2019_2020学年高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系课件新人教A版.pptx

1、1.2集合间的基本关系,一,二,三,四,一、子集与真子集 1.观察下面实例:A=1,2,3,B=1,2,3,4,5; 设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合,B为这个班全体学生组成的集合; 设A=x|x是两条边相等的三角形,B=x|x是等腰三角形; A=x|x是长方形,B=x|x是平行四边形; A=x|x3,B=x|x2; A=x|(x+1)(x+2)=0,B=-1,-2. (1)上面的每个例子中的两个集合,集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素吗? 提示:是.称集合A是集合B的子集.,一,二,三,四,(2)反过来,上述各对集合中,集合B中的元素都是集合A中的元素吗? 提示:两对集合中

2、,集合B中的元素也都是集合A中的元素(集合相等);这四对集合中,集合B中有些元素不是集合A的元素.称集合A是集合B的真子集. (3)上述集合A,B的关系能不能用图形直观形象地表示出来? 提示:能.如图,在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.,一,二,三,四,(4)Venn图有什么要求?必须是椭圆形吗? 提示:表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是矩形、圆、椭圆等,也可以是其他封闭曲线. (5)用Venn图表示集合有什么优点和缺点? 提示:优点在于易产生清晰的视觉印象,能直观地表示集合中元素的构成以及集合之间的关系,缺点在于集合中元素的公共特征性质不明显

3、.,一,二,三,四,2.填空,一,二,三,四,3.做一做 (1)已知集合P=-1,0,1,2,Q=-1,0,1,则() A.PQB.PQC.QPD.QP (2)已知集合A=x|-1x2,B=x|0x1,则() A.BAB.ABC.BAD.AB (1)解析:集合Q中的元素都在集合P中,所以QP. 答案:C (2)解析:由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可.如图所示,由图可知,BA. 答案:A,一,二,三,四,二、集合相等 1.(1)在子集的定义中,能否理解为子集A是集合B中的“部分元素”所组成的集合? 提示:不能.A中可能含有B中的所有元素(也可能不含任何元素). (2)本书1.1中

4、,我们是如何定义两个集合相等的? 提示:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的. (3)本课时“一”中提出的各对集合中,这两对集合中的元素一样吗?它们之间存在什么样的包含关系? 提示:中,由于“两条边相等的三角形”即等腰三角形,因此,集合A中任何一个元素都是集合B中的元素,则A是B的子集;同时,集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素,则B也是A的子集,即A和B两集合中的元素都是相同的.也就是说集合A与B相等.同理可以说明中两个集合的元素也完全相同,即两集合相等.,一,二,三,四,2.填空 一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A

5、的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B. 也就是说,若AB,且BA,则A=B. 3.做一做 已知集合A=1,-m,B=1,m2,且A=B,则m的值为. 解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1. 当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去. 故m=0. 答案:0,一,二,三,四,三、空集 1.(1)观察下面四个集合:方程x2+1=0的实数根组成的集合;不等式3x2+20的解组成的集合;比5大1的负数组成的集合;边长分别为1,1,4的三角形组成的集合.它们有什么共同特点?你还能举出类似的例子吗? 提示:这4个集合中没有适合条件的元素.即集合中没有任何元素. (2)一座房子内没有任何

6、东西,我们称这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢? 提示:空集. (3)空集与任何集合之间有什么关系?与非空集合呢? 提示:规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.,一,二,三,四,2.填空 一般地,我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记为,并规定:空集是任何集合的子集,即A. 3.做一做 下列四个集合中,是空集的是() A.0B.x|x8且x4 答案:B,一,二,三,四,四、子集与真子集的性质 1.在实数中有如下结论: (1)对于任何一个实数a,有aa; (2)对于实数a,b,c,如果ab,且bc,那么ac. 你能类比这两个结论,写出两个集合之间的类似关系吗?

7、 提示:任何一个集合是它本身的子集,即AA.对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC. 2.上个问题中得到的第(2)条性质可以推广到真子集吗? 提示:可以.对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,写出给定集合的子集 例1 (1)写出集合0,1,2的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集; (2)填写下表,并回答问题: 由此猜想:含n个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?,随堂演练,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有

8、两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出. 解:(1)不含任何元素的子集为; 含有一个元素的子集为0,1,2; 含有两个元素的子集为0,1,0,2,1,2; 含有三个元素的子集为0,1,2. 故集合0,1,2的所有子集为,0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2. 其中除去集合0,1,2,剩下的都是0,1,2的真子集.,随堂演练,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(2) 由此猜想:含n个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.,随堂演练,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感

