动感几何之从特殊到一般(刊出稿)

1、动感几何之从特殊到一般江西省临川二中 黄金声（）从特殊到一般（当然也包括从一般到特殊）是一种重要的数学思维方式，在更加注重课堂效度、注重师生可持续发展能力培养的新课程理念的指引下，正广泛运用于各种数学活动中.认识它、掌握它、驾驭它，已成为越来越多的学生、教师及教研人员的迫切需求.笔者试图从基本的几何图形入手，解读这一数学思维方式在问题探究中的运用，以求抛砖引玉.（特别说明：“动感几何”一词是笔者在江西省2001年中考复习研讨会上提出来的，其内涵主要是指几何问题探究中的条件动、结论动、图形动、方法动、思维动等等.）一.“从特殊到一般”的基本含义从特殊到一般（或从一般到特殊）是指通过对特殊现象的认

2、识，利用归纳、类比、猜想（很多专家都认为，猜想本身就是一种合情推理.）等推理形式，探索发现结论的一般性、延展性及可变性，解决问题手段和方法的规律性，图形变化的可持续性等等.二.“从特殊到一般”基本含义的诠释1.探“源”1.1源源是指在数学的文字语言、图形语言、符号语言中存在的可以运用“从特殊到一般”这一思维方式进行问题探究的切入点和关键点.“从特殊到一般”的源可分为“特殊化源”和“一般化源”两类.特殊化源：能将一般化问题特殊化的切入点和关键点称为特殊化源.一般化源：能将特殊化问题一般化的切入点和关键点称为一般化源.1.2源认知个体在认知活动中，运用所掌握的知识和具备的能力对要完成的活动进行积极

3、探索和相应的调节，以达到探“源”的目的.这样的思维活动过程，叫做源认知.这是驾驭“从特殊到一般”这一数学思维方式的核心所在.2.“源”存在的几种基本形式2.1“源”之一：题设中隐含的条件【题1】如图1所示，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且BE+DF=EF.则EAF= 度.探究策略：点E、F可以是边BC、CD上的任意一点.问题的核心是EAF可以绕点A旋转，且EAF的度数是一个定值.猜想：在图形较准确的前提下，直接测量.特殊化源：在确保BE+DF=EF的前提下，点E、F可以是边BC、CD上的特殊点.设点E、F分别与C、D重合，如图11，此时BE=BC，DF=0，EF =CD，仍

4、满足BE+DF=EF.显然有EAF=45.ABCDEF图1ABC(E)D(F)图1-1ABCDEF图1-2设BE=DF=，如图12，连接AC，则AC垂直平分EF，五边形ABEFD被分割成四个全等的直角三角形，易得EAF=45.启示：探究一般化图形中的结论，可以抓住已知条件中隐含的可变因素，将图形特殊化，从而暴露出图形的本质属性.2.2“源”之二：解题过程中隐含的条件【题2】如图2，ABC中，AB=AC，DA=DE，BAD=20，EDC=10，则DAE= 度.图2ABCDEABCDE图2-1解：设B=C=x，DAE=DEA=y，ADE=z.则有解之得y=z，即DAE=60.DAE=60意味着什么

5、？ADE是等边三角形！几何竟然如此纯真，这般和谐！探究策略：显然，图2中BAC60，此时点D在BC边上.若BAC60，如图21，则点D应在CB的延长线上，点E则在AC的延长线上.此时，ADE仍是等边三角形.从解题过程可知，方程组中两个10与一个20正好抵消，这意味着将条件一般化为BAD=2EDC，就有ADE是等边三角形的结论.当BAC=60时，点D与点B重合，即ABC与ADE重合.此时BAD=2EDC =0.逆向思维：若DAE是等边三角形，其他已知条件不变，则BAD=2EDC成立吗？一般化源：由解方程组中两个10与一个20不加修饰的抵消，得出一般化条件BAD=2EDC.启示：反思解题过程，极有

6、可能是下一个精彩的开始.在反思解题过程中，依据已知的若干个别因果联系（特殊化），往往能洞察更一般化的本质属性，从而揭示出未知的一般因果联系.2.3“源”之三：结论中隐含的条件【题3】如图3，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.（1）设长方形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？（2）设长方形的面积为ym2，当x取何值时，y最大？最大值是多少？【题4】如果把长方形改为如图4所示的位置，其他条件不变，那么长方形的最大面积是多少？A40m30m图3BDCA40m30m图4BDC（说明：题3和题4分别为北师大版九年级下册第二章“二次函数”第7节“最大面积是

