概率论与数理统计.ppt

1、第三章 多维随机变量及其分布,在实际问题中,一个随机试验往往用几个随机变量 整体地讨论其结果. 如射击时考虑子弹在靶标上 的位置, 我们用定义在同一个样本空间上的两 个随机变量 X 和 Y 分别表示子弹在靶标上的横坐 标与纵坐标, 则子弹在靶标上的位置可用二维随 机变量或二维随机向量（X，Y）表示.,定义1.1 设是随机试验E的样本空间,在样本空间 上定义两个随机变量X和Y, 即对任意的e , 都 赋予实数X(e), Y(e), 我们称向量（X，Y）为二维随 机变量或二维随机向量.,第1节 二维随机变量及其分布,类似地可定义三维随机变量以及任意有限维随 机变量. 我们把二维及二维以上的随机变量

2、称为多 维随机变量. 本章主要讨论二维随机变量,其结果只 要形式上加以处理, 可以推广到三维或三维以上的 随机变量.,定义1.2 设(X,Y)为二维随机变量, x,y为任意的实数, 则称二元函数,为 (X,Y) 的分布函数或X和Y的联合分布函数.,联合分布函数的性质,性质1 对任意的x和y ,有0F(x,y) 1;,性质2 F(x,y)关于x和y都是单调不减的.,证明 对任意的,和y,因为,所以,即,同理可证,对任意的x 和,有,性质3 对任意的x和y ,有,不一定,留给有兴趣的同学课后思考,但,性质4 F(x,y)关于x和y都是右连续的.,性质5 对于任意的,有,即二元函数F(x,y)是矩增

3、的,第2节 二维离散型、连续型变量,一、二维离散型随机变量,定义2.1 如果二维随机变量(X,Y)的可能取值是有 限组或可列无限组,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量,将(X,Y)取每组值的概率,称为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律.,二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表,解 (X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),则(X,Y)的联合分布律为,例1 袋中有2个黑球3个白球,从袋中随机取两次,每 次取一个球,取后不放回.令,求(X,Y)的联合分布律.,二维离散型随机变量联合分布律的性质,性质1,证,所以,性质2,证,证,性质3 联合分布律完全反映了(X,

4、Y)的概率性质:设 G是一平面区域, 则,即随机点(X,Y)落在区域G上的概率是(X,Y)在G上取 值所对应的概率之和.,性质4 二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数为,其中和式是对一切满足xix,yjy的来求和.,例2 令随机变量X表示在1,2,3,4中等可能地取一个 值, 令随机变量Y表示在1至 X中等可能地取一个值. 求(X,Y) 的联合分布律和F(2,2),F(3,3),F(4,4)之值.,解,故 (X,Y) 的联合分布律为,二、二维连续型随机变量,则称(X,Y)为二维连续型随机变量, f(x,y)称为(X,Y) 的概率密度或称为X和Y的联合概率密度或联合密 度函数.,定义2.2

5、 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y).如果存在 非负可积函数f(x,y),对任意实数x,y, 有,(X,Y)的联合密度函数f(x,y)具有性质,性质1 非负性: f(x,y) 0,性质2 归范性:,性质3 f(x,y)完全反映了二维连续型随机变量(X,Y) 的概率性质: 设G为平面上的任意区域, 则,性质4 二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数与密度 函数的关系: 在f(x,y)的连续点处，有,解 (1)由,得,所以 k=6,(2),例3 设二维随机变量(X,Y)的概率密度,求:(1)常数k; (2),例4 设二维随机向量(X,Y)具有概率密度,(1)求F(x,y)和P(YX).,解 (1),(2) 将(X,Y)看着平面上随机点的坐标.G是xoy平面上直线y=x下方的部分.,关于二维随机向量的讨论,可以推广到n(n2) 维随机向量的情况.,设(X1, X2, Xn)为n维随机向量, 对于任意n 个实数x1, x2, xn, n元函数 F(x1, x2, xn)=P(X1x1,X2 x2, Xn xn) 称为n维随机向量(X1, X2, Xn)的分布函数或随机 变量X1, X2, Xn的联合分布函数.它具有类似于二 维随机向量的分布函数的性质.,常用的二维连续型随