软件工程、计算机安全保密，操作系统等理论都要用到函数。 函数也叫变换、映射。 本章主要介绍函数的概念、函数的复合运算、逆函数，以及集合的基数。,5-1 函数的基本概念,一.函数的概念 1.函数：X、Y是集合，f 是从 X 到 Y 的关系，如果对任何的xX，都存在唯一的yY，使得f, 则称f 是从X到Y的函数 (变换、映射)，记作f: XY, 或 如果f:XX是函数, 也称 f 是X上的函数。 下面给出A=1,2,3上几个关系，哪些是A到A的函数？,下面是大家熟悉的实数集合上的几个关系，哪些

2、是R到R 的函数？ f=|x,yRy= g=|x,yR x2+y2= 4 h=|x,yRy= x2 r =|x,yRy=lgx v =|x,yRy= 2.自变元与函数值(像源与映像) ：f:XY, 如果f, 称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。 f y=f(x),3.定义域、值域和陪域(共域) ：f:XY, f的定义域(domain)，记作dom f，或Df 即 Df =dom f=x|xXy(yYf) Df =dom f=X f的值域(range) ：记作ran f， 或Rf 即或f(X) Rf =ran f=f(X)=y| yYx(xXf) Rf = ran f Y

3、f的陪域(codomain): Y 称之为 f 的陪域。,二. 函数的表示方法 函数的关系图的特点： 每个节点都有且仅有一条往外发的弧线。 函数的矩阵的特点： 每行必有且只有一个1。 三.从X到Y函数的集合YX： YX = f | f:XY YX ：是由所有从X到Y的函数构成的集合。 问： X=1,2,3，Y=a,b 能构成多少个从X到Y的函数？,例 X=1,2,3 Y=a,b， 所有的从X到Y函数: YX =f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8 如果X和Y是有限集合，|X|=m,|Y|=n，因为X中的每个元素对应的函数值都有n种选择，于是可构成nm个不同的函数，因此 |YX|=|Y

4、|X|=nm, 可见符号YX 有双重含义.,四. 特殊函数 1. 常值函数：函数f:XY ，如果y0Y, 使得对xX, 有f(x)=y0 , 即ran f=y0 ,称f是常值函数。如上例的f1和f8。 2.恒等函数：恒等关系IX是X到X函数，即IX:XX, 称之为恒等函数。 显然 对于xX，有 IX(x)=x 。,五 .两个函数相等 设有两个函数 f:AB g:CD, f=g 当且仅当 A=C，B=D，且对任何xA，有f(x)=g(x)。 即它们的定义域、陪域相等、映射也相同。 六. 函数的类型 先看下面例子：,一对一,一一对应,1.满射的：f:XY是函数，如果 Rf=Y, 则称f 是 满射的

5、。即对任意yY，都存在xX, 使得 f(x)=y。 2.映内的：f:XY是函数，如果 RfY 则称f 是映内的。 3.入射的：f:XY是函数，对于任何 x1,x2X, 如果 x1x2 均有f(x1)f(x2), (或者若f(x1)=f(x2),则x1=x2), 则称f 是入射的(单射的，一对一的)。 4.双射的：f:XY是函数，如果 f 既是满射的，又是入射的，则称 f 是双射的，也称f 是一一对应的。,定理 令X，Y为有限集合，若X和Y的元素个数相同，则 f:XY是入射的，当且仅当它是满射的。 例：判断下列函数类型 f:RR f:RR f:RR y=ax+b y=x2 y=2x 双射的 映内

6、的 映内的 入射的,思考：满射函数、入射函数、双射函数的关系矩阵及关系图有什么特点？ 本节重点掌握：函数的定义、函数相等的定义、函数映射类型的判定。,5-2 函数的复合,由于函数就是特殊的关系，关系的复合运算： 设R是从X到Y的关系，S是从Y到Z的关系，则R和S 的复合关系记作RS ，定义为： R S =|xXzZy(yY RS) 定义: f:XY, g:YZ是函数,则 g f =|xXzZy(yY fg) 称g在函数 f 的左边可复合 (左复合)。,定理：两个函数的复合是一个函数。 证明：略。 注意:这里把g写在f的左边了.所以叫左复合. 这样写是为了照顾数学习惯: gf(x) = g( f