7、多少”的引例及习题.）两题的结果一样，长方形的最大面积均等于300m2.题做完了吗？且慢！为什么都是300m2？300m2，不就是直角三角形面积的一半吗？是巧合吗？这样的巧合中有何玄机？一般化源：两题结果均为300m2，即内接矩形的最大面积均等于直角三角形面积的一半.探究策略：将图形（数据）一般化，如图所示. 设矩形（阴影部分）的面积为S.Ab图3-1BDCaPcccccQccAb图4-1BDCaOcc如图31，由三角形相似得：，.即当时，S最大 =.如图41，作斜边上的高OQ，则OQ=.由三角形相似得：，则即当时，S最大 =.由此获得了直角三角形一个性质：直角三角形内接矩形的最大面积等于直角

8、三角形面积的一半.启示：结论的获得并不意味着解题的结束，两题结论看似巧合，实则必然.把巧合作为切入点，距真理（或真相）就会越来越近.2.4“源”之四：题设中的限制条件ABCD(G)EF图5【题5】如图5，两个边长相等的正方形一边重合.连接AC、FC.求证：（1）AC=FC；（2）ACFC.探究策略：点B、C、E在同一条直线上，且C是BE的中点.两个正方形的大小关系：全等.两个正方形的位置关系：一边重合.能否突破题设的限制条件，使图形一般化？如图51，点B、C、E在同一条直线上，若BCCE，显然ACFC，只有取BO=EF，才有AO=FO与AOFO成立.一般化源：两个正方形边长不等，点B、C、E在

9、同一条直线上.图5中，C是BE的中点. 为什么图51中O却不是线段BE的中点？根据特殊图形中某些属性可以在一般化图形中自然延续这一规律，O必定是某一线段的中点.如图51，有BO=CE，则只要延长CB到M，使BM=BC，再延长CE到N，使EN=EC，则O就是线段MN的中点，即B、E、O必须同时赋予“中点”的身份.【题51】如图52，B、E、O分别是线段MC、CN、MN的中点，连接AO、FO.求证：（1）AO=FO；（2）AOFO.两个正方形边长相等，点B、C、E不在同一条直线上，即BCE180.【题52】如图53， B、E、O分别是MCN一边的中点，连接AO、FO. 问：AO=FO与AOFO还成

10、立吗？两个正方形边长不等，点B、C、E不在同一条直线上.ABCDEFGO图51ABCDEFGOMN图53ABCDEFGOMN图54ABCDEFGO图52MN【题53】如图54，B、E、O分别是MCN一边的中点，连接AO、FO. 问：AO=FO与AOFO还成立吗？启示：题设中的限制条件是为探究有限结论服务的，有规律的突破它，就有意外的惊喜.弄清一般图形中相应点、线段的“新身份”是贯彻从特殊到一般的重要基础，是确保特殊图形中的结论在一般化图形中延续的前提和保证.图53及图54是将一般化进行到底.这里涉及两个方面：一是两个正方形绕点C旋转，在旋转中，图形固有的属性（性质）可能不变或发生规律性的变化；

11、二是B、E、O三点仍然分别为线段MC、NC、MN的中点，只是因旋转变换使B、C、E三点不再在同一条直线上，派生出了MCN.2.5“源”之五：题设中的富余条件【题6】如图6，直线CD过线段AB的中点O.过点A、B作AB的垂线, 分别交直线CD于点C、D.求证：（1）ACBD；（2）O是线段CD的中点.探究策略：由题意可知：ACBD，A=B=90.很显然，可证RtOACRtOBD，得ACBD，OCOD.若CD不经过线段AB的中点（特殊点），怎样找出CD的中点？解题过程没有用到A=B=90.能否弱化已知条件？一般化源：平移CD，即CD不经过线段AB的中点O.【题61】如图61，过线段AB的中点O作A

12、B的垂线，交CD于点P.问：（1）点P是CD的中点吗？（2）线段BD、AC、PO有怎样的数量关系？图6-3ABCDPOEF图6-2ABCDPOEFABCDO图6ABCDPO图6-1略解：（1）由于CD向上平移了OP长的距离，则点P可看成是由点O延竖直向上方向运动而来，即点P是CD的中点.（2）由于“生成” 了一条新的线段OP，所以ACBD不成立.将CD平移到FE位置（如图62）或将AB平移到FE位置（如图63），易证BD-AC=2PO. 富余的已知条件A=B=90.【题62】如图64，O是线段CD的中点，ACBD，点P在线段CD上.当OP满足怎样的条件时，结论P是CD的中点及BD-AC=2PO

