高等流体力学—理想不可压缩流体无旋运动

1、1,第七章 理想不可压缩流体无旋运动,2,第一节引言,一、不可压缩理想流体无旋运动模型 1）理想：粘性力 惯性力的区域，忽略粘性力作用，简化方程 例如绕流问题中边界层以外区域的流动。不脱体绕流流动在研究压力场和速度场时可不计边界层，近似看成理想流体绕流物体流动。,3,第一节引言,一、不可压缩理想流体无旋运动模型 2）不可压缩： 液体，通常情况下。 气体，低速绕流运动（流速 声速）， 例如飞机速度100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模型是对一类广泛存在的

2、流动问题的理想近似。,4,N-S方程,运动方程,本构方程,为常数,5,第一节引言,二、基本方程组,方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关联，需要联立求解,初始条件：t=0时,边界条件：,6,若运动无旋，则：,存在势函数，满足：,代入连续性方程，得：,拉普拉斯方程：线性的二阶偏微分方程,7,若流体是理想不可压缩的，外力有势，且运动无旋，则运动方程可以积分求解，得到拉格朗日积分方程：,8,对理想不可压缩流体无旋运动，方程组和初始、边界条件为：,适用范围：粘性力 惯性力或其他力的区域，忽略粘性力作用,9,第二节理想不可压缩流体平面无旋运动,一、平面定常运动 条件： 1

3、) 稳定流动，随时间变化可忽略不计； 2) 所研究的流动区域在一个方向的尺寸比其他两个方向大得多； 3) 流体参数在小尺寸的方向上变化很小，基本为定值；,数学表达 1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0； 2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：,10,绕无限翼展的流动(平面流动),11,绕有限翼展的流动(三维流动),12,第二节理想不可压缩流体平面无旋运动,二、速度势函数 对平面运动：w=0,13,第二节理想不可压缩流体平面无旋运动,二、速度势函数 对平面无旋运动：w=0,速度分量满足的关系,存在势函数 满足：,14,第二节理想不可压缩流体平面无旋运动,若平面无旋运动

4、速度分布v已知，则势函数为：,速度势函数 满足下列性质：,M与M0分别为流场中任意两点,1) 速度势函数可允许相关一任意常数，而不影响流体的运动； 2) 常数是等势线，它的法线方向和速度矢量的方向重合：,15,第二节理想不可压缩流体平面无旋运动,3) 沿曲线MM0的速度环量等于这两点处势函数的差值：,M与M0分别为流场中任意两点,4) 若研究的流动区域是单连通区域，则由于封闭回线的速度环量,因此速度势函数是单值函数。,16,第二节理想不可压缩流体平面无旋运动,单连通区域：如果区域内任两点都可用区域内的一条曲线连接，则这样的区域是连通的。如果在连通的区域内任一封闭曲线可以不出边界的连续收缩到一点

5、，则此连通区域称为单连通区域,球体内部单连通,圆环内部双连通,17,第二节理想不可压缩流体平面无旋运动,平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：,速度势函数满足二维坐标系下的拉普拉斯方程,18,三、流函数 由连续性方程：,存在一个函数，满足：,称为流函数,M与M0分别为流场中任意两点,19,流函数 满足下列性质：,1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动； 2) 常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：,根据定义，流线方程为：,常数是流线,20,第二节理想不可压缩流体平面无旋运动,3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：,N与N0分别为流场中任意两点,21,第二节

6、理想不可压缩流体平面无旋运动,3) 通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：,22,第二节理想不可压缩流体平面无旋运动,3) 通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：,曲线积分,坐标积分,全微分函数的积分,与积分路径无关,23,第二节理想不可压缩流体平面无旋运动,4) 在单连通区域内若不存在源汇，则,因此流函数是单值函数。,平面无旋运动时，,流函数满足二维坐标系下的拉普拉斯方程,24,四、复位势与复速度 对理想不可压缩流体平面无旋运动，考虑速度势函数与流函数：,势函数与流函数间的关系：哥西黎曼条件,流线和等势线正交,25,四、复位势与复速度 构造一个复函数：,定义复速度：,实部速度

7、势函数,虚部流函数,26,四、复位势与复速度 当已知共轭复速度，可求得复函数：,1) 复函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动； 2) w(z)=常数等价于流函数和速度势分别等于常数，它们分别代表等势线和流线，且二者正交：,复位势的性质,3) 共轭复速度沿封闭回线C的积分，其实数部分为沿该封闭回线的速度环量，而虚数部分则为通过封闭回线C的流量。,4) 在无源无涡的单连通区域内，w(z)是单值函数。,27,第三节理想不可压缩流体平面无旋运动 基本流动形态及数学表达,平面无旋运动,复位势（解析函数）,一一对应,基本解析函数的叠加,基本流动的组合,28,一、线性函数均匀流,a是复数,共轭复速度

8、,流线族,等势线族,29,二、点源与点汇,a是实数,用极坐标下的复数表达式,流线族,等势线族,30,a是实数,31,a是实数,点源,点汇,若点源不在坐标原点而在z0点，则复位势为：,32,三、点涡,b是实数,33,三、点涡,b是实数,点涡,若点涡不在坐标原点而在z0点，则复位势为：,34,四、倒数函数偶极子,m是实数,35,四、倒数函数偶极子,m是实数,36,第四节圆柱的无环量绕流,求解理想不可压缩流体无旋运动,(1) 正问题：给定物体，求绕流问题的复位势(解析函数),(2) 反问题：,给出复位势，反过来研究什么的平面无旋运动与之对应,选择基本流动的组合，并满足给定的边界条件,37,第四节圆柱

9、的无环量绕流,圆柱定常绕流问题的解由下列两个基本流动叠加起来：,(1) 速度为V（实数）的平行流；,(2) 矩为m，轴线方向与来流相对的偶极子；,复位势为：,38,39,0时，为零流线，即绕流的边界线,为圆柱定常绕流的流线,40,41,42,圆柱表面的切向速度,43,圆柱绕流的压力分布,在流线上根据伯努力方程，忽略重力影响，z=常数得：,44,圆柱绕流的压力分布,圆柱表面的压力分布,45,圆柱绕流的压力分布,圆柱表面的压力分布,46,圆柱绕流的压力分布,47,48,基本流动中涡旋，速度环量处处为零，称为无环量绕流,压力沿圆周对称分布，在x，y两个方向的合力为零在流动方向上阻力为零与实际流动不符达朗伯详谬(1752),在粘性力的作用下，在圆柱面上压力分布不对称，沿流动方向有合力，即产生流动阻力。,49,第五节圆柱的有环量绕流,旋转的圆柱，由于粘性的作用带动周围的气体产生圆周运动，放在横向的均匀平行气流中，所组成的复合运动,50,第五节圆柱的有环量绕流,圆柱的无环量绕流,圆心处强度为(0)的点涡,复位势：,51,流函数,势函数：,52,圆柱表面的切向速度,无环量绕流速度分布,环量产生的切向速度分布