届高考数学一轮复习第章概率第讲古典概型学案

1、2019版高考数学一轮复习全册学案第2讲古典概型板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1基本事件的特点1任何两个基本事件是互斥的2任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和考点2古典概型1古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型2古典概型的概率公式P(A).必会结论一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可

2、能性相同()(2)从3，2，1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同()(3)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率()(4)“从长为1的线段AB上任取一点C，求满足AC的概率是多少”是古典概型. ()答案(1)(2)(3)(4)22018武汉调研同时抛掷两颗均匀的骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率为()A. B. C. D.答案C解析同时抛掷两颗骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A，则事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4种，故P(A).3.

3、某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为()A. B. C. D.答案A解析已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率是P.42016全国卷为美化环境，从红，黄，白，紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A. B. C. D.答案C解析从红，黄，白，紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红，黄)，(红，白)，(

4、红，紫)，(黄，白)，(黄，紫)，(白，紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P.故选C.5甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_答案解析甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种故所求概率为P.62018兰州诊断从2本不同的数

5、学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，则抽出的书是同一学科的概率等于_答案解析数学书为a1，a2，语文书为b1，b2，从中任取两本，基本事件为a1a2，a1b1，a1b2，a2b2，a2b1，b1b2，其中抽出的书是同一学科的取法共有a1a2，b1b22种，因此所求的概率等于.板块二典例探究考向突破考向简单的古典概型例1(1)2017全国卷从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A. B. C. D.答案D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件

6、总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所求概率P.故选D.(2)2017山东高考从分别标有1,2，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A. B. C. D.答案C解析9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)，P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数).P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同).故选C.触类旁通求古典概型概率的步骤(1)读题，理解题意；(2)判断试验结果是否为等可能事件，设出所求事件A；(3)分别求出基本事件总数n与所求事件A所包含的基本事件的个数m

7、；(4)利用公式P(A)求出事件A的概率【变式训练1】(1)2017天津高考有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A. B. C. D.答案C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P.故选C.(2)2018海淀一模现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的

8、物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为_答案解析从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件表示“A1和B1全被选中”，由于(A1，B1，C1)，

9、(A1，B1，C2)，所以P()，由对立事件的概率计算公式得P(N)1P()1.考向较复杂的古典概型问题命题角度1古典概型与平面几何相结合例22018洛阳统考将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线axby0与圆(x2)2y22有公共点的概率为_答案解析依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)，共36种，其中满足直线axby0与圆(x2)2y22有公共点，即满足，a2b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(6,6)，共65432121种，因此所求的概率等于.命题角度2古典概型与函数相结

10、合例3已知M1,2,3,4，若aM，bM，则函数f(x)ax3bx2x3在R上为增函数的概率是()A. B. C. D.答案A解析记事件A为“函数f(x)ax3bx2x3在R上为增函数”因为f(x)ax3bx2x3，所以f(x)3ax22bx1.当函数f(x)在R上为增函数时，f(x)0在R上恒成立又a0，所以(2b)243a4b212a0在R上恒成立，即a.当b1时，有a，故a可取1,2,3,4，共4个数；当b2时，有a，故a可取2,3,4，共3个数；当b3时，有a3，故a可取3,4，共2个数；当b4时，有a，故a无可取值综上，事件A包含的基本事件有4329种又a，b1,2,3,4，所以所有

11、的基本事件共有4416种故所求事件A的概率为P(A).故选A.命题角度3古典概型与平面向量相结合例42018宿迁模拟已知kZ，(k,1)，(2,4)，若|4，则ABC是直角三角形的概率是_答案解析因为|4，所以k，因为kZ，所以k3，2，1,0,1,2,3，当ABC为直角三角形时，应有ABAC，或ABBC，或ACBC，由0，得2k40，所以k2，因为(2k,3)，由0，得k(2k)30，所以k1或3，由0，得2(2k)120，所以k8(舍去)，故使ABC为直角三角形的k值为2，1或3，所以所求概率P.触类旁通较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，

12、列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算核心规律古典概型的两种破题技巧(1)树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求另外在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同(2)含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用P(A)1P()求解较好满分策略古典概型求解中的注意事项(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是

13、否是等可能的(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.板块三启智培优破译高考创新交汇系列8古典概型与统计的精彩交汇2018长春模拟某教师为了了解高三一模所教两个班级的数学成绩情况，将两个班的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；(2)若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率；(3)从甲班中130分以上的5名同学中随机抽取3人，求至多有1人的数学成绩在140分以上的概率解题视点

14、(1)利用中位数、众数的概念求解；(2)由频率的定义求解优秀率即可；(3)分别求出总的基本事件和满足条件的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求解解(1)由所给的茎叶图知，甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，数量最多的是103，故甲班数学成绩的中位数是108.5，众数是103；乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，数量最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是106.5，众数为92和101.(2)由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为；乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为.(3)将分数为1

