空间曲面与曲线 (2).ppt

1、1,空间曲面与空间曲线,1. 球面 2.柱面 3.锥面 4.旋转曲面 5.二次曲面： 一、椭球面 二、双曲面 三、抛物面 6. 空间曲线,2,1. 球面,3,2.柱面,柱面的定义：柱面的准线、柱面的方向、 柱面的母线 柱面的方程 曲线L在平面上的射影曲线； 曲线L在平面上的射影柱面。,4,例1. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,5,定义1 由平行于定方向且与空间一条定

2、曲线 相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面,定 方向叫做柱面的方向,定曲线叫做柱面的准线,那 族平行直线中的每一条直线，都叫做柱面的母 线。,6,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,3

3、.锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截口为过原点的两直线 .,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,方程,9,定义1 通过一定点且与定曲线 相交的一族直线所产生的曲面 叫做锥面，这些直线都叫锥面 的母线，那个定点叫做柱面的 顶点，定曲线叫做锥面的准线。,10,4.旋转曲面,定义1 一曲线绕着定直线l旋转一周所产生的 曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面。曲线叫 做旋转曲面的母线，定直线l叫做旋转曲面的 旋转轴，简称轴。,旋转曲面的母线上任 意点M1在旋转时形成 一个圆，这个圆也就是 通过M1点且垂直于轴l,11,的平面与旋转曲面的交线， 称之为纬圆，或纬线。 在通过旋转轴l的平面上

4、， 以l为界的每个半平面都与 旋转曲面交成一条曲线， 这条曲线在旋转过程中,都能彼此重合，称之为旋转曲面的经线。 来求旋转曲面的方程。,12,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,13,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,14,例1. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,15,一般规律：当坐标平面上的曲线绕此坐标平 面里的一个

5、坐标轴旋转时，为了求出这样的 旋转曲面的方程，只要将曲线在坐标面里的 方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两 个坐标平方和方根来代替方程中的另一坐标。 例2 将椭圆,分别绕长轴（即x轴）与短轴（即y轴）旋转， 求所得旋转曲面的方程。,16,解：因为旋转轴是x轴，同名坐标是x，在方程,中保留坐标x不变，用,代替y,得到椭圆绕长轴（即x轴）的旋转曲面的方程 为,叫长形旋转椭球面。 椭圆绕短轴（即y轴）旋转曲面方程为,17,这叫扁形旋转椭球面。,长形旋转椭球面,扁形旋转椭球面,例3 将双曲线,18,绕虚轴（即z轴）旋转的旋转曲面方程为,叫做单叶旋转双曲面。 绕实轴（即y轴）旋转的 旋转曲面方程为,叫

6、做双叶旋转双曲面。,单叶旋转双曲面,19,双叶旋转双曲面,旋转抛物面,20,例4 将抛物线,绕它的对称轴旋转,的旋转曲面方程为 x2+y2=2pz 叫做旋转抛物面。,例5 将圆,绕z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。 解：,旋转抛物面,21,旋转曲面方程为,即,或,叫做环面,22,环 面,23,5.二次曲面,用一个二次方程表示的曲面，叫做二次曲面。 前面介绍的柱面、锥面和旋转曲面都是二次曲 面。这里再介绍三种典型的二次曲面： 一、椭球面； 二、双曲面（单叶双曲面和双叶双曲面）； 三、抛物面（椭圆抛物面和双曲抛物面）。 给出它们的标准方程，再讨论它们的简单性质 与形状。,24,一、椭球面,定义1 在

7、直角坐标系下， 由方程,所表示的曲面称为椭球面，或称椭圆面，这个 方程称为椭球面的标准方程。其中a,b,c是任意 正实数，通常abc。 由曲面的方程讨论曲面的一些简单性质。,25,（1）对称性 当(x,y,z)满足方程时，(-x,y,z)也满足方程。这 说明，若点P(x,y,z)是椭球面上的点，则点P的 关于yOz坐标平面的对称点P(-x,y,z)也在椭 球面上，所以，坐标平面yOz是对称平面，称 为主平面。同样，其它两个坐标平面都是主平 面。 若点P(x,y,z)在椭球面上，则点(x,-y,-z)也在椭 球面上，即x轴为椭球面的对称轴，称为主轴。,26,同样，y轴和z轴也是椭球面的主轴。 若

