闭区间连续函数性质.ppt

1、2.4.2 闭区间上连续函数的性质,一、函数的一致连续性,一致连续的概念,2.4.4,证,证,于是,证 在（0,1上，,注 如果是开区间，或者是无穷区间，则上述结论未必成立.,定理2.4.5（一致连续性定理）若函数 f 在闭区间,(i)最大值与最小值的概念 定义1 对于在区间D上有定义的函数f(x)，如果有x0D， 使得对于任意xD都有 f(x) f(x0) ( f(x) f(x0) ) 则称f(x0)是函数f(x)在区间D上的最大值(最小值),最大值与最小值举例:,例如 函数 f(x)=1+sinx在区间0 2p上有最大值 2 和最小值 0 ,二 闭区间连续函数的性质,1.最值定理和有界性定

2、理,再如 函数y=sgn x 在区间( +)内有最大值1和最小值1 但在开区间(0 +)内，它的最大值和最小值都是1,注 并非任何函数都有最大值和最小值 例如，函数 y=x 在开区间(a b)内既无最大值又无最小值,(ii) 最大值和最小值定理 定理2.4.7 在闭区间a,b上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,又至少有一点x2,至少有一,定理说明 如果函数f(x)在闭区间ab上连续，那么,点x1a b，使f(x1)是f(x)在a b上的最大值，,ab ，使f(x2)是f(x)在a b上的最小值,该定理可用确界原理证明，参见P69,注 如果函数仅在开区间内连续，或函数在闭区间上有

3、间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,例如，函数 y=x 在开区间(a b)内既无最大值又无最小值,又如，如下函数在闭区间0 2内既无最大值又无最小值,推论(有界性定理,P76) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,证(补充) 设函数f(x)在闭区间a b上连续 根据定理4.6 存在f(x)在区间a b上的最大值M和最小值m 使任一xa b满足 m f(x) M 上式表明 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函数 f(x)在a b 上有界,2.根的存在定理与介值定理,其中：如果x0使 f(x0) = 0， 则x0称为函数f(x)的零点,定理 2.4.8(根的存在,零点定理

4、) 设函数f(x)在闭区间a b上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在 开区间(a b)内至少存在一点x0， 使 f(x0) = 0 ,几何解释:,例 证明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在区间(0 1)内至少有一个根 证 设 f(x) = x3 - 4x2 + 1，则 f(x) 在闭区间0 1上连续，并且 f(0) =1 0，f(1) = -2 0 根据根的存在定理，在(0 1)内至少有一点x0，使得 f(x0)=0，即 x03 - 4x02 + 1 = 0 这说明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在区间(0 1)内至少有一个根是x0 ,证,由根的存在定理，,定理2.4.9 (介值性定理) 设函数 f(x)在闭区间a b上连续，且f(a) f(b)，则对于f(a)与 f(b)之间的任意实数，在开区间(a b)内至少有一点x0，使得 f(x0)= 即 f(a),f(b) f(a,b).,推论2(P76) 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最