7、(x) ) 设： gf(x)=z于是gf,即yY, 使fg 即y=f(x)且z=g(y), 于是 z=g(f(x) 所以 gf(x) g(f(x),二. 复合函数的计算 计算方法与复合关系的计算相同， 但要注意是左复合。 例 f:XY, g:YZ X=1,2,3 Y=1,2,3,4, Z=1,2,3,4,5, f= , g= , g f= , , =,3,3 用有向图复合:,例 令f和g都是实数集合R上的函数,如下: f=|x,yRy=3x+1 g=|x,yRy= x2 + x 分别求 g f 、 f g 、 f f 、 g g g f(x)=g(f(x)=(3x+1)2+(3x+1)=9x2

8、+9x+2 f g (x)=f(g(x)=3(x2+x) +1=3x2+3x+1 f f (x)=f(f(x)=3(3x+1) +1=9x+4 g g (x)=g(g(x)=(x2+x)2+(x2+x)=x4 +2x3 +2x2 + x 可见复合运算不满足交换性。,三.函数复合的性质 1.定理5-2.1 函数的复合运算满足可结合性。 设 f:XY, g:YZ, h:ZW 是函数, 则 (h g) f=h (g f) 证明：与关系复合的可结合性证明类似，但要注意，要有函数相等的定义去证明。,2.定理5-2.2 设f:XY, g:YZ是两个函数, 则 如果f和g是 满射的，则 g f 也是满射的；

9、 如果f和g是入射的，则 g f 也是入射的； 如果f和g是双射的，则 g f 也是双射的。 证明： 设 f 和 g 是满射的，因g f :XZ, 任取zZ, 因 g:YZ是满射的，所以存在yY,使得 z=g(y), 又因 f:XY是满射的，所以存在xX, 使得 y=f(x), 于是有 z = g(y) = g(f(x) = g f (x), 所以 g f 是满射的。, 设 f 和 g是入射的，因 g f :XZ, 任取x1, x2X, x1x2，因 f:XY是入射的，f(x1)f(x2) , 而 f(x1) ,f(x2)Y，因 g:YZ是入射的，g(f(x1)g(f(x2) 即 g f (x

10、1) g f (x2) 所以g f 也是入射的。 由可得此结论。,3.定理5-2.3 设f:XY, g:YZ是两个函数, 则 如果 gf 是满射的，则g是 满射的； 如果gf 是入射的，则 f 是入射的； 如果 gf 是双射的，则 f 是入射的且 g是 满射的。 此定理的证明是今天的作业。 156页题(3)。,4.定理5-2.4 f:XY是函数, 则 f IX= f 且 IYf=f 。 证明：先证明定义域、陪域相等。 因为 IX:XX， f:XY，所以 fIX : XY, IY f : XY 可见fIX、IYf 与 f 有相同的定义域和陪域。 再证它们的映射相同：任取xX， fIX(x)=f(

11、IX(x)=f(x) IYf (x)= IY(f(x)=f(x) 所以 fIX = f 且 IY f = f 。,5-3 逆函数,R是A到B的关系，其逆关系RC是B到A的关系。 RC=|R f:XY ， fC:YX 是否是个函数？ 请看下面的例子： 显然 fC 不是函数。 可见如果一个函数不是双射的， 它的逆就不是函数。,一.逆函数定义： 设 f:XY 是双射函数，fC:YX 也是函数, 称之为 f 的逆函数，记为f-1。 f-1存在，也称f 可逆。显然，f-1也是双射的函数。 二.性质 1.定理5-3.1 设 f:Xy 是双射函数， 则 (f-1)-1= f 。 证明从略,2.定理5-3.2

12、 设f:XY是双射的函数，则有 f-1 f= IX 且 f f-1 = IY 。 证明：证 f-1 f= IX 先证明定义域、陪域相等。 因为 f:XY是双射的，f-1:YX也是双射的，所以 f-1 f :XX , IX:XX 可见f-1 f 与IX 具有相同的定义域和陪域。 再证它们的映射相同：xX，因 f:XY，yY, 使得 y=f(x), 又f 可逆，故 f-1(y)=x，于是 f-1 f (x)=f-1(f(x)=f-1(y)=x= IX (x) 。 综上 f-1 f= IX 注：当f 可逆， y=f(x) f f-1 x= f-1(y) 同理可证 f f-1 = IY 。,例子： 可

