空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题详细答案

1、【巩固练习巩固练习】 一、选择题一、选择题 1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1） ， （-1，1，2） ，则下列向量中是平面的法向 量的是( ) a. （-1，-2，5） b. （-1，1，-1） c. （1， 1，1） d. （1，-1，- 1） 2. 如图，是正方体，则与所成角的余弦值是 1111 abcdabc d 11 1111 4 ab b e =d f= 1 be 1 df （ ） a b 17 15 2 1 cd 17 8 2 3 3. 如图，是直三棱柱，点分别是的中点， 111 abcabc90bca 11 df、 1111 abac、 若，则与所成角的余弦值是（

2、） 1 bccacc 1 bd 1 af ab 10 30 2 1 cd 15 30 10 15 4. 若向量与的夹角的余弦值为，则( )(12)a，(21 2)b， 8 9 a b c或d2 或222 2 55 2 55 5. 在三棱锥中，点分别是的中点，pabc、abbc 1 2 ab=bc=paod、acpc、 底面，则直线与平面所成角的正弦值（ ）opabcodpbc a b 6 21 3 38 c d 60 210 30 210 6.（2015 秋 湛江校级期末）在正四棱锥 sabcd 中，o 为顶点在底面内的投影，p 为侧 棱 sd 的中点，且 so=od，则直线 bc 与平面 p

3、ac 的夹角是（ ） a30 b45 c60 d75 7. 在三棱锥中，点分别是的中点，pabc、abbc 1 = 2 ab bcpaod、acpc、 底面，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）opabcodpbc a b c d 21 6 8 3 3 210 60 210 30 二、填空题二、填空题 8若平面的一个法向量为，直线 的一个方向向量为，则 与所成330n、l111=b、l 角的余弦值为 _ 9正方体中，分别为的中点，则异面直线与所 1111 abcdabc def、 1 abcc、ef 11 ac 成角的大小是_. 10. 已知三棱锥sabc中，底面abc为边长等于 2 的等边三角

4、形，sa垂直于底面 abc，sa=3，那么直线ab与平面sbc所成角的正弦值为 . 11. 如图，正方形abcd所在平面与平面四边形abef所在平面互相垂直，abe是等 腰直角三角形，,45abae fafeaef ，则平面和平面的夹角余弦bdfabd 值是_. 三、解答题三、解答题 12. 如图，点在正方体的对角线上，.p 1111 abcdabc d 1 d b60pda （）求与所成角的大小；dp 1 c c （）求与平面所成角的大小.dp 11 a add 13. 如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，fabcd abcd 2ac 2bd ae 都与平面垂直，求平面与平面的夹角大小.cf

5、 abcd 1ae 2cf abfadf 14. 如图（1） ，在 rt中，90，3，6，分别是，abccbcacde、ac 上的点，且，将沿折起到的位置，使abdebc2de、adede 1 a de ，如图（2） 1 a ccd (1)求证：平面； 1 a cbcde (2)若是的中点，求与平面所成角的大小；m 1 a dcm 1 a be (3)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由bcp 1 a dp 1 a be 15(2016 浙江理)如图，在三棱台 abc-def 中，平面 bcfe平面 abc，acb90， beeffc1，bc2，ac3 ()求证：ef平面 acfd；

6、()求二面角 b-ad-f 的平面角的余弦值. 【答案与解析答案与解析】 1.【答案】b 【解析】排除法. 平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零. 排除 a，c，d，选项为 b. 2.【答案】a 【解析】设正方体的棱长为 1，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则dd-xyz 11 31 (1,1,0),(1,1),(0,0,0),(0,1) 44 bedf 所以， 1 31 (1,1)(1,1,0)(0,1) 44 be ， 1 11 (0,1)(0,0,0)(0,1) 44 df ， 1 17 4 be ， 1 17 4 df ， 11 1115 0 0() 1

7、 1 4416 bedf 所以， 11 11 11 cos, 15 15 16 . 171717 44 bedf be df bedf 因此， 1 be与 1 df所成的角的余弦值是 15 17 3.【答案】a 【解析】如图所示，以为原点建立的空间直角坐标系，c 则 111 1,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1 ,1,0,1 ,0,1,1 ,abcab 由中点公式可知， 11 1 11 101 2 22 df 、 ， 11 111 101 222 bdaf 、 . 11 1 -1 30 4 cos 1035 24 bdaf a 、 4.【答案】c 【解析】由可得，即，cos=a ba bab

8、a、 2 5510840 25520 即或.2= 2 55 = 5.【答案】d 【解析】 . 22214214 ,0,0 ,0,0 ,0,00 0.,0, 222244 opabcoaocabbc oaoboaopobop oopzoxyz aba aabacapdaa 平面， ， 以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图， 设，则 ， 214 ,0, 44 1 1,1, 7 210 cos,. 30 210 sincos, 30 210 . 30 odaa pbcn od n od n odn odpbc od n odpbc 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为， 则 与平面所成角

9、的余弦值为 6.【答案】a 【解析】如图，以 o 为坐标原点，以 oa 为 x 轴，ob 为 y 轴，以 os 为 z 轴，建立空间直 角坐标系 oxyz。 设 od=so=oa=ob=oc=a， 则 a（a，0，0） ，b（0，a，0） ，c（a，0，0） ，(0,) 2 2 a a p 则，(2 ,0,0),(,),( , ,0) 2 2 a a caaapacba a 设平面 pac 的一个法向量为，n 则，0,0n can ap ，可取， 20 220 ax ayaz (0,1,1)n ， 2 1 cos, 2| | 22 cb na cb n cbn a ，,60cb n 直线 bc

