Chapter1-质点力学-04资料.ppt

1、理论力学,任课教师：邱晓燕 E-mail: Mailbox: 81#,正点电荷周围引入另一正点电荷受到的场力.,弹簧固定于O点，运动质点A受到的弹性场力；蓝色点处表示弹性力为零.,1.9 有心力,一、有心力的基本性质,1. 有心力,运动质点受力的作用线始终通过某一定点，该力为有心力，该点叫力心。凡力趋向定点的是引力，离开定点的是斥力,有心力的量值一般为r的函数:,为斥力,为引力,2. 因为有心力的作用线通过力心，故相对于力心O,质点必在垂直于J的平面运动。,3. 有心力运动微分方程,1) 直角坐标系下,以力心为原点, 质点的运动平面为xy平面，则质点的运动微分方程为,可见，在直角坐标系下解有心

2、力的问题并不简便。,2) 平面极坐标系下（取力心为极坐标的极点）,物理意义:极坐标中有心力动量矩守恒律的表达式,用保守力判据来证明: 在极坐标中,4. 有心力为保守力（证明见P50）,故,必存在势能V:,机械能守恒：,解决有心力问题的基本出发点:,运动学微分方程,能量守恒,角动量守恒,角动量守恒,二、轨道微分方程比耐公式,原则上可先求r = r(t)， = (t)，然后消去t得到轨道，但对于有心力，可直接求r = r()。,由,令,则,代入,令,则,用途：已知r = r()可求得质点受力,若已知Fr 则可求得轨道。,三、平方反比引力行星运动,研究太阳（M）与行星（m）运动中行星的轨道方程。,1

3、. 从受力出发，用比耐公式求解,代入 比耐公式:,得,(二阶常系数非齐次方程，）,可见，平方反比引力下行星的的运动是以太阳为焦点的圆锥曲线。此轨道是原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上。,令:,讨论, e 1，椭圆。,近日点B:,远日点B:,消去c, 得:, e =1，抛物线。, e 1，双曲线。,引力,斥力,2. 从能量出发，运用第二组方程求解,（取无穷远处势能为零）,可解得:,（束缚态），椭圆,抛物线,双曲线,可见，能量E为轨道类别的判据。,四、开普勒定律,1.开普勒三定律,第一定律（轨道定律1609年）:行星绕太阳作椭圆运动, 太阳位于椭圆得一个焦点上。 说明行星轨道方程:,e1，太阳

4、位于椭圆的焦点上。,第二定律（面积定律，1609年）: 行星与太阳的联线，相同时间内扫过的面积相等。即,第三定律（周期定律，1619年）：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。,牛顿于1687年从开普勒三定律推导出万有引力定律。,（即角动量守恒）,2. 从开普勒定律出发推导万有引力定律,据第二定律有：,是常数, 即动量矩守恒, 行星所受的力对太阳的力矩为零, 因行星具有加速度, 所以受力不为零, 故行星所受力必定是有心力, 太阳是力心。,据第一定律，由,代入比耐公式，得,似乎表明行星所受的力是引力，且与距离平方成反比？,（当矢径扫过一周, A =ab）, 证明,是与行星无关的常数,代入

5、第三定律:,由此看出:,开文迪许1798年测量了G的值，,2)行星周期与轨道半长轴的具体关系为:,注意,1) Kepler定律是近似的，忽略了太阳自身的运动以及行星之间的相互作用。,五、宇宙速度与宇宙航行,宇宙速度（火箭发射速度）:,引力势能：,由有心力基本运动方程：,消去其中的,用于平方反比引力时，可改写为,如果轨道为椭圆，则在近日点：,如果轨道为抛物线，则在近日点：,如果轨道为双曲线，则在近日点：,第一宇宙速度（环绕速度）:,第二宇宙速度（逃逸速度）,（抛物线轨道）,第三宇宙速度,在地球绕太阳运动轨道上脱离太阳引力的速度:,考虑地球公转速度，则相对于地球的发射速度,考虑地球引力因素:,考虑

6、其它行星引力作用:,1. 讨论产生圆形轨道运动的条件：,由比耐公式,如果质点运动初速垂直于位矢且满足,六、圆形轨道的稳定性,则：,2.讨论圆形轨道的稳定性：,令 及 为某一具体圆形轨道的 和 之值，,显然有,可见这时不论半径如何，质点将作圆形轨道运动。,为了研究扰动，我们可以假设有一微扰，即令,代入比耐公式,将右边后两个因子各展成 的幂级数,（1.9.39）,所以前式右边近似有,式中,泰勒展开式,式中,为另一常数，其值对问题的性质无关。,（1.9.41）式的解分别为,（1.9.41）,如果取一阶微量，则（1.9.39）式变为,*双曲函数（hyperbolic function）,双曲正弦,双曲

7、余弦,双曲正切,因此，半径为 的圆形轨道，只有,时，才是稳定的。,那么,上述两式相除，得,即有,因为在吸引力的作用下作圆形轨道运动时，只有满足以下条件轨道才是稳定的：,所以:,即只有与距离成正比(n=-1)的力和平方反比(n=2)的吸引力才能给出稳定的圆形轨道.,一个带正电荷2e的质点射入一原子中，原子核带正电Ze，则由库仑定律：,（1.9.47）,七、平方反比斥力粒子的弹性散射,力的方向沿着二者的连线, 是排斥力. 原子核质量大,可以近似看做不动, 这样可认为粒子受到有心力的作用.,系统能量方程:,所以轨道曲线为双曲线中的右支。,偏转角:,粒子的散射,令,则有,其解为,求粒子的散射的轨道方程

8、：,把 代入比耐公式，得,把解写成如下形式：,求瞄准距离,角动量守恒：,散射截面,若散射角是瞄准距离单调下降的函数,卢瑟福公式 (1911),盖革及马士登试验所证实(1913),涉及有心力的力学习题,有心力是保守力：能量守恒,相对于力心：有心力的角动量守恒,比耐公式:,例题卢瑟福等人发现用 粒子轰击金铂时有些入射偏转角很大，甚至超过90.卢瑟福于1911年提出原子必有一带正电的核心，即原子核；此即原子结构的行星模型。已知 粒子的质量为m，以速度 接近电荷为Ze 的重原子核. 瞄准距离为b，如图所示. 求 粒子接近重核的最近距离. 设原子核质量比 粒子大很多，可近似看作静止.,(a),解设 z 轴垂直于粒子运动平面且通过重核中心.,对z 轴的角动量,故,粒子最接近重核（距离为d）时对Z轴角动量为 dmv,对z轴的角动量守恒