13、见 f-1 f = IX 。 3.定理5-3.3 令 f:XY, g:YX 是两个函数, 如果g f= IX 且 f g = IY , 则 g= f-1，且f = g-1。 证明：先证 f 和 g都可逆。因为g f= IX，IX是双射的，由函数复合性质3得， g是 满射的且f是入射的。同理由 f g = IY，得f 是 满射的且g是入射的。所以f和g都可逆。 其次 f-1 :YX，与g具有相同的定义域和陪域。 g-1 :XY，与f具有相同的定义域和陪域。,再次证明它们的映射相同。 任取 yY， f-1(y)= f-1 ( IY (y) = f-1 IY (y) = f-1 (f g) (y)

14、= (f-1 f) g (y) = IX g(y) = IX (g(y) =g(y) 同样可证 g-1(x)= f(x) 综上得 f-1 =g， g-1 =f 顺便说明： g f= IX 且 f g = IY 必须同时满足，缺一不可，才有 f-1 =g 及 g-1=f 例如 此例仅满足g f=IX , 可看出 f与 g都是非双射的，所以均不可逆。,4.定理5-3.4 令 f:XY, g:YX是两个双射函数, (g f) -1 =f -1 g-1 此定理与关系的复合性质(R S)C=SCRC 类似，证明略。 作业： 设 f:XY，g:YZ，h:ZW 是函数, 则 (h g) f=h (g f)

15、第156页 (1) , (3)， (4)课堂已经证明，看自己是否可以做。 (5)有误，改成： 若 (g f) -1是一个函数， 则 f是满射 及 g是入射 不一定成立。,*5-4 集合的特征函数与模糊子集,一.集合的特征函数 以前学过集合A的幂集P(A), 下面是将A的各个子集与 函数(称之为集合的特征函数)建立一一对应的关系.集合 的特征函数在模糊数学中有直接的应用. 1.定义:令E是全集, A是E的子集,定义函数 A: E0,1 对任何xE ,有 1 xA A (x)= 0 xA 称是A: E0,1子集A的特征函数. 下面以E=a,b,c为例, 看看E的各个子集的特征函数., 个,A,A

16、(x),x, c b b,c a a,c a,b a,b,c,a 0 0 0 0 1 1 1 1,b 0 0 1 1 0 0 1 1,c 0 1 0 1 0 1 0 1,用集合的特征函数可以进行集合的运算和表示集合间的 关系. 2.性质 令A,B是全集E的子集, 1) A=x(A(x)=0) 2) A=Ex(A(x)=1) 3) ABx(A(x) B(x) 证明:任取xE, 从下表看出ABx(A(x) B(x),4) A=Bx(A(x)=B(x) 5) ABx(A(x) B(x)x(B(x)=1A(x)=0) 6) AB(x) =A(x)B(x) 证明:任取xE 7) A (x)=1-A(x)

17、 证明:任取xE xA xA A(x) A (x) 1-A(x),8). AB(x) =A(x)+B(x)-AB(x) 证明:任取xE 所以 AB(x) =A(x)+B(x)-AB(x) 9) A-B(x) =A(x)-AB(x) 证明:任取xE A-B(x) =AB(x) =A(x)B (x) = A(x)(1-B (x)=A(x)-A(x)B (x) = A (x) -AB(x),应用上述公式可以一些集合公式.例如证明吸收律: A(AB) =A 证明:任取xA, A(AB)(x) =A(x)+AB (x)-A(AB)(x) =A(x)+AB (x)-AB(x)=A(x) 二.模糊子集 前边

18、讨论的集合是表示一个确定的概念. 即对任何元素a, 要么aA,要么aA,是确定的. 而在实际生活中,许多概念是模糊的,比如,青年人,老年 人, 凉, 热等都是模糊概念. 比如一般认为70岁以上是老年 人, 30岁以下不是老年人, 那么, 50岁是否老年人就没有明 确的回答. 对这些概念用以前的集合论方法研究就不适用 了. 所以产生了模糊集合论.,模糊集合论是美国学者L.A.Zaden 在1965年创立的. 模 糊集合是模糊数学的基础, 模糊数学不是让数学变成模糊 的东西, 而是让数学进入模糊现象的领域. 模糊数学是借用数学工具,通过模仿人类的思维,描述和 处理模糊概念. 现在已有了模糊语言,模

