递推关系中数列通项的几种类型.doc

1、递推关系中数列通项的类型题一、等差数列与等比数列公式性质对比表等差数列等比数列1.定义式 2.通项公式 3.前n项和公式Sn= =Sn = 4.中项公式an=an=5.任意起点项通项公式an=an=6.通项公式是n的函数通项公式是n的一次函数an=7.前n项和是n的函数前n项和是n的二次函数Sn= 8.附标和性质若m+n=p+q,则若m+n=p+q,则若m+n=2p，则若m+n=2p，则9.等距离分离出来的子数列性质10.等距离分段和性质11.线性组合数列12.三个数成等差（比）数列的常见设法13.14.15.任意数列的通项公式(Sn与an的关糸)16.是等差数列，是等比数列，则数列的前n项和

2、的求法：独门绝招8递推关系中数列通项的类型题在有关数列的问题中，有些通项公式是通过递推关系给出的。本文浅淡利用递推关系求数列通项的几种类型，供同学们参考与练习。二、从课本谈起1、等差数列通项公式的推导 an=an-1+d anan-1=d =an-2+d+d an-1-an-2=d =an-3+d+2d an-2-an-3=d =a1+(n-1)d a2 a1 =d + a1 =a1 这是迭代的思想 an=a1+(n-1)d 这是叠加的思想2、等比数列通项公式的推导 an=an-1q =an-2q2 =an-3q3 =a1qn-1 这是迭代的思想 a1 =a1 an=a1qn-1 这是叠乘的思

3、想3、迭代、叠加、叠乘是递推数列通项公式求法的主流思想.课本题(P110) 已知数列an中，a1=,an=4an-1+1 (n2), 写出它的前4项, 并求它的通项公式.方法1(迭代)方法2(叠加)方法3(待定系数) an=4an-1+1 an+=4an-1+1+=4(an-1+)可见数列 an+是以a1+=为首项, 以q=4为公比的等比数列.an+=4n-1 又a1=也适合上式,an=4n-1-(!)你知道吗, “”怎么来的?待定系数法三、题型分类及入手方法1、形如an+1=pan+q (p,q为常数)(1)p=0是常数列.(2)p0,q=0,a10, 是等比数列.(3)p=1, 是等差数列

4、(4) 当p0、1且q0时, 用待定系数法. l= (上题中l=)对应练习 1、已知数列an满足a1=1，an0, 且,求an ()2、形如an+1=an+f(n)型 （1）若f(n)为常数，即an+1-an=d，此时数列为等差数列，则an= a1+(n-1)d，（2）若f(n)为n的函数时，用累加法：若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。2、已知数列an中，an0且sn=(an+)，求数列an的通项公式。 ( )解：

5、评注已知a1=a, an+1=an+f(n)其中f(n)是关于n的一次函数、二次函数、指数函数或分式函数时，均可通过累加进行转化,进而求出通项.此题也可以用数学归纳法来求解。对应练习3、已知数列an满足a1=，an=an-1+ (n2), 求数列an的通项公式。 () 4、已知数列an满足关系式 且a1=2, 求数列an的通项公式。 (4n-2)3、形如an+1=anf(n)型（1）当f(n)为常数，即=q（其中q是不为0的常数）时，此数列为等比数列,an=a1qn-1（2）当f(n)为n的函数时，用累乘法。 5、已知an+1=nan+n-1,a1-1，求数列an的通项公式。解： (a1+1)

6、(n-1)!-1 评注解本题的关键是把原来的递推关系式an+1=nan+n-1,转化为an+1+1=n(an+1),若令bn= an+1则问题进一步转化为bn+1=nbn的形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式。对应练习 6、已知数列an的a1=a , 且nan+1=(n+1)an ,求an.(an=na)4、形如an+1+an=f(n)型（1）若f(n)为常数，即an+1+an=q/（q为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数来讨论。（2）若f(n)为n的函数（非常数），可通过构造转化为an+1-an=f(n)型，通过累加来求出通项；或用逐差法（两式相

