粘性流体力学第六章6-2

1、第六章 湍流基本理论,第一节 湍流的基本特征和统计平均方法 第二节 湍流连续方程和雷诺方程 第三节 湍流能量方程 第四节 雷诺平均统计模式 第五节 湍流的相关函数和谱分析 第六节 拟序结构 第七节 湍流大涡数值模拟,1,第四节 雷诺平均统计模式,在雷诺方程中的不封闭量是雷诺应力，因此统计模式的目标是封闭雷诺平均方程，建立足够的雷诺应力方程组（代数的、微分的或一般泛函形式的）使得平均运动方程可解。 雷诺统计模式以大量的试验观测为基础，通过量纲分析、张量分析和其他手段，包含合理的推理和猜测，提出假设，建立模型，然后与试验对比，进行进一步的修正和精确化。迄今为止的湍流模拟没有一个是建立在完全严密的理

2、论基础上，因此也称之为湍流的半经验理论。目前虽然没有建立适用于任何流动条件的通用湍流模式的前景，但针对各种具体流动，已成功地发展了一些模型，它们在工程技术应用中发挥着越来越大的作用。 目前的湍流统计模式主要有两类:湍流涡粘模式和雷诺应力模式。,2,1、湍流涡粘模式,(634）,涡粘模式理论是目前工程中常用的模式，它的表达式和分子粘性类似，因此比较容易将NS方程数值解法推广到雷诺平均方程的计算中来。 (1)、涡粘性模型 布西内斯克（Boussinesq J.,1877）提出二维湍流的雷诺应力与粘性应力作用相似的假设，即局部的雷诺应力与平均速度梯度成正比： 对三维流动,(635）,3,其中： 湍流

3、动力粘性系数，或称涡旋粘性系数， 是湍流运动粘性系数。 上述假设所以能提出是基于对湍流脉动引起的动量交换与气体分子运动引起的粘性切应力进行简单的类比的结果。对于 一般在定温下可认为是常数，但 不是常量，因为湍流的动量交换取决于湍流的平均运动。,应力张量表示,(636）,流动只在一个方向上有明确的速度梯度时，可以认为 是个标量。在一般情况下，当i=j时,(637）,4,式中k为湍动能 ，如果 是一个标量， 那么 ，而实际上 。为此Boussinesq修正（635），提出对于三维湍流,(638）,Townsend.A.A测得在圆柱尾迹的充分湍流区， 是来流速度，d是圆柱直径）。Hinze J.O.

4、在空气的圆截面射流中测得 （UP是射流入射速度，d是射流孔径）。当UP40m/s ，d=25mm，则 大约是空气 的1000倍。,5,Prandtl混合长度理论依然从Boussinesq的假设出发，对于二维湍流，令：,式中 为湍流雷诺切应力，并 认为与湍流的脉动 速度与混合长度lm的乘积成正比 混合长度lm类比于气体分子运动的自由行程，在lm一段 特征长度之内湍流微团保持自己的动量不变。,（2）混合长度理论,6,对于图中二维不可压定常湍流： 假设微团从 或 运动至 ，对于 来讲， 脉动速度 或 ，,图66 混合长度与脉 动速度,7,由于 所以微团从 运动到 时 ，也就是说 和 是异号的。 还可

5、以认为 ，这是因为当 处的微团 到达点 时，恰巧在 微团的左边时，就会产 生碰撞，而产生横向运动 ，这样 。同样, 当两个微团到达 点时向相反运动时，周围的微团会 向中间补充也会产生 。,8,图67 的产生,认为,(639）,9,根据实验研究可以得到以下几点： a、由试验得到的 ，不象假设的那样为流体微团的尺寸，而是与流动的平均尺度一样的量级。 b、 不是空间常数。在边界层中根据尼古拉兹和Klebanoff试验，在内层（壁面区） 式中i表示内层，k=0.400.41， 是壁面摩擦 阻力。,(640）,(641）,10,在边界层的外层（核心区）： 式中o表示外层， ， ， 为间隙因子。,(642

6、）,Van Driest（1959）年提出在内层：,(643）,11,式中 ，在外层：,(644）,c、根据上述公式在管流中 时， ，那么， ，而事实上 ，为此Prandtl提出修正：,(645）,是附加混合长度，不过由试验确定 很复杂。,d、混合长度理论没有考虑压力脉动对动量传递的影响，而压力脉动可以跨越lm而传递的，考虑到压力脉动的影响，流体微团的动量不可能在lm范围内保持不变。,12,二维湍流场中，流体微团的动量传递还伴随着旋转， 其角速度为,(646）,Karman相似理论：Karman（1930）提出了一种湍流局部相似性假设。他认为在自由湍流场中各空间点的湍流脉动具有几何相似性，也就

7、是说，各点的湍流脉动对同一个时间尺度和长度尺度只有比例系数的差别，因此只要用一个时间和速度比尺就能确定湍动结构。对于二维湍流场，混合长度lm的表达式为：,13,设一个微团从x2向上运动到x20。其中 那么：,图68 流体微团的动量传递,14,可以求出x2点的平均角速度,15,由于微团以 转动，所以在 处产生 同时 ，并令 ，那么,(647）,16,所以雷诺切应力为： 式中k=0.40。 卡门理论似乎比普朗特理论完善一些，但比较繁 琐，此外当 时， 为奇点 ，所以工程 上多用Prandtl理论。,(648）,17,(647a）,(647b）,18,19,(3)、零方程模型 在上述理论的基础上，一

