初中数学辅助线技巧(含练习

1、.一、补成三角形1.补成三角形例 1.如图 1，已知 e 为梯形 abcd 的腰 cd 的中点；证明： abe 的面积等于梯形 abcd 面积的一半。分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。略证：2.补成等腰三角形例 2 如图 2.已知 a 90， ab ac ， 1 2， ce bd ，求证： bd 2ce分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现cf 2ce，再证 bd cf 即可。略证：3.补成直角三角形例 3.如图 3，在梯形 abcd 中， ad bc ， b c 90， f、 g 分

2、别是 ad 、 bc 的中点，若 bc 18， ad 8，求 fg 的长。分析： 从 b 、 c 互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长 ba 、cd，要求 fg，需求 pf、 pg。图 3略解：4.补成等边三角形例 4.图 4， abc 是等边三角形，延长 bc 至 d，延长 ba 至 e，使 ae bd ，连结 ce、 ed 。证明： ec ed分析： 要证明 ec ed，通常要证 ecd edc，但难以实现。这样可采用补形法即延长bd 到 f，使 bf be，连结 ef。略证：.二、补成特殊的四边形1.补成平行四边形例 5.如图 5，四边形 abcd 中， e、 f、 g、 h 分别

3、是 ab 、 cd 、ac 、 bd 的中点，并且e、 f、 g、 h 不在同一条直线上，求证：ef 和 gh 互相平分。分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论， 需考虑四边形gehf是平行四边形。略证：2.补成矩形例 6.如图 6，四边形 abcd 中， a 60，b d 90，ab 200m，cd 100m，求 ad 、 bc 的长。分析： 矩形具有许多特殊的性质， 巧妙地构造矩形， 可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。略解：图 63.补成菱形例 7.如图 7，凸五边形 abcde 中， a= b 120， ea ab bc 2，cd de 4，求其

4、面积分析：延长ea 、 cb 交于 p，根据题意易证四边形pcde 为菱形。略解：图 7.4.补成正方形例 8.如图 8，在 abc 中，ad bc 于 d， bac 45，bd 3，dc 2。求 abc 的面积。分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设 bac 45，ad bc 出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。略解：图 85.补成梯形例 9如图 9，已知： g 是 abc 中 bc 边上的中线的中点，l 是 abc 外的一条直线，自a 、 b、1c、 g 向 l 作垂线，垂足分别为a1、b 1、c1、g1。求证： gg

5、1 4 cc1 )。(2aa 1 bb 1分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过d 作 dd 1 l 于 d 1，则 dd 1 既是梯形bb 1c1c 的中位线，又是梯形dd 1a 1a 的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。图 9略证：三、练习 1、在 abc 中， ac=bc ，d 是 ac 上一点， 且 ae 垂直 bd 的延长线于e，又 ae=1bd ，2求证： be 平分 abc 。2、如图，已知：在abc 内， bac=60， acb=40，ap、 q 分别在 bc 、ca

6、上，并且ap、bq 分别是 bac 、 abc 的角 平 分q.bpc.线，求证： bq+aq=ab+bp3、已知： bac=90， ab=ac ， ad=dc ， ae bd ，求证： adb= cdeadbce4、设正三角形abc 的边长为2， m 是 ab 边上的中点， p 是 bc 边上的任意一点，pa+pm 的最大值和最22c小值分别记为s 和，求： s t的值。pabm.口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中

7、点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外