19、糊自动机,模糊算法,模糊推理, 模糊控制等, 总之模糊数学已经得到广泛地应用. 下面介绍模糊集合的基本概念. 1.定义: E是个论域, E上一个模糊子集 是指:存在一个函 数, 注意:,定义说明: 例子.令E= , , , , 表示E中“圆形”的模糊子集. 表示E中“方形”的模糊子集. 它们的隶属函数如下:,E 0,1 E 0,1 E= , , , , 2. 模糊子集的表示方法 1).序偶的集合表示 2).用Zaden记号表示,3).用有序n元组表示 4).用函数表达式或曲线表示 例如,以年龄为论域, E=0,1,2,3,200, Zaden给出了 “年老- ”“年青 - ”两个模糊子集的隶属

20、函数表示为:,3. 模糊集合的运算,*5-5 哈希(Hashing)函数简介,哈希函数也称散列函数主要用于数据的存贮和检索. 例如,一个比较大的公司, 有很多职员(人数基本确定), 如将这些职员的信息顺序存放到计算机中(即顺序存放到 一个单链表中), 那么查找某个人的信息很不方便,只能从 头到尾逐个进行比较，特别是要查找的那个人的信息放 在最后, 要耗时很多，显然这样的存贮方式是不合适的. 如果采用多链表, 那么新来一个职员, 那么他的信息要 存放到哪个链表呢? 假定用七位数字表示一个人的代码(称为关键字(key), 它是一个职员的唯一标识.,假定该公司约有1万人, C=c1, c2, c3,

21、 ,c10000, 每个 Ci有一个key. 假设该公司的计算机在可接受的时间内可 以查含有100项的一个链表, 即每个 链表中可以存放100 个人的信息. 于是可以用101个链表可以存放所有职员的 信息. 那么一个职员的信息放在哪个链表里呢? 可以通过一 个哈希函数h:C0,1,2,100 来分配. 令i(是个有七位数字数)是一个职员的代码(key), h(i)=i(mod 101) 例如 i=2473871 则, h(2473871)=2473671(mod 101)=78 表明这个职员的记录存放在第78号链表中. 当然我们希望函数h是入射的, 即不同职员的代码i1 ,i2 对应的函数值h

22、(i1)和 h(i2)不同, 这样便于查找职员信息.,但设计这样的函数并不容易,特别是数据量很大时. 上述函数 h 不是入射的, 如 i=24736697 时, h(24736697)=78 出现这种现象,称之为冲突. 设计一个好的哈希函数, 应该 是冲突越少越好. 解决冲突的方法很多, 例如 1. 链地址法: 哈希函数值相同的放在同一个线性表中. 2. 建立一个公共溢出区: 专门存放冲突数据. 3. 再哈希法: 再用另一个正整数m , 再散列一次. 等等. 另外构造哈希函数的方法也很多, 不一定是对 key(mod m), 还有如: 1. 直接定址法: h(key)=key 或 h(key)

23、=a.key+b,2. 数字分析法:关键字是以r为基数, (关键字是已知的), 可以取关键字的若干数位组成哈希地址. 3. 随机数法: h(key)=random (key) random() 是个随机函数. 当key的长度不等时, 通常用此方法. 一个好的哈希函数, 使得一个关键字经过哈希函数得到一个“随机地址”, 以便使得一组关键字的哈希函数地址均匀地分布在整个地址区间, 从而减少冲突.,5-6 集合的基数,本节主要借助于函数讨论集合的所谓“大小”问题。这 里用到自然数集合这个重要的概念。 一.自然数 如何给自然数定义，每个自然数n ,就是个集合。 1.集合A的后继集合A+ A是个集合，A

24、的后继集合A+ 为： A+ =AA 例如: A: A+ : =0 0+= =1=0 =1 1+= ,=2=0,1 ,=2 2+= ,=,=3=0,1,2 . .,2.自然数集合N的定义(Peano公理) 1). 0N 这里 0= 2). nN, 则 n+N, 这里n+ =nn 3). 不存在 nN, 使得 n+ =0 0是最小的自然数 4). 若n+= m+ , 则 n=m 后继数的唯一性 5). 如果 SN ，且 0S nS, 则 n+S 则 S=N。 从此定义得 n=0,1,2,3,n-1, 所以有： 0123. 0 1 2 3 自然数的这个定义，解释了许多数学问题，是一个很准 确的抽象。

