高等数学第五周讲义.ppt

1、3、掌握无穷小的概念及性质，理解无穷小阶的概念并能比较两个无穷小。,注意无穷小、无穷大、无界的关系,如判断：函数,是否无界，是否为无穷大量。,P33:B(1),4、掌握函数连续性的定义及判断，会判断间断点的类型,函数常见的间断点来源：函数无定义的点、分段函数的分界点。,讨论函数,的连续性，若有间断点，判别其类型。,P543（4）,掌握初等函数的连续性、并会用闭区间上连续函数的性质（最值定理、介值定理)进行简单的证明。,如：P62（B（2）、P64(7),第一章总复习题选讲,如：当,又如：,时，,求a,b,P64(5),圆内接正 n 边形面积为,例：求半径为R的圆的面积,例9（连续复利问题）,连

2、续复利公式：,课后作业,P48(A) 3 P54(A) 3(1,2) P59(A) 奇数题,第二章,导数与微分,第一节,导数的概念,引例,1. 变速直线运动的瞬时速度,设描述质点位移与时间的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,2. 曲线在某点的切线,割线 M N 的斜率,上述属同类数学问题。,瞬时速度,切线斜率,二、函数在一点处可导,定义 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,就说函数,函数在x0处可导的增量形式,在 时刻的瞬时速度：位移关于时间的导数。,曲线在 M 点处的切线斜率：曲线在M处的导数

3、,引例问题的解：,导数就是一种特殊类型的极限。,例1：求函数y=x2+1在x=2处的导数。,解：,函数的增量：,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数与自变量之间构成的函数称为导函数.,记作:,就称函数在 I 内可导.,函数在区间上的导数（导函数）,求基本初等函数的导数,例6. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,在点,的某个右 邻域内,四、 单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),定义 . 设函数,有定义,存在,定理. 函数,在点,且,存在,简写为,可导的充分必要条件,是,例. 证明函数,在 x = 0 不可导.,证:,不存在 ,五、 函数的

4、可导性与连续性的关系,定理.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,定理3. 函数,(左),(左),若函数,与,都存在 ,则称,显然:,在闭区间 a , b 上可导,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,且,第二节,函数的求导法则,第二章,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,例如,(2),证: 设,故结论成立.,推论:,( C为

5、常数 ),求下列函数的导数：,(3),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),例2. 求证,证:,类似可证:,二、反函数的求导法则,定理4.,y 的某邻域内严格单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,证明的另外一种写法：,例. 求反三角函数的导数.,解: 1) 设,则,类似可求得, 则,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理5.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,例：求下列函数的导数。,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.

6、,复合函数求导的链式法则,例. 设,求,例6. 设,基本初等函数的导数 (P78),定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,五、高阶导数,求幂函数,的各阶导数。,求,例，设,例.,求,课后作业,P73（A）（1） P83（A）（2、3）,第三节,隐函数和参变量函数求导法则,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,函数为隐函数 .,则称此,（1）隐函

7、数与显函数的概念。,（2）隐函数求导方法：方程两边同时求导。,两边对 x 求导,(解含导数 的方程),例. 求由方程,的导数，并求在 x = 0处的导数值。,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,求由方程,确定的函数y=y(x)、函数x=x(y)的导数,例. 求,的导数 .,解: 两边取对数 ,两边对 x 求导,两边求导法在显函数上的应用：取对数求导法。,用对数求导法求导 :,幂指函数 的导数的求法。,例如,两边取对数,两边对 x 求导,二、由参数方程确定的函数的导数,参数方程：,可以确定一个 y 与 x 之间的函数关系,由参数方程确定的函数的导

8、数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,例8：设函数y=f(x)由参数方程：,所确定，求此函数的导数。,例7：设函数y=f(x)由参数方程：,所确定，求此函数的导数。,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,若参数方程中,例9. 设由方程,确定函数,求,课堂作业,第四节,微分,第二章,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,变到,边长由,其,主要部分,可忽略部分,故,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函

9、数,而 称为,记作,即,在点,可微,微分就是函数增量的线性主要部分,例：若x=1，对于x=0.1,0.05时，对于y=x3，dy分别是多少？,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,微分的求法,“充分性”,已知,即,在点 可导,则,求函数y=x在任意一点处的微分,从而,导数也叫作微商,微分的几何意义,切线纵坐标的增量,例如,又如,二、 微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),基本初等函数的微分公式 (见 P91),微分运算法则：复合函数的微分。,分别可微 ,的微分为,一阶微分形

10、式的不变性,则复合函数,例.,求,解:,课堂练习,例. 设,求,隐函数的微分：两边求微分,三、 微分的应用：近似计算,当,很小时,得近似等式:,的近似值 .,例5. 计算,近似计算使用原则:,特别当,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,（x要接近0）,第二章 复习及习题课,1、导数 （1）会判断导数的存在与不存在； （2）会求导数（含掌握基本初等函数求导公式，掌握导数四则运算法则和复合函数求导法则，掌握隐函数求导法和取对数求导法。 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法高阶导数、隐函数的导数及参变量导数）,（3）理解导数几何意义,（1）理解微分的概念，会求函数的微分。 （2）微分的简单应用,会求微分,习 题 选 讲,判断下列函数在0点的连续性和可导性,当为何值时，下列函数在0处连续、在0处可导。,可导的偶函数的导数是奇函数,证明：,可导的奇函数的导数是偶函数,若函数在x=a处可导，求下列极限。,若下列极限存在，问函数在a处是否可导。,设,求,求下列函数的导数,的n