10、 与平面 pac 的夹角为 9060=30 故选 a。 7.【答案】d 【解析】 . 222 ,0,0 ,0,0 ,0,0 . 222 0,0,. opabcoaocabbc oaoboaopobop oopzoxyz abaaabaca ophph 平面， ， 以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图， 设，则 设，则 2 , 7 , 2 214 ,0, 44 1 1,1, 7 210 cos,. 30 210 sincos, 30 . paa ha odaa pbcn od n od n odn odpbc od n 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为， 则 8.【答案】 3 3

11、 【解析】 由，知 与所成角的余弦值为 22 (3,3,0) (1,1,)6 cos 3 331 1 1 n,bl . 63 1 93 9.【答案】30 【解析】 以 a 为原点建立直角坐标系（如图所示） ，设 b（2，0，0） ， 则 e（1，0，0） ，f（2，2，1） ，c1（2，2，2） ，a1（0，0，2） ， ，(1,2,1)ef 11 (2,2,0)ac ， 11 11 11 (1,2,1) (2,2,0)3 cos, 2| |6 2 2 ef ac ef ac efac z y x p o d c b a . 11 cos,30ef ac 10.【答案】 3 4 【解析】本题考

12、查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角. 过 a 作 ae 垂直于 bc 交 bc 于 e，连结 se，过 a 作 af 垂直于 se 交 se 于 f，连 bf，正三角形 abc， e 为 bc 中点， bcae，sabc， bc面 sae， bcaf，afse， af面 sbc， abf 为直线 ab 与面 sbc 所成角，由正三角形边长 3， 3ae ，as=3， se=2 3，af= 3 2， 3 sin 4 abf . 11.【答案】 3 11 11 【解析】 因为abe 为等腰直角三角形，ab=ae， 所以 aeab. 又因为平面 abef平面 abcd，ae平面

13、abef， 平面 abef平面 abcd=ab， 所以 ae平面 abcd. 所以 aead. 因此，ad，ab，ae 两两垂直，以 a 为坐标原点，建立 如图所示的直角坐标 系 a-xyz. 设 ab=1，则 b（0，1，0） ，d (1， 0， 0 ) ， e ( 0， 0， 1 )， c ( 1， 1， 0 ). 因为 fa=fe， aef = 45，所以afe= 90. 从而， 1 1 (0, ) 2 2 f. 所以， 设平面 bdf 的一个法向量为 1 n ，并设 1 n =（x，y，z）. ，1 10bd= 、 3 1 0 2 2 bf= 、 ， 由 得 0 0. n bd n b

14、f a a 、 0 31 0. 22 x y yz 、 取 y=1，则 x=1，z=3.从而 1 n113 （，）. 由 ae平面 abcd 可知，平面 abd 的一个法向量为 ， 0 01ae= 、 设平面和平面的夹角为，则bdfabd . 1 0033 11 coscos 1111 n ae= 、 12.【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设为单位长，则ddxyzda =，=. 连结，在平面 bb1d1d 内，延长 dp，交于点 h，bd 11 b d 11 b d 设=( m 0 )， 由条件知 = 60. 由=|cos ， 可得 2m =. 解得 m =.所以=. （）因为 c

15、os=， 所以=，即与所成的角的大小是 45.dp 1 cc （）因为平面的一个法向量是， 又 cos=， 所以=. 即与平面所成角的大小为 60.dp 11 a add 注意：由于点 p 在正方体 abcd-a1b1c1d1的对角线 d1b 上且pda=60，直接设点 p 的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与 dp 相关的角度问题，因此根据点 p 的位置特征只确定 dp 所在的直线的位置即可，因此出现上面解法. 显然尽管求解过程是 用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，体现了对学生全面的几何 方法的考查. 13.【解析】如图，以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系

16、. 设平面的法向量为，abf 则由得 令，得. 同理，可求得平面的法向量.adf 因为，所以平面与平面垂直.abfadf 所以平面与平面的夹角.abfadf 2 14.【解析】 15.【解析】 ()延长 ad，be，cf 相交于一点 k，如图所示 因为平面 bcfe平面 abc，且 acbc，所以 bfac 又因为 efbc，beeffc1，bc2， 所以bck 为等边三角形，且 f 为 ck 的中点，则 bfck 所以 bf平面 acfd ()方法一： 过点 f 作 fqak，连结 bq 因为 bf平面 ack，所以 bfak，则 ak平面 bqf，所以 bqak 所以，bqf 是二面角 b-ad-f 的平面角 在 rtack 中，ac3，ck2，得 3 13 13 fq 在 rtbqf 中，得 3 13 3 13 fqbf， 3 cos 4 bqf 所以，二面角 b-ad-f 的平面角的余弦值为 3 4 方法二： 如图，延长 ad，be，cf 相交于一点 k，则bck 为等边三角形 取 bc 的中点 o，则 kobc，又平面 bcfe平面 abc，所以，ko平面 abc 以点 o 为原点，分别以射线 ob，ok 的方向为 x，z 的正方向，建立空间直角坐标系 oxyz 由题意得 ，(1 0 0)( 1 0 0)(0 03)bc