25、因为0,1,2,3,.本身就是个抽象的概念。,N的极小性,二. 集合的等势,比较两个集合的“大小”有两种方法： 数集合中元素的个数。这只使用于有限集合。 看两个集合的元素间是否有一一对应的关系(双射)。 这种方法既适用于有限集合，也适用无限集合。 1.定义：A是B集合，如果存在双射f:AB，则称A与B等 势。记作AB。 例如下面集合间是等势的。 N=0,1,2,3,4,. A=0,2,4,6,8,. f:NA，f(x)=2x B=1,3,5,7,9,. g:NB， g(x)=2x+1 C=1,10,100,1000,10000,. =100,10,102,103,104,. h:NC， h(x

26、)=10 x,2.集合间的等势关系“”是个等价关系 令S是个集合族(即“所有集合构成的集合”)，在S上的等势关系，满足： 自反性：因为任何集合A有双射IA:AA， 所以 AA 对称性：任何集合A,B，若AB，有双射 f:AB, 于是f -1 :BA亦是双射，所以 BA。 传递性：任何集合A,B,C，若AB，且BC，则有双射 f: AB 和 双射 g: BC，而函数的复合 gf: AC 亦是双射函数，所以 AC。 所以 是等价关系。 按照等势关系“”对集合族S，进行划分，得到商集 S/，进而得到基数类的概念。,三. 基数类和基数,1.基数类 S是集合族，“”是S上的等势关系，相对的等价类 称之为

27、基数类。 S=0,1,1,a,2,0,1,a,b,3,0,1,2,N,I,R,. S/=0,1,2,3,N,R,. 任何集合A，必属于且仅属于一个等价类。如 a,b,0,14, 因为a,b,0,1与4(即集合0,1,2,3)等势。 偶数集合E=0,2,4,6,8,.N, 因为EN. 2.基数 给定集合A，A所属于的基数类，称之为A的基数，记 作KA。 如A=1,2, A2, KA=2, 简记成 KA=2 如B=a,b,c, B3, KB=3, 简记成 KB=3,2.基数 给定集合A，A所属于的基数类，称之为A的基数，记作KA。 如A=1,2,A2, KA=2, 简记成 KA=2 如B=a,b,

28、c,B3,KB=3, 简记成 KB=3 采用这种简单记法，使得对于有限集合A，KA=|A|。 四.有限集合与无限集合 凡是和某个自然数n等势的集合，都称之为有限集合；否则是无限集合。 如A=a,b,c,d,e，A与5(0,1,2,3,4)等势，故A是有限集。,五.可数集合及其基数 1.自然数集合N的基数 因为N不可能与某个自然数n等势。所以N的基数不能是有限数，就用一个“无限大”的数0(读:阿列夫零)表示，即KN= 0 。 2.可数集: 与自然数集合N等势的集合，称之为可数集。 A=0,2,4,6,8,. f:NA f(n)=2n B=1,3,5,7,9,. g:NB g(n)=2n+1 C=

29、100,101,102,103,. h:NC h(n)=10n 都是可数集合。,3.可数集的判定 定理5-6.1 集合A是可数集，充分且必要条件是可将A的元素写成序列形式，即 A= a0,a1,a2,a3,. 证明的过程很简单，这里从略。因为这样A就可以与N之 间建立一一对应。 例如整数集合IN、有理数集合QN。 因为I可以写成：I=0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,. 即可将I中元素从0开始按照箭头指定次序排列： 所以 I 是可数集。,因为每个有理数都可以写成一个分数形式如下： | 可以从0/1开始按照箭头指定次序排列Q中元素(如果这 个有理数在前面出现，就跳过去)， 所以Q是可数

30、集。 另外 IIN 以及 NNN 如右图所示。 同理可证NNN 4.至多可数集：有限集合和可数集统称为至多可数集。,六.不可数集合及其基数 1.实数轴上的(0,1)区间中的实数是不可数的。 证明：假设(0,1)是可数的，则可以将它的元素写成如下 序列形式：x1,x2,x3,. ,其中 xi =0.ai1ai2ai3 i=1,2,3,. 即 0 xi1 aik0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 k=1,2,3,4, 令 x1 =0.a11a12a13a14. x2 =0.a21a22a23a24. x3 =0.a31a32a33a34. . xn =0.an1an2an3an4. . 构造一

