结构力学第5章_虚功原理与结构位移计算.ppt

1、第五章 虚功原理与结构位移计算,1,第五章 虚功原理与结构位移计算,5-2 结构位移计算的一般公式,5-3 荷载作用下位移的计算,5-4 荷载作用下位移的计算举例,5-5 图乘法,5-8 互等定理,5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移,5-7 变形体的虚功原理,5-6 温度作用时位移的计算,2,5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移,计算结构位移的目的：,（1）验算结构的刚度,（2）为超静定结构内力分析打基础,产生位移的原因:,3,5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移,结构内产生位移的同时是否会产生应变呢？,（1）静定结构由于支座位移或者温度改变在结构内部不产生内力，所以不会产生应变。,刚体体系

2、位移-有位移，无应变,4,5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移,（2）结构在荷载作用下各点产生线位移，同时，梁内由于承受弯矩而产生曲率和应变。,变形体体系位移-有位移，有应变,5,5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移,位移计算问题：几何问题-几何方法,6,结构的位移,结构的位移,-C点的竖向位移,-截面B的转角,-C的水平位移,- C点的竖向位移,-截面C的转角,7,5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移,计算结构位移的思路：,（1）讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。 -刚体体系的位移计算,（2）讨论静定结构由于局部变形（局部拉伸、剪切、弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体）引起的

3、位移。 -变形体体系位移计算,（3）讨论静定结构由于整体变形（结构中各个杆件的各个微段都产生变形）而引起的位移。 -叠加原理：由局部变形位移计算公式推导整体变形位移计算公式,8,5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移,计算结构位移的思路：,（1）化整为零：局部变形引起的位移。,9,5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移,位移计算的基本假定和理论基础,线弹性变形体系,基本假定:,位移与荷载成正比,条 件:,线弹性材料,小变形,叠加原理适用,理论基础:,虚功原理,计算方法:,单位荷载法,10,刚体体系的虚功原理,处于受力平衡状态的刚体，当发生符合约束条件的无限小刚体体系虚位移时，则外力在位移上所作的虚

4、功总和恒等于零。,一个平衡力系,虚位移原理,虚力原理,11,刚体体系的虚功原理,虚力原理,虚平衡力系,真实位移,确定 C点的竖向位移,C1,C,a,b,假设的力方向和位移 相反,12,支座移动时位移的计算,B点发生支座移动，求由此引起的 C点竖向位移,由支座移动引起的真实位移,虚设力系,支座移动时的位移计算公式,13,支座移动时位移的计算,支座移动时，静定结构的位移计算步骤：,支座移动时的位移计算公式,计算出的位移为正值，表明与假设方向一致。,14,支座移动时的位移计算,确定B支座的水平位移和B截面的转角,例,(,),15,支座移动时的位移计算,确定B截面的转角,确定B支座的水平位移,(,),

5、（ ）,16,5-2 结构位移计算的一般公式,结构位移计算一般属于变形体体系的位移计算。 变形体体系的位移计算步骤：先计算局部变形时的位移计算公式，再导出整体变形时的位移计算公式。,1、局部变形时静定结构的位移计算举例,当某个微段有局部变形时静定结构的位移计算问题可归结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算问题。对于微段可用虚力原理计算。,由于制造误差或者其他原因引起局部拉伸、剪切、弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体。,17,5-2 结构位移计算的一般公式,局部弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体。,18,5-2 结构位移计算的一般公式,局部剪切变形，结构其他部分没有变形仍为刚体

6、。,例2、图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对剪切位移 ，求A点竖向位移。,19,5-2 结构位移计算的一般公式,2、局部变形时位移计算公式,悬臂梁除微段ds有局部变形外，结构其他部分没有变形。,微段ds局部变形包括：局部伸长应变 平均切应变0 轴线曲率,20,5-2 结构位移计算的一般公式,（1）根据微段ds的三类变形，求出微段两端截面的三种相对位移：,相对轴向位移： 相对剪切位移： 相对转角位移：,相对位移 是描述微段总变形的三个基本参数。,21,5-2 结构位移计算的一般公式,（3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移 求A点位移。 叠加法：,22,5-2 结构位移计算的一般公式,

7、（3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移 求A点位移。 叠加法：,23,5-2 结构位移计算的一般公式,或者：,即变形体系的虚功原理,分别为虚设单位荷载在截面B引起的弯矩，轴力和剪力。,24,5-2 结构位移计算的一般公式,3、结构位移计算的一般公式：整体变形时的位移公式,整个结构的位移是结构各个微段变形的总和。 叠加原理：,若整个结构有若干个杆件组成：,25,5-2 结构位移计算的一般公式,3、结构位移计算的一般公式：整体变形时的位移公式,如果结构除各个微段有变形外，支座处还有给定位移：,适用条件：小变形,位移公式实际为几何方程，给出了已知变形与拟求位移之间的几何关系。,26,5-

