计算机数学基础一二章4

1、2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,1,变速直线运动中，速度函数v(t)是路程函数sf(t)对时间t的导数，即 而加速度a又是速度v对时间t的导数： 或 这种导数的导数 或 称为二阶导数，记做 或,1.5 高阶导数,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,2,一般地，函数yf(x)的导数 仍然是x的函数， 的导数称为函数yf(x)的二阶导数，记做 或 ，即 或,1.5 高阶导数（续一）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,3,相应地，函数yf(x)的导数 称为函数yf(x)的一阶导数。类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，阶导数的导数称

2、为n阶导数，分别记做 或,1.5 高阶导数（续二）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,4,二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。 例1-36 求y4x33x2x5的四阶导数。,1.5 高阶导数（续三）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,5,补充例题,、求下列函数的二阶导数。 2、,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,6,3、设,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,7,1. 6 微分及其应用,本节内容 1.6.1 微分的定义 1.6.2 微分的几何意义 1.6.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 1.6.4 微分在近似计算中的应用,2020/

3、9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,8,此时也称 是比 低阶的无穷小.,(3)如果 ,则称 是比 高阶的无穷小.记作,(2)如果 ,则称 与 是等价无穷小,记作,(1)如果 是常数),则称 是同阶无穷小.,定义 设 时为无穷小(且 ).,补充内容,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,9,一块正方形均质金属薄片因为受热膨胀，其边长由变到，如右图所示。现在求此薄片面积的增加量。 Ax02 A(x0 x)2x02 2x0 x(x)2,1.6.1 微分的定义,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,10,A由两部分构成，第一部分2x0 x是x的线性函数，是右图中画斜线的两个小矩形

4、面积之和。第二部分(x)2是右图中画交叉线的小正方形的面积。一般情况下， x很小， (x)2则更小。当x0时， (x)2是x的高阶无穷小。所以，当x很小时， 2x0 x是A的很好的近似，即,1.6.1 微分的定义（续一）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,11,定义1-18 设函数yf(x)在某区间内有定义， x0及x0 x在该区间内，如果函数的增量y可表示为 AAx (x) （1-28） 其中A是不依赖于x的常数，而(x)是x的高阶无穷小，则称函数yf(x)在点x0是可微的，而Ax称为函数在点x0相应于自变量增量x的微分，记作，即 dyAx （1-29）,1.6.1 微分的定义

5、（续二）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,12,当A0时， Ax是y的主要部分（x 0）。由于Ax是x的线性函数，因此，微分dy（ Ax ）称为y的线性主部（ x 0 ）；而且，当x很小时，有 （1-30）,1.6.1 微分的定义（续三）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,13,定理1-9 函数在点可微的充分必要条件是该函数在点可导。此时，即有 （1-31） 定理1-9说明：函数可微和可导是等价的。 例1-37 求函数yx3在x1处，x0.1和x0.01时的增量和微分。,1.6.1 微分的定义（续四）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,14,解 由

6、得 。 （1）x0.1时，有 y(10.1)313 0.331 （2）x0.01时，有 y(10.01)313 0.030 301,1.6.1 微分的定义（续五）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,15,函数yf(x)在任意点x的微分称为函数的微分，记作dy或df(x) ，即 显然，函数的微分与x和x的值有关。 通常把自变量x的增量称为自变量的微分，记作dx ，即dxx 。于是函数yf(x)的微分又可记作 （1-32） 从而有,1.6.1 微分的定义（续六）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,16,此前， 是作为导数的整体符号介绍的。有了微分的概念后，可以把它看成两

7、个微分（dy和dx）的商。因此，导数又称为微商。,1.6.1 微分的定义（续七）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,17,如右图所示，曲线yf(x)在点(x0, f(x0)处的切线PT的方程为 若记xxx0，则上式变成,1.6.2 微分的几何意义,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,18,微分dy就是当在取得增量时曲线在点(x0, f(x0)处的切线PT的纵坐标的相应增量。 而y是同样条件下曲线yf(x)的纵坐标的相应增量。,1.6.2 微分的几何意义（续）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,19,基本初等函数的微分公式 (1) dc0 (2) dxx-

8、1dx (3) daxaxlnadx (4) dexexdx (5) (6),1.6.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,20,(7) dsinxcosxdx (8) dcosxsinxdx (9) dtanxsec2xdx (10) dcotxcsc2xdx (11) (12) (13) (14),1.6.3 （续一）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,21,微分运算法则 设函数uu(x) 、 vv(x)可微，则 (1) d(uv)dudv (2) d(uv)vduudv (3) d(cv)cdu (4),1.6.3 （续二

9、）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,22,复合函数的微分微分法则 设yf(u) 、 u(x) ，则复合函数yf(x) 的微分为 由于 ，所以，复合函数yf(x) 的微分公式也可以写成 或,1.6.3 （续三）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,23,将此式与式（1-32）对比可知，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式 保持不变。这一性质称为微分形式不变性。 例1-38 yx33x2x5，求dy。 例1-39 usin(t) （， 为常数），求du。,1.6.3 （续四）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,24,根据前面的介绍，如果yf(x

10、)在点x0处有导数 ，且| x |很小时，有 （1-33） 将yf(x0 x)f(x0)代入式（1-33）可得 （1-34）,1.6.4 微分在近似计算中的应用,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,25,在式（1-34）中令xx0 x ，则可（1-35） 如果f(x0)和 都比较容易计算，就可以利用式（1-33）、式（1-34）和式（1-35）计算有关量的近似值。 例1-40 利用微分求 的近似值。,1.6.4 （续一）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,26,解 因为最接近50的完全平方数是49。所以，利用函数 ，并取x049和x 1解本题。由于 所以 实际上，精确到小数点后6位的近似值是7.071 068 。这表明，前面的近似值已精确到小数点后第3位了。,1.6.4 （续二）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,27,如果在式（1-35）中取x00 ，则得 （1-36） 利用式（1-36）可以推导出下面几个常用的近似公式。 (1) (2) (3) (4) (5),1.6.4 （续三）,2020/9/15,第1章 微分学 周忠荣 编,28,例1-41 利用公式 重解例1-40 解 不能将 变为 ，再在公式中令x49计算的近似值。因为49相对1来说太大了。现在换一种变换方式： ，这时 相对与1就很小了。这样就有 7.071 4,