8、些学者提出了湍流粘性系数的代数型模型，也称为零方程模型: CebciSmith（1968）（CS）模型， MellorHerring（1968）（MH）， PatankaSpalding（1968）（PS）和 BaldwinLomax（BL）等模型。 这些模型的共同点是根据湍流边界层的结构，对 在边界层的内层和外层须用不同的尺度。 CS模型发展了Van Priest的模型，得到广泛的应用，其公式为：,20,对于内层：,k=0.40,A是衰减因子。,(649）,21,若为实壁 则,式中， 为压力梯度系数， 为壁面吹气系数， 。,对于外层 ：,(650）,22,当 当,内层外层的分界点 是（649

9、）式和（650）式达到相同的 值确定。式中 是从层流到湍流转捩区中的间歇因子，对于二维流动：,23,其中 为转捩开始的位置，G为经验系数：,BL模型（1978）同样适用于湍流边界层。其主要特点为：采用分区的涡粘公式；用涡量取代变形率；对混合长度做近壁修正。具体的表达式为：,24,(651）,(652）,25,(653）,26,代数模式的最大优点是计算量少，只要附加粘性模型，就可以利用通常的NS方程数值计算程序，因此深受工程师们欢迎。代数比较模式容易针对特定的流动状态做各种修正。BL模式主要适应于小曲率的湍流边界层，加以修正也可应用于有压强梯度和曲率的边界层。CS模式可用于计算二维和轴对称的不可

10、压边界层，也可推广到三维边界层中。 代数涡粘模式的最大缺点是它的局部性，代数表达式中雷诺应力之核当地的平均变形率有关。代数模式完全忽略了湍流通计量之间关系的历史效应，而历史效应很难做局部的修正，因此发展包含历史效应的模式是必要的，常用的 模式包含部分历史效应，称为目前工程湍流计算的主要封闭模式。,27,2、k-模型,（1）、k-模型 k-模型属于两方程的湍流模型，即湍流湍动能k和湍能的耗散率 是由两个微分方程k和的传输方程决定的。 k-模型仍沿用Boussinesq的涡粘性概念： 式中， 为湍流运动粘性系数，为湍流长度尺度：,(654）,28,对不可压缩湍流的湍流动能方程为：,不可压缩流体的湍

11、流动能方程为：,(655）,29,(656）,(657）,30,(658）,31,32,33,34,因此湍动能耗散的方程为：,(659）,35,36,（2）RNG 湍流模型,鉴于标准 模型中 方程不够精确，尤其对时均应变率较大的流动,如回流、旋流及分离流等难以准确预测。1986年Yakhot和Orszag应用重整化群RNG (Renormalization Group) 理论，建立了一类新的湍流模型RNG 湍流模型，其中方程中的系数都是理论推导出来的。RNG 与标准 模型形式比较相似，其中不同之处主要是在 方程中增加了一项，它包括了涡粘系数的各向异性、历史效应以及平均涡量的影响。,RNG 湍流

12、模型与标准 湍流模型有类似之处：,37,根据Boussinesq假设，湍动能生成项 为：,(660）,(661）,38,式中， 为应变率张量； 是由于浮力引起的湍动能生成项，计算中可以不予考虑； 是由于可压缩性引起的湍动能耗散项，不可压缩流动中也不予考虑。 在 方程中，附加项为,39,（3）在近壁区使用 模式的问题及对策,40,图69 壁面区速度分布,41,(a) 壁面函数法,(b)低雷诺模式,图610 求解壁面流动的两种模式,42,(662）,(663）,43,(664）,44,（4）湍动能和湍动能耗散的边界条件,(665）,45,3、单方程涡粘系数模式,(666）,(667）,46,(66

13、8）,47,将雷诺应力方程 代入方程（669）可得,(669）,48,(670）,49,三阶关联项可以推出输运方程，但会出现四阶关联项。这些高阶关联项的封闭的精度还没有把握，故目前采用Launder提出的代数型模型,4、雷诺应力输运模式：2阶矩模式,(671）,50,在高雷诺数的流动中压力相关项 ，和扩散项 可以忽略。此外湍能耗散项 之项只考虑i=j时的影响，即： 同时认为压力应变率相关项(再分配项)用下式表示：,(672）,(673）,(674）,51,(675）,52,那么应力方程模式化后,式中系数， 同时 。,上式加上耗散率方程，就可以求出雷诺应力。不过此模型对于平面和圆孔自由射流结果并

14、不理想。应力模型处于发展阶段有希望成为适应性很强的湍流模型。,(676）,53,5、代数应力模式（ASM）,应用2阶矩模式求解湍流平均场比涡粘模式需要多解6个雷诺应力的偏微分方程。Rodi(1976)年提出了一个简化的雷诺应力模式，称为代数应力模式(algebraic stress model,ASM)。在缓变的定常薄层湍流运动中，可以不计雷诺应力的时间导数和空间导数项，只有生成、耗散和再分配项，称为雷诺应力输运的局部平衡假定。简单地讲，就是忽略雷诺应力沿平均轨迹的变化和雷诺应力的扩散项。得到雷诺应力的隐式代数方程：,54,(677）,(678）,55,雷诺平均模型虽然取得了一定成功，但它存在以下两个重大缺陷：a、它通过平均运算将脉动运动的全部行为细节一律抹平，丢失了包含在脉动运动