能控性和能观性分析.ppt

1、,3.1 系统的能控性（）,3.2 系统的能观性（）,3.3 能控能观性的对偶原理,3.4 基于传递函数的能控能观性条件,第三章 能控性和能观性分析,本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。 在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被证明这是系统的两个基本结构属性。 本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是在实际应用中都是很有用的。,

2、第三章 能控性和能观性分析,3.1 系统的能控性,一能控性与能观测性的物理概念,系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。,如果系统内部的所有状态的运动都可由输入来影响和控制而由任意的初始状态达到原点，则称系统是能控的，或者更确切的说是状态能控的，否则就称系统为不完全能控的，或简称为系统不可控。,如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态能观测的，否则就称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。,3.1 能控性定义,状态方程：描述了输入引起的状态变化 输入能够控制状态（控制问题） 输出方程：描述了状态变化引起的输出改变

3、 状态能否由输出反映（观测和估计问题）,如果存在一个有限时刻T和时间段 上控制信u(t)，使得在这样的控制信号作用下，系统状态从t=0时刻的初始状态 转移到t=T时刻的零状态，即 ，则称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，即能控状态充满整个状态空间，则称系统是状态完全能控的，简称系统能控。如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。,考虑n维线性时不变系统的状态方程,二 能控性定义,1状态能控和系统能控,定义 在有限时间区间 内，若存在无约束的阶梯控制序列 ，能使系统从任意初态 转移到任意终态 ，则称该系统是状态完

4、全能控的，简称是能控的。,2.离散系统的能控性,3. 能控性和能达性 为便于数学处理。不失一般性：可以把终端状态规定为状态空间中的原点 ，若系统在有限时间内从任一初始状态转移至零状态，则称系统是状态能控的； 反之，也可以把初始状态规定为状态空间中的原点，若系统从初始零状态在有限时间内转移至任意其他终端状态，则称系统是状态能达的。 对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的。,满秩,证明：根据能控性的定义可知，,对系统的任意的初始状态 ，如果能找到输入u(t)，使之在 的有限时间内转移到零状态 ，则系统状态能控。,1. 秩判据（能控性判别矩阵） ,3.1. 2 能控性判据(),凯莱哈密顿定理可知,

5、由系统能控性定义：,先假设这样的u存在，,注：秩判据是一种比较方便的判别方法。,由此可知，要想系统完全能控，则上述方程组必 须任意的x0对有解，即系统的能控性判别矩阵满秩。 求满秩的方法：单输入系统： 行列式为零 多输入系统： 行列式为零,补充：可控性判别矩阵 （）：,线性定常连续系统的状态方程,其中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；A和B分别为(nn) 和(np)常阵。该线性定常连续系统完全可控的充要条件是：,其中：,注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入 系统，可减少不必要的计算。,例1：已知 判断其能控性。,解：系统阶次,，确定出可控判别阵,，所以系统为完全可控。,例2：判断下列

6、系统的可控性,解：,矩阵S的第二行与第三行线性相关，故rankS =23，系统不可控。,例3：用可控性判别矩阵 判别系统能控性。,解：n=3, 系统输入向量是2维的列向量，即p = 2。,显见矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关， 故 ，系统不可控。,2. 基于标准型判据,1）对角规范型系统(无重特征值)可控性判别（）,当矩阵A的特征值 为两两相异时，线性定常连续系统 完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型,中， 不包含元素全为零的行。,例4：已知线性定常系统的对角线规范型为,判断系统的可控性。,解：由于此规范型中 不包含元素全为零的行，故系统完全可控。,2）约当规范型系统（有重特征值）可控

7、性判别,当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连续系统 完全可控的充分必要条件是：由其导出的约当规范型 中， 中与同一特征值的各约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是行线性无关的。,例5：已知约当规范型系统如下：,试判断其可控性。,解： ， ，均行线性无关， 所以：系统完全可控。,例6：证明如下系统总是完全可控的。,证明：,，故完全可控。,该题说明：可控标准型系统完全可控。,3格拉姆矩阵判据,线性定常系统,完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时刻T0，使如下定义的格拉姆矩阵：,为非奇异。,注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。,3.1. 3

8、 能控性的性质,性质一：等价的状态空间模型具有相同的能控性。,性质二：,任意单输入系统的能控状态空间模型都能 变换成能控标准形。,化成能控性标准形的方法：,注意：能控性判据也适合离散系统，只是采样周期选择不当就不能保证能控的连续系统离散化后仍然能控。,3.1.4 输出能控性,定义：如果存在无约束的控制向量u(t),在有限的时间间隔0,T内，使任一给定的初始输出 y0 转移到任一最终输出 y(T)，则称线性定常系统为输出能控的。,则输出可控的充要条件是：输出可控性矩阵 的秩等于输出变量的维数q，即,注意：状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没有什么必然联系。,判断系统的状态可控性和输出可