8、点P(x,y,z)在椭球面上，则点(-x,-y,-z)也在椭 球面上，所以，原点是椭球面的对称中心，称 为椭球面的中心。 （2）范围 对于椭球面上任一点(x,y,z),满足方程,所以,27,因此，椭球面完全被封闭在一个长方体的内部， 这个长方体由六个平面：x=a,y=b,z=c所 组成。 （3）与各坐标轴的交点和与各坐标平面的交线 在椭球面的方程中，令y=z=0,得椭球面与x轴的 交点A(a,0,0)和A(-a,0,0);,28,同样，椭球面与y轴的交点B(0,b,0)和B(0,-b,0) 椭球面与z轴的交点C(0,0,c)和C(0,0,-c). 椭球面与三个坐标平面的交线分别为,29,这些椭

9、圆(1),(2),(3)叫做椭球面的主截线（或主 椭圆）。,主截线,30,（4）为进一步了示面解曲面的形状，用一组平 行于某个坐标平面的平行平面去截这个曲面， 得到一组交线称为截口曲线（简称截口）。 通过这组平行平面上的截口（简称为平行截口） 的形状来分析曲面的大体形状，这种方法称为 截割法。 用平行于xOy坐标平面z=h(|h|c)截椭球面，截 口为,31,当|h|=c时，截口是平面z=h上的一个点(0,0,c)或 (0,0,-c); 当|h|c时，截口是一椭圆，它的两半轴分别为,它的两轴的端点分别是,32,椭球面的参数方程,33,二、双曲面,（一）单叶双曲面 在直角坐标系下，由方程,所表示

10、的曲面叫做单叶双曲面，这个方程是单 叶双曲面的标准方程，其中a,b,c为任意正常数。 （1）对称性:关于三个坐标平面、三坐标轴及 坐标原点都是对称的。,34,（2）与坐标轴的交点、与坐标平面的交线 与z轴不相交，称z轴为虚轴，与x轴与y轴分别 交于点 (a,0,0)与(0, b,0) 这四个点叫做单叶双曲面的顶点。 如果用三个坐标平面z=0,y=0,x=0分别截割曲面 那么所得的截线顺次为,35,（1）为xOy平面上的椭圆，叫做单叶双曲面的 腰椭圆；（2）与（3）分别是xOz面与yOz面上 的双曲线，这两条双曲线有着共同的虚轴与虚 轴长。,单叶双曲面,36,当用一组平行平面z=h(h可 以是任

11、意实数）来截割单 叶双曲面，得到椭圆,它的两半轴分别是,37,两轴的端点分别是,这两对端点分别在双曲线（2）与（3）上。 单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动（大 小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中 保持所在的平面与xOy面平行，且两对顶点分 别沿着两个定双曲线（2）与（3）滑动。,38,如果用平行于xOz平面y=h来截单叶双曲面，截 线的方程为,当|h|b时，截线（5）为双曲线，它的实轴平 行于x轴，实半轴长,虚半轴平行于,Z轴，虚半轴长为,双曲线（5）的,顶点,在腰圆（1）上；,图（11）,39,（11）,（12）,（13）,40,当|h|b时，截线（5）仍为双曲线，但它的实 轴平行

12、于z轴，实半轴长为,虚半轴平行于x轴，虚半轴长为,它的顶点,在双曲线（3）上。,图（12）,41,当|h|=b时，（5）变成,这是两条直线,如果h=b,那么两条直线交于点(0,b,0); 如果h=-b,那么两条直线交于点(0,-b,0);,图（13）,42,如果用平行于yOz的平面来截割单叶双曲面，则 它与用平行于xOz的平面来截割所得结果完全类 似。 如果a=b,则成为单叶旋转双曲面。 方程,所表示的曲面也是单叶双曲面。,43,（二）双叶双曲面 在直角坐标系下，由方程,所表示的曲面，叫做双叶双曲面， 上面的方程是双叶双曲面的标准方程，其中 a,b,c是任意的正常数。 （1）对称性 双叶双曲面

