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第七节 Gauss）公式,一、高斯公式,二、斯托克斯公式,一、高 斯 公 式,证明思路：,证：,同理,投影到XOY面，用先一后二将,化成,二重积分，计算。,用一投二代三定号将,化成二重积分，计算。,结果同。,证明,根据曲面积分的计算法,根据三重积分的计算法,同理,- Gauss公式,和并以上三式得：,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,由两类曲面积分之间的关系知,二、简单的应用,解,(利用柱面坐标得),使用Guass公式时应注意:必须是封闭的曲面,取外侧.,(也可),解,(也可),故,三、物理意义-流量与散度,1. 流量,由Gauss公式：,表示内有流体流出，称为“源”,表示内有流体流进，称为“穴”,表示内既无“源”、也无“穴”, 此时称速度场 为无源场.,由积分中值定理,两边取极限,同除以体积 V, 得到流体在的“平均耗散度”:,2. 散度的定义:,高斯公式可写成,四、小结,3、应用的条件,4、物理意义,2、高斯公式的实质,1、高斯公式,思考题,曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？,解答:,曲面应是分片光滑的闭曲面.,
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