求值域的10种方法

1、求函数值域的十 种方法 一一直直接接法法 （观观察察法法） ：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 1求函数的值域。 1yx 【解析】，函数的值域为。 0 x 11x 1yx1,) 【练习】 1求下列函数的值域： ； 32( 11)yxx xxf42)( ；，。 1 x x y 411 2 xy2 , 1 , 0 , 1x 【参考答案】；。 1,52,)(,1)(1,) 4 1,0,3 二二配配方方法法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 的函数的值域问题，均可使用配方法。 2 ( )( )( )f xafxbf xc 例 2求函数（）的值域。 2 42yx

2、x 1,1x 【解析】。 22 42(2)6yxxx ，。 11x 321x 2 1(2)9x 2 3(2)65x 35y 函数（）的值域为。 2 42yxx 1,1x 3,5 例 3求函数的值域。 )4, 0(42 2 xxxy 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： 配方得：利用二次函数的相关知识得 )0)(4)( 2 xfxxxf)4, 0(4)2()( 2 xxxf ，从而得出：。 4, 0)(xf 0,2y 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题 为：。 0)(xf 例 4若，试求的最大值。 , 42yx0,

3、 0yxyxlglg 【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最 ( , )p x y42yxxyyxlglglg 大值。利用两点，确定一条直线，作出图象易得： (4,0)(0,2) ，y=1 时，取最 2 (0,4),(0,2),lglglglg (42 )lg 2(1)2xyxyxyyyy而yxlglg 大值。 2lg 【练习】 2求下列函数的最大值、最小值与值域： ； 14 2 xxy4 , 3, 14 2 xxxy 1 , 0, 14 2 xxxy ；，；。 5 , 0, 14 2 xxxy 5 x xx y 42 2 4 , 4 1 x 6 2 23yxx 【参考答案

4、】； 3,) 2,1 2,1 3,6 5 73 6, 4 60,2 三三反反函函数数法法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的 值域。 适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函 数类型。 例 5求函数的值域。 1 2 x x y 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。 x 反解得，故函数的值域为。 1 2 x x y y y x 2(,2)(2,) 【练习】 1求函数的值域。 23 32 x y x 2求函数，的值域。 axb y cxd 0, d cx c 【参考答

5、案】1；。 22 (, )( ,) 33 (,)(,) aa cc 四四分分离离 变变量量法法： 适用类型 1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数 法。 例 6：求函数的值域。 1 25 x y x 解：， 177 (25) 11 222 2525225 x x y xxx ，函数的值域为。 7 2 0 25x 1 2 y 1 25 x y x 1 | 2 y y 适用类型 2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为(常 )(xfky为k 数)的形式。 例 7：求函数的值域。 1 2 2 xx xx y 分析与解分析与解：观察分子、

6、分母中均含有项，可利用分离变量法；则有 xx 2 。 22 22 1 1 11 xxxx y xxxx 2 1 1 13 () 24 x 不妨令：从而。 )0)( )( 1 )(, 4 3 ) 2 1 ()( 2 xf xf xgxxf , 4 3 )(xf 注意：在本题中若出现应排除，因为作为分母.所以故。 0)(xf)(xf 4 ( )0, 3 g x 1 , 3 1 y 另解另解：观察知道本题中分子较为简单，可令，求出 的值域，进而可得到 2 22 11 1 xx t xxxx t 的值域。 y 【练习】 1求函数的值域。 1 322 2 2 xx xx y 【参考答案】1 10 (2,

7、 3 五五、换换元元法法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的 方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当 根式里是一次式时，用代数换元代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元三角换元。 例 8：求函数的值域。 212yxx 解：令（），则，。 12tx0t 2 1 2 t x 22 15 1() 24 yttt 当，即时，无最小值。函数的值域为。 1 2 t 3 8 x max 5 4 y 212yxx 5 (, 4 例 9：求函数的值域。 2 21 (1)yxx 解：因，即。 2 1 (1)0 x 2

8、(1)1x 故可令，。 1cos,0, x 1cossincos11cosy 2 1) 4 sin(2 ， ， 4 5 44 ,0 2 sin()1 24 02sin() 1 12 4 故所求函数的值域为 。 21 , 0 例 10.求函数的值域。 3 42 21 xx y xx 解：原函数可变形为： 2 22 121 211 xx y xx 可令 x=，则有 tan 2 2 22 21 sin2 ,cos 11 xx xx 11 sin2cos2sin4 24 y 当时，28 k max 1 4 y 当时，28 k min 1 4 y 而此时有意义。 tan 故所求函数的值域为 4 1 ,

9、4 1 例 11. 求函数，的值域。 (sin1)(cos1)yxx , 12 2 x 解： (sin1)(cos1)yxx sincossincos1xxxx 令，则 sincosxxt 2 1 sin cos(1) 2 xxt 22 11 (1)1(1) 22 yttt 由 sincos2sin() 4 txxx 且 , 12 2 x 可得： 2 2 2 t 当时，当时， 2t max 3 2 2 y 2 2 t 32 42 y 故所求函数的值域为。 32 3 ,2 422 例 12. 求函数的值域。 2 45yxx 解：由，可得 2 50 x |5x 故可令 5cos,0, x 5cos

10、45sin10sin()4 4 y 0 5 444 当时，4 max 410y 当时， min 45y 故所求函数的值域为：4 5,410 六六、判判别别式式法法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式 x ( , )0f x y ，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此 0 2 111 2 222 a xb xc y a xb xc 1 a 2 a 方法求解。 例 13：求函数的值域。 2 2 3 1 xx y xx 解：由变形得， 2 2 3 1 xx y xx 2 (1)(1)30yxyxy 当时，此方程无解； 1y 当时， 1y xr 2 (1)4