13、关于三坐标平面，三坐标轴以及坐,44,坐标原点都对称，曲面与x轴y轴不相交，只与 z轴相交于两点(0,0, c),这两点叫做双叶双曲 面的顶点。 由曲面的方程，曲面上 的点恒有z2c2.因此， 曲面分成两叶： zc与z-c.,双叶双曲面,45,坐标平面z=0与曲面不相交， 而坐标平面y=0与x=0与曲面分别交两条双曲 线：,如果用一组平行于xOy的两平面|z|=h(hc)来截 割曲面，得到截线方程,46,当h=c时，截得的图形为一点，当hc时，截线 为椭圆，它的两半轴是,椭圆的两端点为,双叶双曲面可以看成由一个椭圆变动（大小位置 都改变）而产生，这个椭圆在变动过程中，保持,47,三、抛物面,（

14、一）椭圆抛物面 在直角坐标系下，由方程,所表示的曲面称为椭圆抛物面，方程称为此椭 圆抛物面的标准方程，其中a,b是任意正常数。 椭圆抛物面对称于xOz与yOz坐标平面，也对 称于z轴。它没有对称中心，它与对称轴交于,48,原点(0,0,0),这点 椭圆抛物面的顶点。 从方程知,从以曲面全部在xOy平面的一侧，即z0. 用坐标面y=0及x=0截割曲面，分别得抛物线,49,这两条抛物线叫做椭圆抛物面的主抛物线。它 们有着相同的轴和相同的开口方向，即开口方 与z轴的正向一致。 用坐标平面xOy来截曲面只得到一点(0,0,0), 用平行于xOy面的平面 z=h(h0)来截曲面，截线 总是椭圆,50,这

15、个椭圆的两对顶点分别为,它们分别在抛物面的主抛物线（1）与（2）上， 因此，椭圆抛物面可以看成是由一个椭圆的变 动（大小位置都改变）而产生的。这个椭圆在 变动中，保持所在平面平行于xOy平面，且两 对顶点分别在抛物线（1）与（2）上滑动。,51,椭圆抛物面 （主抛物线）,52,如果用平行于xOz面的平面y=t截割椭圆抛物面 得抛物线,抛物线（4）与主抛物线（1）全等，且它所在 的平面平行于主抛物线（1）所在的平面和有 相同的开口方向。 抛物线（4）的顶点,位于主抛物线,（2）上。,53,因此得到： 如果取两个这样的抛物线，它们所在的平面互 相垂直，它们的顶点和轴都重合，而且两抛物 线有相同的开

16、口方向，让其中一条抛物线平行 于自己（即与抛物线所在的平面平行）且使 其顶点在另一个抛物线上滑走，那么这一抛物 线的运动轨迹便是一个椭圆抛物面。,54,55,在椭圆抛物面的方程中，如果a=b，那么方程 变为 x2+y2=2a2z,这时截线（3）为一圆，曲面成为旋转抛物面。,56,（二）双曲抛物面 在直角坐标系下，由方程,所表示的曲面叫做双曲抛物面，方程叫做双曲 抛物面的标准方程，其中a,b为任意正常数。 双曲抛物面关于xOz面，yOz面与z轴对称，无对 称中心。 用坐标平面z=0去截割曲面，得,57,这是一对相交于原点的直线,用坐标平面y=0与x=0来截双曲抛物面，分别得 两抛物线,58,与,

17、这两条抛物线叫做双曲抛物面的主抛物线，它 们所在的平面相互垂直，有相同的顶点与对称 轴，但两抛物线的开口方向不同，抛物线（6） 沿z轴方向开口，而抛物线（7）的开口方向却 与z轴方向相反。,59,如果用平行于xOy面的平面z=h(h0)来截曲 面，截线总是双曲线,当h0时，双曲线（8）的实轴与x轴平行，虚 轴与y轴平行，顶点为,在主抛物,线（6）上； 当h0时，双曲线（8）的实轴与y轴平行，虚 轴与x轴平行，顶点,60,在主抛物线（7）上,因此，双曲抛物面被xOy面分割成上下两部分， 上半部分沿x轴的两个方向上升，下半部沿y轴 的两个方向下降，曲面的大体形状象只马鞍， 所以，双曲抛物面也叫马鞍曲面,61,用平行于xOz面的一组平行平面y=t来截双曲抛 物面所得截线为抛物线,不论t取怎样的实数，所截得的抛物线（9）总 与主抛物线（6）是全等的，且所在平面平行