7、减）得an+1-an-1=f(n)-f(n-1)，分奇偶项求通项。7、数列an满足a1=0, an+1+an=2n，求数列an的通项公式。 (n为奇数) (n为偶数)对应练习8、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后面一项之和都为同一个常数, 这个常数叫“公和”,那么这个数列叫做等和数列. 已知数列an是等和数列, 且a1=2, 公和为5, 那么a18= ; 这个数列的前21项和S21= 这个数列的前n项和Sn= 352、Sn = 5形如an+1an=f(n)型（1）若f(n)为常数，即an+1an=q/( q/为常数)，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇

8、数项和偶数项来讨论。（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法，两式相除后得=，对奇数项和偶数项分别求通项。对应练习 9、上一题中的“等和数列”改为“等积数列”,“公和”改为“公积”其他条件不变. 则a18= ;S21= ; Sn= 10、已知数列an满足a1=3，anan+1=()n (nN+),求此数列的通项公式。 6. 形如 an+1=pan+f(n)型（1）若f(n)=kn+b（其中k、b是常数，且k0）可用相减法求解。（2）若f(n)=qn（其中q是常数，且n0、1）当p=1即an+1=an+qn时,累加即可当p1时,即an+1=pan+ qn时.有以下三种方向：(i)两边

9、同除以pn+1原式变为 令 则, 然后累加求通项。(ii)两边同除以qn+1原式变为 令 则可化为 来求解。 （iii）待定系数，设an+1+lpn+1=p(an+lpn)通过比较系数，求出l,转化为等比数列求通项。11、在数列an中，a1= ,2an-an-1=6n-3,求通项。12、设a0为常数,且an=3n-1-2an-1 (nN)证明对任意n1, an=3n+(-1)n-12n+(-1)n2na0证法1：证法2：证法3（待定系数法）：证法4(数学归纳法)对应练习 13、已知数列an中a1=1，an+1=3an+2n-2, 求an。 14、设数列an的前n项和为sn, 且a1=1,an+

10、1=2sn+n2-n+1, 求数列an的通项an。 (同上)7、形如 型（1）m、k、q0,p=0即 ,一般用取倒数转化成类型 来做。（2）若 （m、k、p、q为定值），一般用不动点法。设f(x)= 由方程f(x)=x求得两根x1、x2,由知 同理 两式相除有, 从而可看成等比数列求解。15、设数列an满足a1=2, 求数列an的通项公式。解法1（待定系数法）： (an=)解法2(不动点法)： 解法3：(不动点+取倒数)评注此类问题若能用倒数法通常比参数法求解简单。对应练习 16、已知数列an中a1=2,且 求数列an的通项an。 (an=) 17、已知数列an中a1=2, 且 求数列an的通

11、项an。 (an=) 18、已知数列an中a1=2, 且 求数列an的通项an。 ( )8、形如an+1=pan+qan-1（其中p、q为常数）型（1）当p+q=1时，可转化为等比数列求解。（2）当p+q1时，用特征根法(理)。19、数列an中,若a1=8,a2=2且满足an+2-4an+1+3an=0求an。 (an=11-3n)20、已知数列an满足an+2-5an+1+6an=0且a1=1,a2=5,求an。 (3n-2n) 评注形如an+2=pan+1+qan的递推数列，我们通常采用两次类型5的方法来求解，但这种方法比较复杂，这里采用特征根的方法,其原理如下:设方程x2=px+q的两根

12、为x1、x2, 则an=s+r (其中s、r可利用初始的值a1,a2求得)。 事实上, 设x1、x2能使上面的递推关系an+1=pan+qan-1变为an+1-x1an=x2(an-x1an-1) an+1=(x1+x2)an-x1x2an-1比较an+1两式的系数得x1+x2=p,x1x1=-q, 故而以x1、x2为根的一元二次方程应是x2-px-q=0, 即x2=px+q 这个方程可这样去记忆, 在递推关系an+1=pan+qan-1中 x2 =p x1+qx0这就是特征根的来源, 得了特征根后, 就可按等比数列写通项:an-x1an-1=(a2-x1a1) 两边除以: 这样就可构成一个可