8、2 结构位移计算的一般公式,公式的普遍性： （1）变形类型：弯曲变形、拉伸变形、剪切变形； （2）变形因素：荷载、支座移动； （3）结构类型：梁、桁架、刚架、拱等； （4）材料性质：弹性材料、非弹性材料。,27,5-2 结构位移计算的一般公式,弯曲变形： 拉伸变形： 剪切变形： 支座移动：,28,5-2 结构位移计算的一般公式,4、结构位移计算的一般步骤：,29,5-2 结构位移计算的一般公式,表示力与变形之间的乘积，当力与变形方向一致时乘积为正。 和k使纤维同侧受拉时 乘积为正。,30,虚功,力和位移无因果关系,广义力,广义位移,31,广义位移和广义力,广义位移: 某点线位移，某点角位移，某

9、两个截面的相对线位移和角位移,=A+ B- A、B点左右两侧截面间的相对转角,- 一对单位力偶,广义力：与广义位移相对应的荷载,32,广义位移和广义力,广义力和广义位移,- 一对水平力力,- A、B间的水平相对位移,- 一对力偶,- C点左右两侧截面间的 相对转角,33,广义位移和广义力,虚设力与拟求位移之间应满足共轭关系，从做功角度讲：,F-共轭力 -共轭位移,表5-1 广义位移和广义荷载示例,34,5-3 荷载作用下的位移计算,荷载-内力-应力-应变,35,5-3 荷载作用下的位移计算,36,5-3 荷载作用下的位移计算,-由单位荷载P=1引起的内力,-结构承受的真实荷载引起的内力,（1）

10、写出各杆件在真实荷载作用下的Mp、FQp 和F Np 方程；,（3）用上述公式计算位移；,（4）轴力以拉为正，剪力使微段顺时针转动者为正， 和MP使杆件同侧受拉为正；,37,5-3 荷载作用下的位移计算,（1）梁和刚架：,（2）桁架：,（3）桁架混合结构：,（4）拱，当压力线与拱轴接近时：,38,5-3 荷载作用下的位移计算,例,确定跨中C截面的竖向线位移，并比较由弯曲变形和剪切变形引起的效应。,真实力系,虚设力系,剪切变形引起的位移远小于弯曲变形引起的,39,5-3 荷载作用下的位移计算,- 虚设单位荷载P=1 引起的内力,- 真实荷载引起的内力,梁和刚架,桁架,桁梁组合结构,拱,40,例

11、1：已知图示梁的E 、G,求A点的竖向位移。,解：构造虚设单位力状态.,对于细长杆,剪切变形 对位移的贡献与弯曲变 形相比可略去不计.,位移方向是如 何确定的?,5-4 荷载作用下的位移计算举例,41,P,P,1.5,1.5,-4.74,-4.42,-0.95,4.5,1.5,3.0,1,-1.58,-1.58,0,0,1.5,1.5,例2 计算屋架顶点的竖向位移。,5-4 荷载作用下的位移计算举例,42,AD,DC,DE,CE,AE,EG,A,B,C,D,E,F,G,43,例3：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。,解：1）虚拟单位荷载,虚拟荷载,3）位移公式为,ds=Rd,钢筋混凝土结

12、构G0.4E 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12,可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.,2）实际荷载,44,例4：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载,积分常可用图形相乘来代替,2）MP 须分段写,45,确定C点的水平位移 和转角,例5,解：（1）求,写出杆件的 方程,BC杆：,BA杆：,5-4 荷载作用下的位移计算举例,46,确定C点的水平位移 和转角,例5,（2）求,写出杆件的 方程,BC杆：,BA杆：,5-4 荷载作用下的位移计算举例,47,5-5 图乘法,理论基础:虚功原理,单位荷载法,梁和刚架:,

13、两种内力函数:,积分:,麻烦,48,5-5 图乘法,补充条件:,直杆,常数,一个弯矩图为直线图形,图乘法,49,5-5 图乘法,y,x,O,A,A,B,x,MP的形心,50,5-5 图乘法,一个弯矩图的图形面积,面积A形心处的另一直线弯矩图上的纵标,注意:,y0必须取自直线弯矩图,符号规定: 两弯矩图位于杆件的同侧，Ay0 为正；反之，为负,适用条件: 直杆; EI=C; 一个弯矩图为直线,!切莫丢掉此项,51,5-5 图乘法,常用图形的面积和形心,三角形,52,5-5 图乘法,常用图形的面积和形心,二次抛物线,顶点,顶点,顶点,标准抛物线: 图形顶点的斜率必须平行于杆轴线,53,5-5 图乘

