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1、不定积分,定积分,第三章 积 分,学习重点,原函数的概念及不定积分的概念,不定积分的计算,原函数的概念,定义 如果在区间 内的每一点处,有 或 则称 是 在区间 内的一个原函数 (antiderivative).,例如:因为,所以 是 在 内的一个原函数.,是 的( ),导函数 。,?,问题： 的导函数是 ，它的一个原函数是 。,问题：,引例：已知物体的运动方程为 ,则物体运动的即时速度 为 ;如果已知物体的运动方程为 ,则物体运动 的位移如何计算呢?,原函数的性质,1、如果有 ，则,2、如果 ，则 。,结论：如果函数 在区间 内有原函数 ，则 有无穷多个原函数，且所有的原函数可用式子 表示。

2、,原函数存在的充分条件,如果函数f(x)在区间I内连续，则函数f(x)在该区间内一定有原函数。,原函数与导函数的关系,不定积分的概念,函数f(x)在区间I内的所有的原函数构成的集合，称为函数 f(x)在区间I内的不定积分，记作 。,不定积分与导数的关系,先积分，后微分，形式不变；先微分，后积分，相差一个常数。,即,解,由于 ,所以 的一个原函数，,所以,解,因为,基本积分表 P94,（ 是常数）,不定积分的基本性质,不定积分的计算方法,直接积分法、换元积分法、分部积分法,第一类换元积分法,第二类换元积分法,不能漏写积分常数,直接积分法,例1,（4）,例1（3）,解 原式,分项积分法,（9）,例1（8）,直接积分法,解 原式,解 原式,（11）,例1（10）,解 原式,解 原式,例1（12）,解 原式,例1（13）,解 原式,我们有,但,应该是,利用一阶微分形式不变性：,第一类换元积分法,例2（1）,解,令 ，则,原式,（2）,解,令 ，则,原式,例2（3）,解 原式,一般地，求 ，令 ，则,例2（5）,解 原式,（4）,解 原式,偶次方化倍角,乘积化和差,例2（6）,解 原式,一奇一偶，则将奇次方的函数拆出一个，凑成另一个的微分,几个常用的三角公式,常用凑微分公式,（2）,例3（1）,解 原式,解 原式,（4）,例3（3）,解 原式,解 原式,例4（1）,（2）,解

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