13、仍然成立？ 不难发现，当OPACBD时，仍有PCPD和BD-AC=2PO.图6-4ABCDO图6-6ABCDPOFEABCDO图6-5FEP探究方法与上题一样.如图65、图66所示.启示：一般化图形中的结论，是特殊化图形中相应结论的自然延续，如结论BD-AC=2PO是由ACBD自然延续而来.在一般化图形中探究结论，常用的方法是作出（还原）特殊化图形.题设中富余的已知条件（有时隐藏得很深）是将图形一般化的重要源头.2.6“源”之六：图形中可以弱化的条件【题7】如图7，直角三角形的直角顶点P(不与点B重合)在正方形ABCD的对角线BD上滑动，其中一条直角边始终经过点A,另一条直角边交BC于点Q.

14、问：线段AP与PQ有怎样的数量关系？一般化源：四边形的四个内角是直角，且APQ与四边形对角线所分的角相等.【题71】将正方形换成矩形.如图71，线段AP与PQ又有怎样的数量关系？四边形的四条边相等，且APQ与四边形对角线所分的角相等.ABCDPQ图7ABCDPQ图7-1ABCDPQ图7-2【题72】将正方形换成菱形.如图72，菱形ABCD中，ABC=120.P是对角线BD上一动点，APQ=120（为什么是120？）. 问：线段AP与PQ有何数量关系？探究策略：“点P不与点B重合”的画外音是“点P可以与点D重合”.将图形特殊化，即设点P与点D重合.则以正方形为背景中有AP=PQ，以矩形为背景中有

15、APPQ= ADDC.经探究，在正方形中构造全等三角形(RtAEPRtPFQ)可得AP=PQ，如图73；在长方形中，如图74，通过构造相似三角形(RtAEPRtPFQ)得APPQ= AEPF，即APPQ= BFPF，所以APPQ= ADDC.如图72，证ABPPBQ，得APPQ= ABPB= DBPB.也可如图75，过点P作EFAB，证APDPQF.ABCDPQ图7-3EFABCDPQ图7-4EFEF图7-5ABCDPQ当背景图形为菱形时，将点P特殊化.当点P与点D重合时（PD=0），APPQ=ADDC=1= ADDB；当点P是DB的中点（PD=DB）时，APDB，PQBC，APPQ=2= A

16、DPB.由此看出，APPQ的值均保持了固有的延展性，即图形的基本属性得以延续.启示：从解题手段上看，都可以过点P作EFAB，体现解题手段的一致性.从结论上看，正方形中AP=PQ即APPQ=1=ADDC，这一结论在长方形及菱形中得以自然延续.从解题方法上看，是由证三角形全等过渡到证三角形相似，体现了解题方法的从特殊到一般.将图形一般化之所以能实现，是因为它们有着共同的基本属性.如：矩形中APQ是90而菱形中APQ是120，也是基于APQ的顶点P所在对角线对应角的度数而确定的.当然，菱形中若点P在对角线AC上，则相应角的度数应是60.显然，这种一般化还可延伸到平行四边形.有兴趣者不妨一试.3.开“

17、源”所谓开“源”，就是以某一特殊图形所具有的基本性质为出发点，在将图形一般化的过程中，逐步地暴露其基本性质的连续性和延展性，以达到探“源”的目的.【题8】如图8，ABC中，ADBC于D ，且D是BC的中点，则有AB=AC，AD平分BAC.开“源”之一：拓展ADBC，即将AD平移至GE位置（类似作GEAD）.【题81】如图81，图82，GFBC于E，则有AF=AG.ABCD图8ABCDEFG图8-1EABCDFG图8-2说明：AF=AG体现了AB=AC的连续性.【题9】进一步将图形一般化处理.如图9，ABC中，设ABAC，AD平分BAC.（说明：由于ABAC，所以，D不再是BC的中点.）开“源”之二：拓展AD平分BAC，将AD平移至GE位置，使E是BC的中点.ABCD图9EABCDFG图9-1【题91】如图91，AD平分BAC，作GEAD，且E是BC的中点.则有AF=AG及CG=BF.说明：AF=AG是AB=AC的延续，而CG=BF则彰显了对AB=AC这一结论的拓展延伸.启示：只要一般化图形中含有特殊图形的某些特性，则在特殊图形中由此派生的基本属性将会在一般图形中得以保留或有规律的拓展延伸.这是研究一般化图形