【教学课件】《垂径定理》（北师大）.ppt

1、,本课时编写：西平中学谢老师,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形.,2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,圆是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴?,归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,1在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合 2得到一条折痕CD 3在O

2、上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足 4将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.,问题：（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。,在O中，AB为弦，CD为直径,CDAB,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,如图:,连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关

3、于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, 和 重合， 和 重合,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,CDAB,如图 CD是直径,AM=BM,垂径定理：,例如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点O是 的圆心)， 其中CD=600m，E为 上一点，且OECD，垂足为F，EF=90 m求这段弯路的半径,分析要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了. 因为已知OECD，所以CFCD300 cm，OFOE-EF， 此时得到了一个RtCFO,利用勾股定理便可列出方程.,北京师范大学出版社 九年级 |

4、 下册,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,解:连接OC.,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,1、如图所示，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为E，且CD ，BD ，则AB的长为( ) A2 B3 C4 D5,B,2.如图所示，O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD6 cm，则直径AB的长是( ) A cm B cm C cm D cm,D,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,3.如图所示，在O中，AB和AC是互相垂直的两条弦，ODAB于D，OEAC于E且AB8 cm，AC6 cm，那么O的半径OA的长为_,5 cm,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,1.想一想：如下图

5、示，AB是O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答： （1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么? （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。,2.总结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 推理格式：如图所示 AMMB，CD为O的直径, CDAB于M， .,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧,（3） （1）,（2） （4） （5）,（2） （3）,（1） （4） （5）,（1） （4）,（3） （

6、2） （5）,（1） （5）,（3） （4） （2）,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,1下列命题：圆心不同，直径相等的两圆是等圆；长度相等的两弧是等弧；圆中最长的弦是直径；圆的对称轴是圆的直径；圆不是旋转对称图形，其中正确的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个,B,提示：正确.,2P为O内一点，且OP8 cm，过P的最长弦长为20 cm，则过P的最矩弦长为

7、_.,提示：过P的最长弦为直径，即直径等于20 cm，最短弦为过P且垂直OP的弦，利用勾股定理可求最短弦的一半长为6 cm，则弦长为12 cm,12 cm,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,3.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径。,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,由CD平分弧AB且垂直于AB,得CD经过圆心O,连AO,由垂径定理得AD=1/2AB, 设圆形工件半径为r,OD=O

8、C-CD=r-CD,在直角三角形AOD中，由勾股定理，求出r。,解：小亮的做法合理. 取AB=8 m，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, r2=(r2)2+42. 得r=5(m).,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,1本节课我们探索了圆的对称性 2利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理 3垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、弦心距等计算问题,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,1如图所示，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D，已知AB2CD，AB的弦心距等于CD长的一半 ，那么大圆与小圆的半径之比 是 ( ) A32 B 2 C D54,C,北京师范大学出版

9、社 九年级 | 下册,2.O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动 点，则线段OM的长的最小值为_。最大值为_。,解：当OM垂直于AB时OM最小，这时AM=1/2AB=4,连AO得直角三角形AOM，由勾股定理得，0M=3,当M于A或B重合时，OM最大为半径5,3,5,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,3如图，A、B是圆O上的两点，AOB=120，C是AB弧的中点。 （1）求证：AB平分OAC； （2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长。,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,解：（1）证明：连接OC， AOB=120，C是AB弧的中点， AOC=BOC=60， OA=OC， ACO是等边三角形， OA=AC，同理OB=BC， OA=AC=BC=OB， 四边形AOBC是菱形， AB平分 OAC；,北京师范大学出版社 九年级 | 下册,（2）解：连接OC， C为弧AB中点，AOB=120，