高数同济§5.1 定积分概念与性质.ppt

1、5.1 定积分概念与性质,一、定积分问题举例,二、定积分定义,三、定积分的性质,上页,下页,结束,返回,首页,一、定积分问题举例,曲边梯形 设函数yf(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.,1.曲边梯形的面积,下页,如何求面积?,观察与思考,在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?,近似值？,下页,精确值？,求曲边梯形的面积,(1)分割:,ax0 x1 x2 xn1 xn b, Dxi=xi-xi1;,小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi

2、1xixi);,(2)近似代替:,(4)取极限:,设maxDx1, Dx2, Dxn, 曲边梯形的面积为,(3)求和: 曲边梯形的面积近似为 ;,下页,积分的辩证法:,量变,质变,2.变速直线运动的路程,已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段T1, T2内所经过的路程S.,(1)分割:,(2)近似代替:,(3)求和:,(4)取极限:,首页,T1t0t1t2 tn1tnT2, Dtititi1;,DSiv(i)Dti ( ti1 iti );,记maxDt1, Dt2, Dtn,二、定积分定义,1. 定积分的定义,在小区间xi1, xi上任取一

3、点xi (i1, 2, n),作和,maxDx1, Dx2,Dxn;,记Dxi=xi-xi1 (i1, 2, n),ax0x1x2 xn1xnb;,在区间a, b内插入分点:,设函数f(x)在区间a, b上有界.,即,下页,1. 定积分的定义,二、定积分定义,说明： (1) 定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即,下页,1. 定积分的定义,二、定积分定义,说明： (2)定积分是一种特殊的和式（黎曼和）的极限，其结果是一个数值.,下页,(3)对区间任意分, i在小区间内任意取, 和式的极限总存在.,2. 函数的可积性 如果函数f(x)在区间a, b上的定积分存在,

4、则称f(x)在区间a, b上可积.,定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f(x)在区间a, b上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间a, b上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间a, b上可积.,1. 定积分的定义,二、定积分定义,下页,利用定义计算定积分,解 把区间0, 1分成n等份,例1,下页,区间端点,小区间长,利用定义计算定积分,解,例1,下页,思考: 如何三等分正方形?,当f(x)0时, f(x)在a, b上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.,当f(x)0时, f(x)在a, b上的定积分表示曲边梯形面积的负值

5、.,这是因为,下页,3. 定积分的几何意义,一般地, f(x)在a, b上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.,当f(x)0时, f(x)在a, b上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.,当f(x)0时, f(x)在a, b上的定积分表示曲边梯形面积的负值.,下页,3. 定积分的几何意义,利用几何意义求定积分,解 作对应的曲边梯形的面积.,对应的曲边梯形是一个直角三角形,例2,所以,例3 利用定积分的几何意义求定积分,解,上半圆的面积（如图），即,从几何意义上看，该定积分为以R为半径的,利用几何意义求定积分,例3

6、将和式极限：,表示成定积分.,解,原式,三、定积分的性质,两点规定,这是因为,性质1,首页,三、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,注：值得注意的是不论a b c的相对位置如何上式总成立,下页,三、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质4,下页,推论1,如果在区间a b上 f (x)g(x) 则,这是因为g(x)f(x)0 从而,所以,如果在区间a b上 f (x)0 则,性质5,下页,这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以,推论1,如果在区间a b上 f (x)g(x) 则,如果在区间a b上 f (x)0 则,性质5,推论2,下页,推论1,如果在区间a b上 f (x)g(x) 则,如果在区间a b上 f (x)0 则,性质5,推论2,性质6,设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 则,下页,例4. 试证:,证: 设,即,故,即,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立,这是因为, 由性质6,性质7(定积分中值定理),积分中值公式,由介值定理, 至少存在一点xa, b, 使,两端乘