2019年43分部积分法

1、 课 时 授 课 计 划 副 页 年 月 日教学过程及授课内容附 注4-3分部积分法教学过程一、分部积分法设函数,具有连续导数，根据乘积微分公式有移项得两边积分得 该公式称为分部积分公式，它可以将求的积分问题转化为求 的积分，当后面这个积分较容易求时，分部积分公式就起到了化难为易的作用。例13 求解 设于是代入公式有= = 注：本题若设则有及，代入公式后，得到= ,新得到积分反而比原积分更难，说明这样设是不合适的，由此可见，运用好分部积分关键是恰当地选择好和，一般要考虑如下两点：（1）要容易求得（可用凑微分法求出）；（2）要比容易积出。例14 求.解 =当熟悉分部积分法后，及可心算完成，不必具

2、体写出例15 求.解 = 例16 求.解 将再次出现的移至左端，合并后除以2得所求积分为小结：下述几种类型积分，均可用分部积分公式求解，且的设法有规律可循(1) ，可设；(2) ，可设，；(3) ，可设，.说明：（1）常数也视为幂函数（2）上述情况换成多项式时仍成立例17 求.解 先换元，令,则当熟悉分部积分法后，及可心算完成，不必具体写出原式= =- - =-= .例18 求.解 换元，令，则及原式.例19 用多种方法求.解一 分项，凑微分=.解二 令，则=.解三 令=,则 =解四 令 =.解五 分部积分=.二、简单有理式的积分有理分式是指两个多项式之比，即，这里与不可约当的次数高于的次数时

3、，是真分式，否则为假分式利用多项式除法，总可把假分式化为一多项式与真分式之和，例如多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积分法。一般真分式的积分方法：（1）将分母分解为一次因式（可能有重因式）和二次质因式的乘积（2）把该真分式按分母的因式，分解成若干简单分式（称为部分分式）之和（3）简单分式的积分。化真分式为部分分式之和举例说明： 分母含有单因式时，这时分解式中对应有一项，其中A为待定系数例如 =为确定系数,我们用乘等式两边，得,因为这是一个恒等式，将任何值带入都相等.故可令,得,即类似地，令,得，即=；令,得，即。于是得到=.(2)当分母含有重因式时，这时部分分式中相应有n个项： .

4、例如 .为确定系数A，B，C，将上式两边同乘以得,令,得；再令,得；令,得 代入已求得的A，B值，得.所以 .（3）当分母中含有质因式，这时部分分式中相应有一项.例如 .为确定待定系数，等式两边同乘以，得 ,令得即；再令得,即；令,得,即所以 （4）当分母含有因式时，这种情况积分过于繁复，略去不讨论了。有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面三种形式: 前两种积分，简单凑微分法即可获解，下面举例说明（3）式的积分方法。例20 求积分.解 改写被积分函数分子为,(注意:括号内正好是分母的导数.=)于是 =-=-.例21 求.解 由前面的情况（2）知，.所以 =.例 22 求解 被积函数是真分式，分母中为二次质因式，所以将等式两边同乘以，得分别令-，得= ；得，即;,得, 求得 所以 .于是 =.说明： （1）有些不定积分，如等，虽然这些不定积分都存在，却不能用初等函数表达所求的原函数，这时称“积不出”.（2）在工程技术问题