11、(1)(3)0yyy 解得，又， 11 1 3 y 1y 11 1 3 y 函数的值域为 2 2 3 1 xx y xx 11 |1 3 yy 七七、函函数数的的单单调调性性法法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数 的值域。 例 14：求函数的值域。 12yxx 解：当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大， x12xx1 2xx 函数在定义域上是增函数。 12yxx 1 (, 2 ， 111 1 2 222 y 函数的值域为。 12yxx 1 (, 2 例 15. 求函数的值域。 11yxx 解：原函数可化为： 1x1x 2 y 令，显然在上为无上界的增函数 1, 1

12、 21 xyxy 21 y,y, 1 所以在上也为无上界的增函数21 yyy, 1 所以当 x=1 时，有最小值，原函数有最大值21 yyy 2 2 2 2 显然，故原函数的值域为 0y 2, 0( 适用类型 2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减原理：同增异减） 例 16：求函数的值域。 )4(log 2 2 1 xxy 分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令： 配方得：由复合函数的单调性（同增异减） 2 ( )4 ( ( )0)t xxx t x 2 ( )(2)4( )0,4)t xxt x 所以（ 知：。 ), 2y 八八、利

13、利用用有有界界性性：一般用于三角函数型，即利用等。 1 , 1cos,1 , 1sinxx 例 17：求函数的值域。 cos sin3 x y x 解：由原函数式可得：，可化为： sincos3yxxy 2 1sin ()3yx xy 即 2 3 sin () 1 y x x y x r sin ( ) 1,1x x 即 2 3 11 1 y y 解得： 22 44 y 故函数的值域为 22 , 44 注：该题还可以使用数形结合法。，利用直线的斜率解题。 coscos0 sin3sin3 xx y xx 例 18：求函数的值域。 1 2 12 x x y 解：由解得， 1 2 12 x x y

14、 1 2 1 x y y ， 20 x 1 0 1 y y 11y 函数的值域为。 1 2 12 x x y ( 1,1)y 九、图像法（数形 结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的 距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例 19：求函数的值域。 |3|5|yxx 解： ， 22 |3|5|8 22 x yxx x (3) ( 35) (5) x x x 的图像如图所示， |3|5|yxx 由图像知：函数的值域为 |3|5|yxx8,) 例 20. 求函数的值域。 22 (2)(8)yxx 解：原函数可化简得： |2|8|y

15、xx 上式可以看成数轴上点 p（x）到定点 a（2），间的距离之和。 ( 8)b 由上图可知，当点 p 在线段 ab 上时， |2|8| | 10yxxab 当点 p 在线段 ab 的延长线或反向延长线上时， |2|8| | 10yxxab 8 5-3 o y x 故所求函数的值域为：10, 例 21. 求函数的值域。 22 61345yxxxx 解：原函数可变形为： 2222 (3)(02)(2)(0 1)yxx 上式可看成 x 轴上的点到两定点的距离之和， ( ,0)p x(3,2),( 2, 1)ab 由图可知当点 p 为线段与 x 轴的交点时， 22 min |(32)(2 1)43y

16、ab 故所求函数的值域为 43, 例 22. 求函数的值域。 22 61345yxxxx 解：将函数变形为： 2222 (3)(02)(2)(0 1)yxx 上式可看成定点 a（3，2）到点 p（x，0）的距离与定点到点的距离之差。 ) 1 , 2(b )0 , x(p 即： |yapbp 由图可知：（1）当点 p 在 x 轴上且不是直线 ab 与 x 轴的交点时，如点，则构成，根据三 pabp 角形两边之差小于第三边，有 22 | |(32)(2 1)26apbpab 即： 2626y （2）当点 p 恰好为直线 ab 与 x 轴的交点时，有| | |26apbpab 综上所述，可知函数的值

17、域为：( 26,26 例 23、：求函数的值域. x x y cos2 sin3 分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式，将 12 12 xx yy k 原函数视为定点(2，3)到动点的斜率，又知动点满足单位圆的方程，从而问题 )sin,(cosxx)sin,(cosxx 就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相 切时取得，从而解得： 3 326 , 3 326 y 点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。 例 24求函数的值域。 xxy11 分析与解答：令，则， xu

18、1xv10, 0vu2 22 vu yvu 原问题转化为 ：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线 yvu 2 22 vuuov 的截距的取值范围。 由图 1 知：当经过点时，； yvu)2, 0(2 min y 当直线与圆相切时，。 222 2 max ocody 所以：值域为 22 y 2 2 o v ua b c d e 十十：不不等等式式法法：利用基本不等式，求函数的 3 2,3abab abcabc( , ,)a b cr 最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、 添项和两边平方等技巧。 例 25. 求函数的值域。 22

19、 11 (sin)(cos)4 sincos yxx xx 解：原函数变形为： 22 22 22 22 22 11 (sincos) sincos 1sec 3tancot 32 tancot 5 yxx xx ces xx xx xx 当且仅当tan cotxx 即当时，等号成立4 xk ()kz 故原函数的值域为：5, ) 例 26. 求函数的值域。 2sin sin2yxx 解： 4sin sincosyxxx 2 4sincosxx 42 222 2223 16sincos 8sinsin(22sin) 8(sinsin22sin)/3 64 27 yxx xxx xxx 当且仅当，即当时，等号成立。 22 sin22sinxx 2 2 sin 3 x 由可得： 2 64 27 y 8 38 3 99 y