9、控性。,例7：已知系统的状态空间描述为,解：1）系统的状态可控性矩阵为,，状态不完全可控,2）系统的输出可控性矩阵为, 系统输出可控。,3.2 系统的能观性,3.2 能控性定义,如果对任意给定的输入u(t)，存在一有限观测时间 使得根据 期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则称状态 是能观测的。 如果系统的每一个状态都是能观测的，即能观测状态充满整个状态空间，则称系统是状态完全能观测的,对于线性定常离散系统，如果根据输出信号的有限个 采样值y(k)，可以惟一的确定系统的任一初始状态x(0), 则称系统是状态完全能观测的。,4、能观测性归结为初始状态的确定，则任意状态可在初态和输入作

10、用下由状态转移矩阵得到。,3、需要定义观测时间。目的是为了唯一地求出n个状态变量，多量测出几组输出。,1、能观测性是研究输出反映状态的能力，即通过输出量在有限时间内的量测，能否把系统的状态识别出来。,几点说明：,2、输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，常令u恒等于0，即分析齐次状态方程和输出方程即可。,1. 秩判据（）,线性定常系统 完全可观测的充分必要条件是: 或,其中：n是系统的维数， 称为系统的可观测性判别阵，简称能观测性阵。,例8：判断下列系统的能观性：,(1),解：(1),系统不完全可观测,(2),(2),系统完全能观测,例9：证明如下系统总是完全能观测的。,证明：,系统是完全能

11、观测的。,该题说明：可观测标准型系统是完全能观测的。,补充：可观测性判别矩阵 （）,线性定常连续系统的状态方程,其中：x为n维状态向量；y为q维输出向量；A和C分别为(nn) 和(qn)常阵。该线性定常连续系统完全能观测的充要条件是：,其中：,适用于多输出系统,例10：判断该系统的能观性。,解：系统输出向量是2维的列向量，即q = 2。,故 ，系统完全能观测。,2. 约当规范型判据,1）对角规范型系统(无重特征值)可观测性判别（）,当矩阵A的特征值 为两两相异时，线性定常连续系统 完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型,中， 不包含元素全为零的列。,例11：已知线性定常系统的对角线规范型为

12、,判断系统的能观测性。,解：由于此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统完全能观测。,2）约当规范型系统(有重特征值)能观测性判别,当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连续系统 完全能观测的充分必要条件是：由其导出的约当规范型 中， 中与同一特征值的各约当块对应的各子块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。,例12：约当标准型系统如下：,试判断其能观测性。,解：,所以：系统完全能观测。,是列线性无关的；,是列线性无关的；,3. 格拉姆矩阵判据,线性定常系统 完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻T0，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。,注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较高时并非易事，所

13、以此判据主要用于理论分析中。,组合系统(补),（1）并联：,特点：,系统如图，二子系统并联连接,传递矩阵：,（2）串联：,特点：,系统如图，二子系统串联连接,（3） 反馈：,特点：,系统如图，二子系统并联连接,1) 动态反馈,2) 静态反馈,闭环系统状态空间描述为：,闭环系统传递矩阵为：,二子系统组合的可控性和可观测性（补充）,完全可控且完全可观测的子系统组合后不一定保持原有的可控性或可观测性。,例13：设完全可控且完全可观测的子系统为,求出并联组合系统的状态空间描述，并判断并联组合系统的可控性和可观测性。,解：子系统并联组合后的系统,可控性判别矩阵：,可观性判别矩阵,该并联组合系统不完全可控且不完全可观测。,3.3 能控能观性的对偶原理,对偶性原理由卡尔曼提出。其意义在于： 确定了线性系统能控性和能观性的内在对偶关系（无论是概念还是判据的形式）； 建立了系统控制问题和估计问题之间的关系桥梁。 从而使得系统的分析和设计更为灵活。,设有如下两个线性定常系统：,如果满足如下关系，则称两系统是互为对偶系统的：,1、对偶系统结构上的对偶关系：,输入输出互换； 信号传递方向相反； 信号引出点 和综合点互换； 对应矩阵转置,观察,2、对偶系统的对偶性质：,1）互为对偶的系统，其传递函数阵是互为