14、法,图形的分解和叠加,Mk 图,I1,I2,Mi 图,Mk 图,Mi 图,分解,多段线图形的分解,变刚度杆的分解,54,5-5 图乘法,图形的分解和叠加,Mk 图,Mi 图,+ 叠加,a,b,c,d,A2,a,b,c,d,A,B,C,D,a,b,c,d,分解,55,图形的分解和叠加,q,MA,A,B,MB,5-5 图乘法,MP 图,分解,叠加,A1,A2,A0,56,5-5 图乘法,例,计算下图所示简支梁的跨中挠度,真实系统,MP 图,虚设系统,C点竖向位移,57,5-5 图乘法,例,B点挠度,确定悬臂梁自由端挠度,，,(,and,，,(,and,+,-,！不是标准抛物线,58,5-5 图乘法

15、,例5-7,，,计算 C点竖向位移,B点挠度,A,59,确定 B点竖向位移,？,ql2/8,l/2,？,5-5 图乘法,例,60,5-5 图乘法,例,真实系统,C截面的转角,，,(,and,，,(,计算 C截面的转角,MP 图,+,-,+,61,5-5 图乘法,例,计算 C 、D两点间的水平相对位移,真实系统,MP 图,虚设系统,水平相对位移,+,-,+,62,5-5 图乘法,例,C点竖向位移,确定C点的竖向位移,组合结构及其荷载,梁式杆,63,5-6 温度改变时的位移计算,假定:,温度沿截面高度h线形分布,发生变形后，截面应变分布仍满足平截面假定.,虚设力系,由温度变化引起的真实位移,64,

16、5-6 温度改变时的位移计算,静定结构,材料自由伸长或压缩,温度改变,变形,65,5-6 温度改变时的位移计算,例,确定C点的竖向位移。,真实系统,温度变化引起的弯曲变形方向与虚设力系引起的相反,若既有温度变化和（或）支座移动，又同时作用有荷载？,66,5-8 变形体的虚功原理,刚体体系的虚功原理中，刚体的应变=？刚体体系 内力做功=？,变形体体系的虚功原理中，变形体存在应变吗？外力做功，内力做功吗？,67,5-8 变形体的虚功原理,设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的外力虚功We恒等于各个微段的应力合力（即内力）在变形上

17、所做的内力虚功Wi.,内力所做的虚功,外力所做的虚功,注意:,变形可以是任意因素引起的,小变形,虚功原理对任何结构都适用，无论其是否是弹性体,68,5-8 变形体的虚功原理,任意原因引起的变形,处于平衡状态的梁,69,真实的位移状态,虚力状态,单位力作用下,5-8 变形体的虚功原理,如何虚设单位力？,70,5-8 变形体的虚功原理,应用条件:,力系满足平衡条件,位移满足变形协调条件,71,5-8 变形体的虚功原理,平衡条件:,72,5-8 变形体的虚功原理,变形协调条件:,73,5-8 变形体的虚功原理,上述平衡力系在变形状态上做功,74,5-8 变形体的虚功原理,微段两侧截面的应力合力在变形

18、上作的内虚功为,75,5-8 变形体的虚功原理,76,5-8 变形体的虚功原理,变形体虚功原理的证明：,77,5-8 变形体的虚功原理,变形体虚功原理的证明：,78,5-8 变形体的虚功原理,推广：,杆件结构中（计入集中荷载所作虚功）：,79,5-8 变形体的虚功原理,将边界荷载和集中荷载作的虚功用通式 表示：,将均布荷载和集中荷载作的虚功用通式 表示：,虚功方程的实质：平衡方程和变形协调方程的综合,80,5-8 变形体的虚功原理,虚功方程的应用：,变形体的虚力方程：,变形体的虚位移方程：,81,5-8 变形体的虚功原理,单位支座位移法：,已知荷载和各杆内力，求某个支座反力FR1：,如果结构是静定结构，虚设单位支座位移时，结构只产生 刚体体系的位移，虚设应变等于0，上式简化为：,82,5-9 互等定理,线性变形体系,基本假定：,应用条件：,材料处于弹性阶段，应力与应变成正比,小变形，不影响力的作用,理论基础:,虚功原理,83,5-9 互等定理,功的互等定理,状态,状态 ,对于线性体系，第一状态的力系在第二状态的位移上所做的虚功 等于第二状态的力系在第一状态的位移上所做的虚功,84,5-9 互等定理,位移互等定理,状态 ,状态 ,对于线性体系，j点处的单位荷载引起的i点处的位移 等于i点处的单位荷载引起的j