15、31,132,136的3人分别记为a，b，c，分数为141,146的2人分别记为m，n，则从5人中抽取3人的不同情况有abc，abm，abn，acm，acn，amn，bcm，bcn，bmn，cmn，共10种情况记“至多有1人的数学成绩在140分以上”为事件M，则事件M包含的情况有abc，abm，abn，acm，acn，bcm，bcn，共7种情况，所以从这5名同学中随机抽取3人，至多有1人的数学成绩在140分以上的概率为P(M).答题启示求解古典概型与统计交汇问题的思路,(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息.,(2)进行统计与古典概型

16、概率的正确计算.跟踪训练某学校高一年级共有20个班，为参加全市钢琴比赛，调查了各班中会弹钢琴的人数，并以组距5将数据分组成0,5)，5,10)，30,35)，35,40，作出频率分布直方图如图所示(1)由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；(2)若会弹钢琴的人数为35,40的班级作为第一类备选班级，会弹钢琴的人数为30,35)的班级作为第二类备选班级，现要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，求这两类备选班级中均有班级被选中的概率解(1)设各班中会弹钢琴的人数的平均值为，由频率分布直方图知，2.50.0157.50.01512.50.04517.50.02522.50.0

17、4527.50.03532.50.03537.50.02522，所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为22.(2)由频率分布直方图知，第一备选班级为2个，第二备选班级为3个，用ai(i1,2)表示第一备选班级，bj(j1,2,3)表示第二备选班级则从两类备选班级中选出两个班参加比赛，有a1，a2，a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b3，b1，b2，b1，b3，b2，b3，共10种情况其中第一备选班级和第二备选班级中均有班级被选中的情况有a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b3，共6种情况所以两类备选班级中均有班级被选中的概率为.板块四模

18、拟演练提能增分 A级基础达标1袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是()A. B. C. D.答案B解析该试验中会出现(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6种等可能的结果，事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出1个黑球”的概率是.2从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A. B. C. D.答案D解析在正六边形中，6个顶点选取4个，

19、种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，所求概率为.3从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于()A. B. C. D.答案A解析设2名男生为A，B,3名女生为a，b，c，则从5名同学中任取2名的方法有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6种，故所求的概率P1.4为了纪念抗日战争胜利70周年，从甲、乙、

20、丙、丁、戊5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，为阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙中有2名被选中的概率为()A. B. C. D.答案A解析从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人的所有情况为：甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊，共10种，其中有甲、乙、丙中2人的有甲乙、甲丙、乙丙3种，所以P.52018梅州质检如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为()A. B. C. D.答案D解析只考虑A，B两个方格的排法不考虑大小，A，B两个方格有4416(种)排法要使填入A方格的数字大于B方格的数

21、字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6种，故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为.选D.62018湖北模拟随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()Ap1p2p3 Bp2p1p3Cp1p3p2 Dp3p1p2答案C解析总的基本事件个数为36，向上的点数之和不超过5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个，则

22、向上的点数之和不超过5的概率p1；向上的点数之和大于5的概率p21；向上的点数之和为偶数与向上的点数之和为奇数的个数相等，故向上的点数之和为偶数的概率p3.即p1p30，即ab，又a4,6,8，b3,5,7，a，b的取法共有339种，其中满足ab的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为.B级知能提升12018南京模拟一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当ab，bc时称为“凹数”(如213,312)等若a，b，c1,2,3,4，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是()A. B. C. D.答案

23、C解析由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321，共6个；由1,2,4组成的三位数有124,142,214,241,412,421，共6个；由1,3,4组成的三位数有134,143,314,341,413,431，共6个；由2,3,4组成的三位数有234,243,324,342,423,432，共6个所以共有666624个三位数当b1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b2时，有324,423，共2个“凹数”故这个三位数为“凹数”的概率P.22018安徽六校联考连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a(m，n)与向量b(1

24、,0)的夹角记为，则的概率为()A. B. C. D.答案B解析cosa，b，1，nm.又满足n的概率是_答案解析由e，得b2a.当a1时，b3,4,5,6四种情况；当a2时，b5,6两种情况，总共有6种情况又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果所求事件的概率P.4按照国家环保部发布的新修订的环境空气质量标准，规定：PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米国家环保部门在2017年10月1日到2018年1月30日这120天对全国的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度(微克/立方米)频数/天第一组(0,3532第二组(35,7564第三组(75,11516第四组115以上8(1)在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，第一组应抽取多少天？(2)在(1)中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75微克/立方米的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115微克/立方米的概率解(1)在这120天中抽取30天，应采取分层抽样，第一组应抽取328天；第二组应抽取6416天；第三组应抽取164天；第四组应抽取82天(2)设PM2.5的平均浓度在