《元函数的极值》PPT课件.ppt

1、2020/9/11,1,一、二元函数的极值,二、条件极值与拉格朗日乘数法,第六节 二元函数的极值,2020/9/11,2,实例：某工厂生产两种产品1与2，出售单位分别为10元与9元，生产x单位的产品1与生产y单位的产品2的总费用是,求两种产品各生产多少，工厂可以取得最大利润,求最大利润即为求二元函数的最大值.,I、问题的提出,2020/9/11,3,一. 二元函数的极值,定义 1,设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义，,如果对于该邻域内异于 ( x0 , y0 )的点 ( x , y ) 都有,(或 )，,极大值和极小值统称为极值.,则称 f

2、 (x0 , y0) 为函数 f (x , y ) 的极大值(或极小值).,2020/9/11,4,设函数 z = f (x , y )在点 P0( x0 , y0 ) 的偏导数,极大值点和极小值点统称为极值点.,称为极大值点(或极小值点)，,使函数取得极大值的点(或极小值的点)(x0 , y0)，,定理 1 (极值存在的必要条件),且在点 P0 处有极值，,则在该点的偏导数必为零，,即,存在，,2020/9/11,5,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,Problem：如何判定一个驻点是否为极值点？,注 意,在点 (0,0) 有极大值, (0,0)不

3、是驻点,2020/9/11,6,设 P0(x0 , y0)是函数 z = f (x , y)的驻点，,且函数在点 P0 的某个邻域内二阶偏导数连续，,定理 2 (极值存在的充分条件),令,则， (1) 当 P 0 且 A 0 时,f(x0, y0) 是极大值，,当 P 0 时，,f(x0, y0) 是极小值；,2020/9/11,7,也可能没有极值.,函数 f ( x , y ) 在点 P0(x0 , y0 )可能有极值，,(3) 当 P=0 时，,(2) 当 P 0 时，,不是极值；,2020/9/11,8,(1) 先求偏导数,(2) 解方程组,求出驻点；,(3) 确定驻点处,据此判断出极值

4、点，,并求出极值.,若函数 z = f (x , y) 的二阶偏导数连续，,就可以按照下列步骤求该函数的极值：,2020/9/11,9,例 1,求函数 的极值.,解,(1) 求偏导数,(2) 解方程组,得驻点 (0, 0) 及 (2, 2) .,2020/9/11,10,(3) 列表判断极值点.,驻点(x0, y0),(0, 0),(2, 2),结 论,极大值 f (0, 0) = 1,f(2, 2) 不是极值,A,4,B,2,2,C,+,2020/9/11,11,例2.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步

5、判别.,(1)在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/9/11,12,(3)在点(3,0) 处,不是极值;,(4)在点(3,2) 处,为极大值.,(2)在点(1,2) 处,不是极值;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/9/11,13,二、最大、最小值应用问题(Applications),最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/9/11,14,例3：某工厂生产两种产品1与2，出售单

6、位分别为10元与9元，生产x单位的产品1与生产y单位的产品2的总费用是,求两种产品各生产多少，工厂可以取得最大利润,2020/9/11,15,2020/9/11,16,例4.,解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/9/11,17,实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品

7、：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,三、条件极值拉格朗日乘数法,2020/9/11,18,条件极值 (Conditional Maximum and Minimum Values ),极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/9/11,19,第一步：引入辅助函数

8、,如求二元函数,下的极值,第二步：解方程组,在条件,得驻点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三步：判别 是否为极值,方法2 拉格朗日乘数法(Lagrange Multipliers).,2020/9/11,20,Extension,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/9/11,21,例6.,要设计一个容量为2单位,则问题为求x , y ,令,解方程组,解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长

9、、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/9/11,22,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为相等时，所用材料最省.,因此 , 当高,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/9/11,23,2020/9/11,24,2020/9/11,25,Conclusions,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,