13、用叠加完成的新数列.对应练习 21、(课本p110) 已知数列an第一项是1, 第二项是2, 以后各项由an=an-1+an-2 (n3) 给出, 写出这个数列的前五项, 并求它的通项公式。 22、已知数列an中a1=0,a2=1, a3=2, 且an+2=2an+1-an, 求an. (n-1) 23、已知数列an中a1=a2=1, a3=2, 且an+2=3an+1-an, 求an. 9、形如an+1=p（其中p、r为常数）型（1）当p0,an0时，两边取对数转化成类型 （2）当p1)求数列an的通项公式。25、已知数列an的各项都是正数，且满足a0=1,an+1=(4-an)an (nN

14、),求数列an的通项公式 ( )解：10、形如an+1=f(n)an+g(n) (理)26、在数列an中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2, 求an。(4n-2)27、 已知数列an满足a1=1, nan+1=(n+2)an+n, 求an。(an=n2)利用递推关系求数列的通项的类型及解法远不止这些。通过对上述类型与解法的分析，为师希望对同学们系统掌握递推法求数列通项有所帮助，同时为进一步探索新的题型提供参考, 重点建议: 每次大小考前看一遍类型及其入手方法。综合练习 28、已知数列an中, a2=6, 且(n-1)an+1=(n+1)(an-1) 求其通项an. （2n2-n） 29

15、、设数列an的前n项和为Sn=2an-1 (nN), 数列bn满足b1=3,bn+1=bn+an, 求数列bn的前n项和Tn.(2n+2n-1)30、各项均为正数的数列an中, 若前n项和Sn满足, 求an. (-)31(理)、设数列an的前n项和Sn与an的关系为Sn=-ban+1- , 其中b是与n无关的常数且b-1 (1)求an与an-1的关系式; (2)写出用n与b表示an.的表达式. 32、已知数列an满足a1=,a1+a2+an=n2an(n1,nN), 求an. （）33(理)、一堆苹果和一群猴子，第1个猴子来吃掉其中的一个，余下恰能均分为5等份，它拿走了其中的1份；第2个猴子来

16、又吃掉其中的一个，余下恰能均分为5等份，它又拿走了其中的1份；第3、4、5、个猴子来都这样做，问原来苹果至少有多少个？猴群有多少只猴子？最后还剩下多少个苹果？ (3121、5、1020)34、若数列an满足an+2-3an+1+2an=2n, 且a1=0,a2=1, 求an. ( (n-2)2n-1+1 )35(理)、若数列an由a1=1,4anan+1=(an+an+1-1)2,anan-1确定, 求an ( n2 ) 36、已知a1=a0, (nN), 求an ( )37、设数列an的a1=1,a2=8,an= (n3), 求an ()四、高考中的数列递推关系1、（08全国一文19）在数列

17、中，()设 证明：数列是等差数列；()求数列的前项和 ()2.（08全国二理20）设数列的前项和为已知.（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围，. 3.（08四川卷20）设数列的前项和为，已知1、证明：当时， 是等比数列；、求的通项公式.（文）设数列的前项和为（）求； (16、40)（）证明：是等比数列；（）求的通项公式 (当时,当时 4.（08天津文20）在数列中，且,（）（）设（），证明是等比数列；（）求数列的通项公式； （）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项5.（08安徽文21）设数列满足，,其中为实数，且c 0（）求数列an的通项公式； ()（）设 ，求

18、数列的前n项和； （）若对任意成立，证明6.(08陕理22）已知数列的首项 ,，（）求的通项公式； （）证明：对任意的，；（）证明： . (文)已知数列的首项, （）证明：数列 是等比数列；（）求数列 的前项和 ()7（08广东(文)21）设数列满足，数列 满足，是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有(1)求数列和的通项公式； (2)记求数列的前项和8、(2007天津理)在数列 中，其中（）求数列 的通项公式；（）求数列 的前项和；（）证明存在，使得 对任意均成立 9.(2007天津文)在数列 中，（）证明数列 是等比数列；（）求数列的前项和；（）证明不等式，对任意皆成立10、(2007全国1理)已知数列中，（）求的通项公式；（）若数列中， ，证明：，11、(2007全国1文)设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，,（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和12、（2007湖南理）已知（）是曲线上的点，是数列的前项和，且满足,（I）证明：数列 （n2）是常数数列；（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增13、(2007湖南文)设是数列（）的前项和，且，(n2)（I）