材料力学第13章-能量法

1、第十三章 能量法,13-1 概述,13-2 杆件变形能的计算,13-3 互等定理,13-4 单位荷载法 莫尔定理,13-5 卡氏定理,13-6 计算莫尔积分的图乘法,13-7 虚功原理,13-1 概述,在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄 的能量,称为弹性变形能,简称变形能.,一、能量方法,三、变形能,二、外力功,固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移, 外力因此而做功,则成为外力功.,利用功能原理 V = W 来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法.,可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功. 对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功

2、,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能.,V = W,四、功能原理,（Work-Energy Principle）,13-2 杆件变形能的计算,一、杆件变形能的计算,1.轴向拉压的变形能,此外力功的增量为：,当拉力为F1 时,杆件的伸长为l1 当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(l1),F,l,F,l,F,O,l,积分得:,根据功能原理,当轴力或截面发生变化时:,V= W , 可得以下变形能表达式,（单位 J/m3),比能 （ strain energy density）: 单位体积的应变能. 记作u,当轴力或截面连续变化时：,2.扭转杆内的变形能,或,纯弯曲,横力弯曲,3.弯曲变形的变形

3、能,4.组合变形的变形能,截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立, 力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.,5.纯剪切应力状态下的比能,假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动 dx.,因为很小,所以在变形过程中,上下两面上的外力将不作功. 只有右侧面的外力（ dydz） 对相应的位移 dx 作了功.,当材料在线弹性范围内内工作时, 上述力与位移成正比,因此,单元体上 外力所作的功为,比能为,将 = G 代如上式得,等直圆杆扭转时应变能的计算,将,代入上式得,二、变形能的普遍表达式,F-广义力(包括力和力偶),-广义位移 (包括线位移和角位移),B,C,假设广义力

4、按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值.,对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移,例如 2可表示为,C1F1,C2F2,C3F3 分别表示力F1 , F2, F3 在 C 点引起的竖向位移.,C1,C2,C3 是比例常数.,2 与 F2 之间的关系是线性的.,同理,1 与 F1, 3 与F3 之间的关系也是线性的.,在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功, 克拉贝隆原理（只限于线性结构）,三、变形能的应用,1.计算变形能,2.利用功能原理计算变形,例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度.,解：,由V=W 得,例题2 试求图示梁的变形能,并

5、利用功能原理求C截面的挠度.,解：,由V=W 得,例题3 试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B截面的垂直位移. 已知EI为常量.,解：,由V=W 得,例题4 拉杆在线弹性范围内工作.抗拉刚度EI ,受到F1和F2 两个力作用.,若先在 B 截面加 F1, 然后在 C 截面加 F2;,若先在 C 截面加 F2, 然后在 B 截面加 F1.,分别计算两种加力方法拉杆的应变能.,（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2,（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为,外力作功为,（b）再在C上加 F2,C截面的位移为,F2 作功为,（c）在加F2 后,B截面又有位移,在加

6、F2 过程中 F1 作功（常力作功）,所以应变能为,（2）若先在C截面加F2 ,然后B截面加F1.,（a）在C截面加F2 后,F2 作功,（b） 在B截面加F1后,F1作功,（c）加 F1引起 C 截面的位移,在加F1过程中F2作功（常力作功）,所以应变能为,注意：,（1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别.,（2）应变能V只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关.,解: 梁中点的挠度为:,梁右端的转角为:,梁的变形能为:,例题5,以弯曲变形为例证明 应变能V只与外力的最 终值有关,而与加载过程 和加载次序无关.,先加力 F 后,再加力偶 Me,（1）先加力F后,C 点的位

7、移,力F 所作的功为,（2）力偶由零增至最后值 Me,B 截面的转角为,力偶 Me 所作的功为,先加上的力F所作的功为,C截面的位移为,F与力偶Me所作的功为,两力作用点沿力作用方向的位移分别为,F1 ,F2,（1）设在线弹性结构上作用力,1 ,2,一、功的互等定理（ Reciprocal work theorem ）,13-3 互等定理（Reciprocal Theorems ),F1 和 F2 完成的功应为,（2）在结构上再作用有力,F3 ,F4,沿 F3和 F4方向的相应位移为,3 , 4,F3 和 F4 完成的功应为,（3）在 F3和 F4的作用下,F1 和F2 的作用点又有位移,F1

8、 和 F2 在 1和 2上完成的功应为,因此,按先加 F1,F2 后F3,F4 的次序加力,结构的应变能为,1和 2,若按先加F3 ,F4 后加F1, F2 的次序加力,又可求得结构的应变能为,由于应变能只决定于力和位移的最终值,与加力的次序无关,故,功的互等定理（reciprocal work theorem）:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.,二、位移互等定理（Reciprocal displacement theorem),若第一组力 F1,第二组力只有 F3,则,如果 F1= F3,则有,位移互等定理（reciprocal work

9、theorem）： F1作用点沿 F1 方向因作用 F3而引起的位移等于F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1而引起的位移.（The deflection at A due to a load acting at B is equal to the deflection at B due to the same load acting at A ),三、注意（Notice）,（1）力和位移都应理解为广义的.,（2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变形引起的位移.,13-4 单位荷载法 莫尔定理,一、莫尔定理的推导（Derivation of mohrs theorem）,求任意点