9、悟 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏. 2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.,随堂演练,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练1若1,2,3A1,2,3,4,5,则满足条件的集合A的个数为() A.2B.3C.4D.5 解析:集合1,2,3是集合A的真子集,同时集合A又是集合1,2,3,4,5的子集,所以集合A只能取集合1,2,3,4,1,2,3,5和1,2,3,4,5. 答案:B,随堂

10、演练,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随堂演练,已知集合的交集、并集求参数 例3已知aR,集合A=-4,2a-1,a2,B=a-5,1-a,9,若9AB,则实数a的值为. 分析:9AB说明9A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性. 解析:9AB,9A且9B, 2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3. 当a=5时,A=-4,9,25,B=0,-4,9,符合题意; 当a=3时,A=-4,5,9,B不满足集合中元素的互异性,故a3; 当a=-3时,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,符合题意. 综上可得a的值为5或-3.

11、 答案:5或-3,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随堂演练,反思感悟 已知两个有限集运算结果求参数值的方法 对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,以避免违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随堂演练,延伸探究 例3中,将“9AB”改为“AB=9”,其余条件不变,求实数a的值及AB. 解:AB=9,9A. 2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3. 当a=5时,A=-4,9,25,B=0,-4,9,由于AB=-

12、4,9,不符合题意,故a5; 当a=3时,A=-4,5,9,B不满足集合中元素的互异性,故a3; 当a=-3时,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,且AB=9,符合题意. 综上可得a=-3.此时AB=-8,-4,-7,4,9.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随堂演练,例4集合A=x|-1x1,B=x|xa. (1)若AB=,求a的取值范围; (2)若AB=x|x1,求a的取值范围. 分析:利用数轴把集合A,B表示出来,根据题目条件数形结合列出参数a满足的不等式,求解时需注意等号能否取得.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随堂演练,解:(1)A=x|-1x1,B=x|xa

13、,且AB=,如图1所示. 数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1, a-1. (2)A=x|-1x1,B=x|xa, 且AB=x|x1,如图2所示, 数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.-1a1.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随堂演练,反思感悟 已知集合运算求参数的思路 此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素离散时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随

14、堂演练,延伸探究 例4(1)中,把“AB=”改为“AB”,求a的取值范围. 解:利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使AB,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以a-1.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随堂演练,集合相等关系的应用 例4已知集合A=2,x,y,B=2x,2,y2,且A=B,求实数x,y的值. 分析:根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.,解:A=B,集合A与集合B中的元素相同,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随堂演练,反思感悟集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,

15、随堂演练,延伸探究若将本例已知条件改为“集合A=x,xy,x-y,集合B=0,|x|,y,且A=B”,求实数x,y的值. 解:0B,A=B,0A. 又由集合中元素的互异性,可知|x|0,y0, x0,xy0,故x-y=0,即x=y. 此时A=x,x2,0,B=0,|x|,x, x2=|x|,解得x=1. 当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾, x=-1,即x=y=-1.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随堂演练,由集合间的关系求参数的范围 例5 已知集合A=x|-5x2,B=x|2a-3xa-2. (1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系; (2)若AB,求实

16、数a的取值范围. 分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随堂演练,解:(1)若a=-1,则B=x|-5x-3. 如图在数轴上标出集合A,B. 由图可知,BA. (2)由已知AB. 当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然成立. 当B时,2a-3a-2,解得a1. 由已知AB,如图在数轴上表示出两个集合,又因为a1,所以实数a的取值范围为-1a1.,探究一,探究二,探究三,探究四

17、,思想方法,随堂演练,反思感悟 由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项 (1)求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示. (2)涉及“AB”或“AB,且B”的问题,一定要分A=和A两种情况进行讨论,其中A=的情况容易被忽略,应引起足够的重视.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随堂演练,延伸探究(1)【例5】(2)中,是否存在实数a,使得AB?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由. (2)若集合A=x|x2,B=x|2a-3xa-2,且

18、AB,求实数a的取值范围. 解:(1)因为A=x|-5x2,所以若AB,则B一定不是空集.,(2)当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然成立. 当B时,2a-3a-2,解得a1. 由已知AB,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可知2a-32或a-2-5, 解得a 或a-3. 又因为a1,所以a-3. 综上,实数a的取值范围为a1或a-3.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随堂演练,分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参问题中的应用 对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定的参数(字母),若AB或A=B,则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨

19、论和数形结合的方法. (1)分类讨论是指: AB在未指明集合A非空时,应分A=和A两种情况来讨论. 因为集合中的元素是无序的,由AB或A=B得到两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论. (2)数形结合是指对A这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心圈,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)确定参数. 特别提醒 此类问题易错点有三个:忽略A=的情况,没有分类讨论;在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心圈;没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,随堂演练,(3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指: 分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合