第8讲 简谐振动特征.ppt

1、波动篇,机械振动 机械波 波动光学,内容：,Oscillation and Wave,人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的要算振动和波了。 力学:机械振动和机械波,弹簧、单摆的振动，声波，水波等 电学:电磁振荡和电磁波，光，无线电波等 近代物理中，量子力学又称波动力学，这是微观理论的基石这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重要性了。,前 言,尽管在物理学的各个分支学科里振动和波的具体内容不同，在形式上它们却具有极大的相似性。,所以机械振动、机械波两章的意义绝不局限于力学，它将为学习整个物理

2、学打基础。,机械振动,第十章,Simple Harmonic Oscillation (Simple Harmonic Motion),第一，简谐振动； 第二，振动的合成与分解。 第三，阻尼振动和受迫振动。,我们主要是利用质点运动规律来研究振动这种特殊的而又具有普遍意义的运动形式。,本章的基本内容,掌握简谐振动的特征和规律，并能依据谐振动的动力学特征判断振动是否为简谐振动； 掌握描述简谐振动的三种方法：解析法、位移时间图线法及旋转矢量法； 学会分析同频率、同方向两简谐振动的合成； 了解阻尼振动、受迫振动的特点和共振发生的条件； 了解带星号的基本内容。,本章的基本要求,广义振动：任一物理量(如位

3、移、电流等)在某一数 值附近反复变化。,振动分类,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。,10-1 振动与周期振动,广义地说，若描述运动状态的某个物理量，在某一量值附近反复变化，我们就称这个物理量在振动。如果这种变化有周期，那就是周期运动。,振动与周期性运动,许多效应是周期性的，例如，动物的心跳、钟摆的摆动、固体原子的振动、交流电电流、脉冲星体积和亮度的变化等等。从最宏大的范围来看，一些宇宙学家认为，整个宇宙可能在作周期为数百亿年的振动。,一、简谐振动模型：,物理学研究问题总是从最基本的模式入手，最简单的振动形式是简谐振动。研究表明，一切复杂的振动，都可以看成是由许多简谐振动的迭加构成

4、。作简谐振动的系统，我们用一个专门的术语称呼，叫谐振系统。,著名物理学家李政道先生曾说，物理学只有两类问题,平方反比律的力 和 谐振动,可见谐振动在理论研究中的地位,10-2 简谐振动(simple harmonic motion),谐振系统是一种理想化模型。 一台机床的振动、建筑工地一台浇灌混泥土的振动泵的振动，从理论上分析时，可以简化成这种形式：,或,系统的质量全部集中在物体上，弹簧无质量 保守系统(无内摩擦、外摩擦) 弹性力严格遵从线性假设(F = - kx),例：弹簧振子,弹簧物体系统,平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置,轻弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律,物体可看作质点,二、简谐

5、振动微分方程,简谐振动微分方程,受力分析,运用牛顿定律,改写方程,令,三、微振动的简谐近似,很小时，振动微分方程,单摆,复摆,四、简谐振动系统动力学特征,系统受线性回复力（矩）作用，如,动力学方程为二阶线性常微分方程,只要一个系统的动力学条件满足这两个特征之一，我们就可以认定它为简谐振动系统。,这种系统有时简称谐振子,双原子分子系统,分子间势能函数为E(r) 存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置 r0 。,在平衡位置 r0 附近将势能函数按泰勒级数展开,分析一个实际振动系统,对足够小的位移，略去三次以上的所有项,由于在平衡点r0 处,就有,若把有效弹性系数等同于,符合谐振子的能量特征,则,

6、(曲线切线的斜率),可见，任何实际的微振动系统，一般都可以当作简谐系统处理。,相应的保守力,完全符合简谐振动的动力学特征,五、简谐振动的运动学特征,这是描写谐振动的动力学方程（二阶常系数齐次微分方程） ，就是振子的固有频率。,微分方程的解与代数方程的解不同，代数方程的解是一组数，而微分方程的解是一组函数。,谐振动的运动学方程 (简称振动方程),特解为,谐和函数,可见谐振动的运动学特征：,振子的位移、速度、加速度都按余弦（或正弦） 规律作周期性变化。 振子的速度与位移之间有/ 2的相位差 加速度与位移有的相位差。,六、简谐振动的能量特征,设在任一时刻t，振子位移为x，速度为v，则其弹性势能Ep

7、、动能EK分别为：,分析弹簧振子的能量变化：,简谐系统的能量 = 系统的动能 Ek + 系统的势能 Ep,谐振系统的动能、势能交替变化，相互转换，而总能量不变。,它还有一个特点，即一个周期内的平均动能等于一个周期内的平均势能，且为总能量的一半。,水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为a，水面以下高度为b。水密度为 ，木快密度为，不计水的阻力。,例题1 ：,水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为a，水面以下高度为b。水密度为 ，木快密度为，不计水的阻力。,例题1 ：,用外力将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。,水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为a，水面以下高度为b。水密

8、度为 ，木快密度为，不计水的阻力。,例题1 ：,用外力将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。,求证：木块将作简谐振动。并求振动角频率。,水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为a，水面以下高度为b。水密度为 ，木快密度为，不计水的阻力。,例题1 ：,任意位置木块受到的合外力为：,合外力和位移成正比，方向和位移相反。,平衡时：,证明：,所以木块作简谐振动。,由前面得到：,由牛顿定律,设地球是一个半径为 R 的均匀球体，现假定沿直径凿通一条隧道。若有一质量为m 的质点在此隧道内作无摩擦的运动，求证此质点作简谐运动。,解：,例题2 ：,从动力学进行分析,以球心为坐标原点作 ox 轴,式中M 半

9、径为 x 的部分地球质量,当质点位于 x 时受力,质点作简谐振动,若地球质量密度为 ，则,所以,讨论：,如图所示，振动系统由一劲度系数为 k 的轻弹簧、一半径为 R的定滑轮和一质量为m 的物体所组成。使物体偏离平衡位置后放手，任其振动，若不计滑轮质量，试证物体作简谐振动。,解：,例题3 ：,设 m 在平衡位置时， 弹簧伸长量为l，,则,取位移轴 ox，,受力分析,当 m 有位移 x 时,联立得,系统的固有角频率,练习册习题,如图所示，振动系统由一劲度系数为 k 的轻弹簧、一半径为 R、转动惯量为 J 的 定滑轮和一质量为m 的物体所组成。使物体偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期 T 。,解：,例题3 ：,设 m 在平衡位置时， 弹簧伸长量为l，,则,取位移轴 ox，,隔离法，受力分析,当 m 有位移 x 时,联立得,系统的固有角频率,另解：用系统角动量定理,系统：,m，J,系统角动量定理,即,运动学关系,得,另解：用能量方法研究系统的运动,该系统（ 和地球）的机械能守恒,两边求导,式中,则有,振动势能,结果相同!,从能量守恒导出简谐运动方程的思路，对研究非机械运动十分重要，因为此时已不宜用受力分析的方法了！,注意,振动势能的论证：,以平衡为双势能的零点,例：单摆,则 ,三、微振动的简谐近似,摆球对C 点的力矩,本质上是