10、A的位移wA,A,图b,变形能为,a,A,图,F1,F2,A,图c,（1）先在A点作用单位力F0 ,再作用F1、F2力,（2）三个力同时作用时,任意截面的弯矩:,变形能:,（Mohrs Theorem）,桁架：,二、普遍形式的莫尔定理,注意:上式中应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相对应的广义力.,三、使用莫尔定理的注意事项,（5）莫尔积分必须遍及整个结构.,（1）M（x）：结构在原载荷下的内力;,（3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲;,A,例题5 抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用,用单位载荷法求梁中点的挠度 wC 和支座A截面的转角.剪力对弯曲的影响不计.,q

11、,B,C,l,l/2,解:,在实际荷载作用下,任一 x 截面的弯矩为,A,A,B,C,（1）求C 截面的挠度,在C点加一向下的单位力,任一 x 截面的弯矩为,q,B,C,l,l/2,ql/2,ql/2,ql/2,A,A,B,（2）求A截面的转角,在 A 截面加一单位力偶,引起的 x 截面的弯矩为,q,C,l,l/2,（顺时针）,ql/2,B,例题6 图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求C点的挠度和转角.,A,C,q,F=qa,a,2a,B,A,A,B,C,a,2a,解：,AB:,（1）求截面的挠度（在C 处加一单位力“1”）,C,q,F=qa,a,2a,BC:,B,A,A,B,C,

12、a,2a,C,q,F=qa,a,2a,FRA,1/2,B,A,BC:,AB:,（2）求C 截面的转角（在C处加一单位力偶）,A,B,C,a,2a,C,q,F=qa,a,2a,FRA,例题7 刚架的自由端A作用集中力F.刚架各段的抗弯刚度已于图中标出. 不计剪力和轴力对位移的影响. 计算A点的垂直位移及B截面的转角.,A,B,C,F,EI1,EI2,解:（1）计算A点的垂直位移,在A点加垂直向下的单位力,AB:,BC:,a,A,B,C,F,l,A,B,C,l,a,（2）计算B截面的转角,在B上加一个单位力偶矩,AB:,BC:,A,B,C,F,l,x,a,A,B,C,l,x,a,例题8 图示刚架,

13、两杆的 EI 和 EA 分别相同,试求C点的水平位移.,解:在 C点加一水平单位力,F,a,a,A,B,B,A,C,C,CB :,AB :,F,a,a,A,B,B,A,C,C,例题9 图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性节点， ABC=90在 C 处承受竖直力F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp ，求C点竖向的位移.,解:在 C点加竖向单位力,BC:,A,B,C,a,b,AB:,例题10 由三杆组成的刚架,B,C为刚性节点,三杆的抗弯刚度都是EI,试用单位载荷法求A1,A2两点的相对位移.,解：在A1,A2 处加一对水平单位力.,B,C 两支座的反力均为零.,A1B：,BC

14、：,CA2：,例题11 刚架受力如图,求A截面的垂直位移,水平位移及转角.,AB：,BC：,解:求A点铅垂位移（在A点加竖向单位力）,求A点水平位移（在A点加水平单位力）,AB：,BC：,求A点的转角（在A点加一单位力偶）,AB:,BC：,例题12 图示为一简单桁架,其各杆的EA相等. 在图示荷载作用下A、C 两节点间的相对位移.,桁架求位移的单位荷载法为,A,C两点间的距离缩短.,例题13 计算图（a）所示开口圆环在F力作用下切口的张开量AB. EI=常数.,B,A,R,P,(b),B,A,R,P,(c),解：,O,O,设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.,作用有外力:,F1 ,F2 ,

15、 ,Fi , ,相应的位移为：,1 , 2 , , i , ,13-5 卡氏定理(Castiglianos Theorem),结构的变形能,只给 Fi 一个增量 Fi .,引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为,在作用Fi 的过程中, Fi 完成的功为,原有的所有力完成的功为,结构应变能的增量为,如果把原来的力看作第一组力,而把 Fi 看作第二组力.,根椐互等定理,略去高阶微量,或者,当 Fi 趋于零时,上式为,这就是卡氏第二定理（Castiglianos Second Theorem）（卡氏定理）（Castiglianos Theorem）,（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体,说明（Dir

16、ections）：,（2）Fi 为广义力，i为相应的位移,（3）卡氏第二定理的应用,（a） 轴向拉伸与压缩,（b） 扭转,（c） 弯曲,（4） 平面桁架,（5） 组合变形,例题14 外伸梁受力如图所示,已知弹性模量EI.梁材料为线弹性体.求梁C截面的挠度和A截面的转角.,F,A,B,C,l,a,FRA,AB:,BC:,A,B,C,l,a,FRA,F,解:,A,B,C,l,a,FRA,F,例题15 刚架结构如图所示 .弹性模量EI已知。材料为线弹性. 不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移.,A,B,C,D,a,a,2a,Me,解 : 在C截面虚设一力偶 Ma , 在D截面虚设一水平力F.,CD:,CB:,AB:,A,B,C,D,a,a,2a,Me,2a,A,B,C,D,a,a,Me,13-6 单位载荷法 莫尔积分,莫尔定理（莫尔积分）,13-6 计算莫尔积分的图乘法,等直杆的情况下,莫尔积分中的EI为常量,可提到积分号外面,只需计算:,C,M(x),设在杆长为 l 的一段内M（x）图是曲线,设直线方程是,为 l 段内图 M(x) 的面积,M(x),x,l,x,C,C 为图M(x)的形心,xC为其坐标,为图M(x)对 y 轴坐标的静矩,M(x),x,l,x,C,对于等直杆有,当M图为正弯矩时,w应代以正号.,当M图为负弯矩时, w应