概率论与数理统计第14讲(B).ppt

1、1,概率论与数理统计,第 14 讲（B） 福建师范大学福清分校 数学与计算机科学系 Lin Shao-ling,2,3 一元线性回归,概率论与数理统计,3,一些基本概念,在客观世界中普遍存在着变量之间的关系，变量之间的关系一般来说可分为确定性的与非确定性的两种。 确定性关系是指变量之间的关系可以用函数关系来表达. 非确定性的关系即所谓相关关系.,4,例子:,1、居民按人口计算的平均收入与某种商品（如糖果）的消费量之间，有一定的联系。一般来说平均收入高的消费量大，但平均收入相同时，这种商品的消费量却不一定是完全相同的。为此，这种关系不能用函数关系来表达； 2、森林中的同一种树木，其断面直径与高度

2、之间是有联系的。一般说来，较粗的树较高，但直径相同的树其高度也不完全是相同的。为此，这种关系不能用函数关系来表达； 3、农作物的产量与施肥量、气候、农药也有这种不确定的关系。,5,4、人的身高与体重之间存在着关系, 一般来说, 人高一些, 体重要重一些, 但同样高度的人, 体重往往不相同，为此，这种关系不能用函数关系来表达； 5、人的血压与年龄之间也存在着关系, 一般来说,年龄较大的人血压较年龄小的高,但同年龄的人的血压往往不同，为此，这种关系也不能用函数关系来表达。,6,上述这些变量关系都是非确定性的。这种非确定性的关系称为相关关系.,7,对于具有相关关系的变量，虽然不能找到它们之间的精确表

3、达式，但是通过大量的观测数据，可以发现它们之间存在一定的统计规律性。回归分析就是研究相关关系的一种数学工具。 由一个或一组非随机变量来估计或预测某一个随机变量的观察值时所建立的数学模型及所进行的统计分析称为回归分析,8,如果这个模型是线性的就称为线性回归分析 这种方法是处理变量间相关关系的有力工具，是数理统计工作中一种常用的方法。它不仅告诉人们怎样建立变量间的数学表达式，即经验公式，而且还利用概率统计知识进行分析讨论，判断出所建立的经验公式的有效性，从而可以进行预测或估计。 本章主要介绍如何建立经验公式。,9,（一） 一元线性回归,具有相关关系的变量间虽然不具有确定的函数关系，但是可以借助函数

4、关系表达它们之间的统计规律性。用以近似地描述具有相关关系的变量间联系的函数称为回归函数。 在实际中，最简单的情况是由两个变量组成的关系。,10,设随机变量Y与X之间存在着某种相关关系。 这里，X是可以控制或可以精确观察的变量, 如年龄, 试验时的温度, 施加的压力, 电压、时间等等。 即可以随意指定n个值 因此干脆不把X看成随机变量，而将它当作普通的变量。X的变化将使Y发生相应的变化，但它们之间的变化是不确定的。由于Y是随机变量 ，当X取得任一个可能的值x时，Y都相应地服从一定的概率分布。,11,设进行 n 次独立试验，测得试验数据如下表：,12,13,14,例1 为研究某一化学反应过程中,

5、温度x(C)对产品得率Y(%)的影响, 测得数据及散点图如下：,15,16,再看一道例题,补充例题 ：以家庭为单位，某种商品年需求量与该商品价格的一组数据如下表所示；,17,从上表的统计结果表明，尽管价格不变，需求仍可能变化，价格改变，需求也可能不变。但是，总趋势是家庭对该商品的年需求量随着价格的上升而减少，即它们之间存在着密切的联系。 为了确定回归函数 的类型，可将每对观察值在直角坐标系中描出它的相应的点, 得出散点图 如下.,18,19,需求量d与价格p关系的散点图：,20,可以看出,所有散点大体上都分布在一条直线的周围.即得率与温度大致成线性关系；同样，需求量与价格大致成线性关系。，因而

6、可以看出回归函数 具有线性函数 a+bx 的形式 。,21,22,由上面的回归模型可以看出:Y由两部分组成, 一部分是x的线性函数 另一部分是 ，称为随机误差, 是人们不可控制的。,23,（二） a , b的估计 对X取n个不全相同的值 做独立试验，得到样本 由（3.2）式,24,25,显然, 要L取最大值, 只要 (34) 右端方括弧中的平方和部分为最小, 即只需,26,27,28,29,30,31,32,为了计算上的方便, 引入下述记号：,33,例2 (续例1) 例1数据为： 为研究某一化学反应过程中, 温度x(C)对产品得率Y(%)的影响, 测得数据如下,假设随机变量Y符合（3.2）式所

7、述的条件：即 其中未知参数 a, b , 都不依赖于x,试求Y关于x的一元线性回归方程.,34,35,36,37,例题2 求补充例题的一元线性回归直线方程所需数据列表如下,38,39,40,41,42,43,44,45,46,(四) 线性假设的显著性检验,47,48,49,50,当假设 b = 0 被拒绝时, 认为回归效果是显著的, 反之, 就认为回归效果不显著. 回归效果不显著的原因可能有如下几种: 1、影响 Y 取值的,除 x 及随机误差外还要其它不可忽略的因素. 2、E(Y) 与 x 的关系不是线性的，而存在着其它的关系. 3、Y与 x 不存在关系. 因此需要进一步分析原因, 分别处理.,51,52,53,54,(4) 列表求值:,55,56,57,(5) 结论,58,(五)系数b的置信区间,59,60,61,62,63,64,65,(七) Y的观察值的点预测和预测区间,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,例5 (续例2) (1)求回归函数 在x=125处的值 的置信水平为0.95的置信区间, 求在x=125处Y的新观察值 的置信水平为0.95的预测区间; (2)求在x = 处Y的新观察值