《行列式线性代数》PPT课件.ppt

1、经济数学基础,线 性 代 数,主讲教师 : 王 斌,开课院系 : 重庆工商大学理学院,E-mail : ,第 一 章 行 列 式,n 阶 行 列 式 行 列 式 的 性 质 行 列 式 的 行 ( 列 ) 展 开 Cramer 法 则,难点: 行列式的展开、Cramer 法则,重点: 行列式的性质、行列式的展开（计算）,1.1 n 阶 行 列 式,一、行列式的引入,两式相减消去 , 得,当 时, 方程组的解为,类似地消去 , 得,称为二阶行列式, 记为,定义1 由四个数排成的数表 所确定的表达式,则二元线性方程组的解为,若记,即主对角线法则,例1 解二元线性方程组,解:,定义2 由三行三列的数

2、表所确定的表达式称为三阶 行列式, 记,注意: 1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。,如果三元线性方程组,系数行列式,2) 三阶行列式包括 3! 项, 且每一项都是位于不同行、 不同列的三个元素的乘积, 其中正负各三项。,则方程组的解为:,例2 求解方程,解: 方程左端的行列式, 由对角线法则,即 , 解得,例3 解线性方程组,解: 由于方程组的系数行列式,同理可得,方程组的解为:,即,二、排列及逆序数,定义3 将 n 个不同的元素组成一个有序de序列, 称为这 n 个元素的一个 n 级排列。,n 级排列的总数:,定义4 在 n 级排列中, 规定由小到大为一个标准次序, 若两个元素与标准

3、次序不同则构成一个逆序。排列 中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列。,例4 求排列 32514 的逆序数。,解: 在排列32514中,3 排在首位, 逆序数为 0 ;,2 的前面比 2 大的数只有一个 3, 故逆序数为1 ;,3 2 5 1 4,排列 32514 的逆序数,5 的前面没有比 5 大的数, 其逆序数为 0 ,解: 由于,当 时, 原排列为偶排列;,当 时, 原排列为奇排列。,例5 求排列 n(n-1)321 的逆序数, 并讨论奇偶性。,将相邻两个元素对换, 称为相邻对换。,定理1 任意一个排列中的任意两个元素经过一次对

4、 换, 排列改变奇偶性。,证明: 相邻对换 任意对换; 比较对换元素讨论。,定义5 在排列中, 将任意两个元素位置互换, 其余元 素位置不变, 这种变换称为对换。,注意: 1) 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数; 2) 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数;,3) 标准排列是偶排列 (逆序数为0 )。,三、n 阶行列式,说明:,2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘 积, 且每项不重复的取遍所有行和列;,3) 每项的正负号都取决于三个元素的下标排列。,1) 三阶行列式共有 6 项, 即 项;,定义6 n 阶行列式等于所有取自不同行、不同列的 n 个数的乘积的代数和, 即,其中 为自然数

5、1, 2, n 的一个排列, 为其逆序数。,简记为 或 。,行列式是一种特定的算式: 解线性方程组;,3) 每项都是位于不同行不同列 n 个元素的乘积;,说明:,2) n 阶行列式是 项的代数和;,4) 一阶行列式 , 不同于绝对值;,5) 行标确定: 的符号为,例6 确定下列行列式中的项的符号。,解:,所以不为零的项只有,例7 计算 上三角行列式,解:,例8 证明 对角行列式,若记 , 则依行列式定义,证:,求 的系数。,含 的项有两项之和, 即,例9 已知,解:,故 的系数为 - 1 。,推论1 若列标确定, 行列式等于,定理 2 n 阶行列式也可定义为,推论2 行列式定义中每一项的乘积元

6、素可按行或列 标确定标进行重排: 不改变符号。,1.2 行 列 式 的 性 质,性质1 行列式与它的转置行列式相等。,记,行列式 称为行列式 的转置行列式。,证明: 记,注意: 行列式中行与列具有同等的地位, 即行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立。,则,即,性质2 互换行列式的两行 ( 列 ) , 行列式的值反号。,证明: 设互换 的 i, j 行, 得,即,则,推论 如果行列式有两行 ( 列 ) 完全相同, 则此行列 式的值为零。,性质3 行列式的某一行 ( 列 ) 中所有的元素都乘以 数 k , 等于用数 k 乘此行列式。,推论1 行列式的某一行 ( 列 ) 中所有元素的公因子 可

7、以提到行列式符号的外面。,推论2 若行列式含有零行( 列 ), 则行列式的值为零。,性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例, 则 此行列式的值为零。,性质5 行列式按某列（行）的元素拆开 :,性质6 把行列式的某一行 ( 列 ) 的各元素乘以同一 数, 然后加到另一行 ( 列 ) 对应的元素上去, 行列 式的值不变。,注意: 性质 6 为行列式的简化求值的常用方法。,例1 计算,解:,例2 计算,解:,行列式计算方法: 1) 利用定义; 2) 利用性质和三角形 行列式; 3) 行列式的展开。,例3 计算,解: 此行列式的特征: 行和相等。,?,讨论 a = 0, a = b ?,将大部分元

8、素化为零,例4 计算,解: 此行列式的特征: 大部分元素为 1 。,1.3 行 列 式 的 展 开,定义7 在 n 阶行列式中, 划去元素 所在的第 i 行 和第 j 列, 余下的 n 1 阶行列式称为元素 的 余子式, 记 。,称为元素 的代数余子式。,例1 求下列行列式的代数余子式。,引理 如果行列式第 i 行所有元素除 外都为零, 则 此行列式等于 与其代数余子式的乘积, 即,注意: 行列式的展开方法: 利用行列式的性质在某行 ( 列 ) 得到尽可能多的零元: 降阶求值。,证:,定理3 n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和, 即,或,例2 计算,解:,评注

9、: “化零”方法: 尽量选含有 0, 1 较多的行 ( 列 ) 。,例3 证明范德蒙德 ( Vandermonde ) 行列式,证: 由数学归纳法,即当 n = 2 时, 原式成立。,设当 k = n - 1 时, 原式成立。,推论 行列式任一行的元素与另一行的对应元素的代 数余子式乘积之和等于零, 即,证: 将 换成 : 两行相同。,代数余子式的重要性质,同理,1.4 Cramer 法 则,设线性方程组,若常数项 不全为零, 则称此方程组为 非齐次线性方程组;,若常数项 全为零, 称方程组为齐次线性方程组。,若线性方程组的系数行列式不等于零, 即,则线性方程组有唯一解:,证明: 设 为系数行

10、列式 D 的代数余子 式, 则,将 n 个方程依次相加, 得,即,由于原方程组与变形后的方程组等价 ( 代数余子式数乘), 则,为原方程组的唯一解。,定理4 (Cramer 法则) 如果线性方程组的系数行列式 则一定有解, 且解是唯一的。,当 时, 方程组有唯一解:,定理5 如果线性方程组无解或有两个不同的解, 则它 的系数行列式必为零。,定理6 如果齐次线性方程组的系数行列式 , 则 齐次线性方程组仅有零解 ( 没有非零解 )。,推论 如果齐次线性方程组有非零解, 则系数行列式 。,Cramer 法则解方程组的条件:,1)方程个数等于未知量个数;,2)系数行列式不等于零。,适用于理论推导,例1 解方程组,解:,即,同理,由 Cramer