31、个数b=0.b1b2b3b4bn，其中 b1a11 b2 a22 b3a33 bn ann. 于是 bx1, b x2, b x3 . b xn b(0,1) 产生矛盾，所以(0,1)是不可数的。.,2.连续统基数 (0,1)区间的基数是一个比N的基数0更大的无限大的 数,用(阿列夫)表示。即0 。 整个实数集合R(0,1) 证明：构造函数f: (0,1) R f(x)=tg(x-/2) 显然 f是双射的，所以 (0,1)R。 实数轴上的任何一段连续区间(a,b)的基数都是，所 以称之为连续统基数。 3.计算公式 KA1=KA2=. =KAn=, 则 KA1A2.An = KA=KB=, 则

32、KAB =,KA= KB=0 , (或KB=n), (B是至多可数集) 则 KAB = 七. 基数的比较 下面讨论 无限集合的“次序”问题. 定理5-6.2 如果集合A到B存在入射函数, 则KAKB. 定理5-6.3(Zermelo定理) A和B是任何集合, 则以下三条之一必有一个成立: a.) KAKB b.) KBKA c.) KA=KB 比较两个集合基数相等时，要看这两个集合之间是否存在双射，但是找双射往往比较困难, 为了解决这个问题, 提出下面定理：,定理5-6.4(Contor- Schroder- Bernstein定理) A和B是任何集合，如果 KAKB 且 KBKA 则 KA=

33、KB。 这三个定理的证明都超出我们的范围。 用这些定理可对集合基数进行比较。 例如. 证明0,1与(0,1)等势. 证明:构造两个入射函数: f:(0,1)0,1 f(x)=x g:0,1(0,1) g(x)= 因为f和g都是入射的, 所以有K(0,1)K0,1 且 K0,1K(0,1) 所以K0,1=K(0,1),定理5-6.5 设A是有限集合, 则KA 0 . 证明:令KA=n 于是A0,1,2, n-1=B 显然KA=KB。构造一个函数 f:B N，f(x)=x 显然f是入射的，所以 KBKN，另外N与B之间不可能存在双射，所以 KBKN 所以 KBKN，即 KA 0 ； 再构造函数 g

34、:N0,1 g(n)= , 显然g 也是入射的，所以0 ，另外N与0,1之间不可能存在双射 , 所以 KNK0,1 于是 KNK0,1，即0 所以最后得 KA 0 .,定理5-6.6 设A是无限集合, 则0 KA 证明:因为A是无限集合，所以A必包含一个可数无限子集B，构造函数 f:BA ， f(x)=x 显然 f是入射的，但是KBKA，而KB=0，所以0KA。 可见可数集合是“最小的”无限集合。 连续统假设: 不存在集合A使得 0 KA 到目前为止, 该假设既没有被证明, 也没有被否定. 但是有人已证明, 根据现有的公理系统, 既不能证明它是 正确的, 也不能证明它是错误的. 本节主要了解自

35、然数的定义，集合的等势概念，基数的 概念，可数集合与不可数集合的概念及它们的基数。,作业：P164（1）b）（4）P170（1） 本章小结： 重点掌握内容： 函数的概念、类型 函数的复合、求逆 *了解集合的特征函数、了解集合的基数概念、可数集概念。,习题课,P151(1). 判断下面函数的类型： a) f:II，f(j)=j(mod 3) ran f=0,1,2 f(1)=f(4). 映内的 b) f:NN，f(j)= ran f=0,1 f(1)=f(3). 映内的 c) f:N0,1，f(j)= ran f=0,1 f(1)=f(3). 满射的 d) f:IN，f(i)=|2i|+1 ran fN f(1)=f(-1). 映内的 e) f:RR，f(r)=2r-15 ran f=R，f 满射的 x,yR, xy, 则f(x)f(y) f入射，所以f 双射。,(3).设f和g是函数，fg,且dom gdom f, 证明 f=g . 证明：a) 先证明dom gdom f, (已知dom gdom f 往证dom fdom g)