陕西省西安市西工大附中2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

1、陕西省西安市西工大附中2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）复数计算的结果是（）A1BiCD2（5分）若sin20=a，则sin230的值为（）A2a21B1a2Ca21D12a23（5分）（2x2）5的展开式中常数项是（）A5B5C10D104（5分）已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1=12，S6=S11，则必有（）Aa17=0Ba6+a12=0CS170Da905（5分）已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A6B9C12D1

2、86（5分）如图是函数y=2sin（x+）（0）图象的一部分，则和为（）A=，=B=，=C=，=D=，=7（5分）展开（a+b+c）10合并同类项后的项数是（）A11B66C76D1348（5分）已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）=，EX=1，则DX=（）ABCD9（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为（）A4B3C2D110（5分）已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足=0，=0，=0，则三棱锥PABC的侧面积的最大值为（）A2B1CD11（5分）已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线y2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）ABCD12（

3、5分）已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）A（2，+）B（1，+）C（，2）D（，1）二填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知0，函数在上单调递减，则的取值范围是14（5分）如图，输入正整数m，n，满足nm，则输出的p=；15（5分）若直线y=kx+1被圆x2+y22x3=0截得的弦最短，则实数k的值是16（5分）将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共5小题，共70分）17（

4、12分）从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96（）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（）若该批产品共20件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列与期望18（12分）已知数列an中，Sn为其前n项和，且a1a2，当nN+时，恒有Sn=pnan（p为常数）（）求常数p的值；（）当a2=2时，求数列an的通项公式；（）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn19（12分）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，且ABC=45AB=2，BC=

5、2，SA=SB=（1）求证：SABC；（2）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值20（12分）已知定点C（1，0）及椭圆x2+3y2=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点（）若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；（）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由21（12分）（）已知正数a1、a2满足a1+a2=1，求证：a1log2a1+a2log2a21；（）若正数a1、a2、a3、a4满足a1+a2+a3+a4=1，求证：a1log2a1+a2log2a2+a3log2a3+a4log2a42四、选做题请考生从第22、23、24三题中任选一题作答注

6、意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）选修41：几何证明选讲如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交O于点E证明：（）ACBD=ADAB；（）AC=AE【选修4-4：坐标系与参数方程】23已知椭圆C：+=1，直线l：+=1（I）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C与直线l的极坐标方程；（）已知P是l上一动点，射线OP交椭圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|=|OR|2当点P在l上移动时，求点Q在直角坐标系下的轨

7、迹方程【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=|x2|x5|（）证明：3f（x）3；（）求不等式f（x）x28x+15的解集陕西省西安市西工大附中2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）复数计算的结果是（）A1BiCD考点：复数代数形式的混合运算；虚数单位i及其性质 专题：数系的扩充和复数分析：首先求底数的2014次幂，然后在矩形复数的乘法运算解答：解：原式=i=；故选C点评：本题考查了复数的运算；注意明确i2=1，i3=i，i4=12（5分）若sin

8、20=a，则sin230的值为（）A2a21B1a2Ca21D12a2考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得sin230的值解答：解：若sin20=a，则sin230=sin（27040）=cos40=（12sin220）=2sin2201=2a21，故选：A点评：本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题3（5分）（2x2）5的展开式中常数项是（）A5B5C10D10考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项解答：解：（

9、2x2）5的展开式的通项公式为Tr+1=（2）r，令 =0，求得r=1，故展开式中常数项是2=10，故选：C点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题4（5分）已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1=12，S6=S11，则必有（）Aa17=0Ba6+a12=0CS170Da90考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由题意结合等差数列的性质求得a9=0，则答案可求解答：解：在等差数列an中，由S6=S11，得a7+a8+a9+a10+a11=0，即5a9=0，a9=0，则a6+a12=2a9=0故选：B点评：本题

10、考查了等差数列的性质，考查等差数列的求和，是基础题5（5分）已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A6B9C12D18考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，分别计算底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，其底面面积S=，高h=3，故该几何体的体积V=9，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状6（5分）如图是函数y=2sin（x+）（0）图象的一部分，则和为（）A=，=B=，=C=，=D

11、=，=考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：把特殊点代入函数的解析式，结合五点法作图求出和的值解答：解：把（0，1）代入可得sin=，结合五点法作图可得=再把（，0）代入，可得2sin（）=0，结合五点法作图可得=，求得=，故选：A点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，五点法作图，属于基础题7（5分）展开（a+b+c）10合并同类项后的项数是（）A11B66C76D134考点：二项式系数的性质 专题：应用题；排列组合分析：用隔板法，把题目中问题模拟成10个球排成一排，中间放入2块隔板，将这10个球分成3堆，每一堆放入一个盒子内，隔板放置的位置是解答：解

12、：将（a+b+c）10展开合并同类项后，每一项都是 maxbycz 的形式，且x+y+z=10，其中m是实数，x、y、zN；相当于说，已知3个非负整数的和为10，求有多少组解；这就跟2隔板放10个小球一样了，一共12个位置，找2个位置给挡板，剩下位置放小球，所以有C122种，所以，（a+b+c）10的展开式中，合并同类项之后的项数为C122=66故选：B点评：本题考查了排列与组合的应用问题，解题的关键是根据题意，把问题模拟为某一实验的形式，根据实验结果得出结论8（5分）已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）=，EX=1，则DX=（）ABCD考点：离散型随机变量的期望与方差 专题：概率

13、与统计分析：由设P（X=1）=p，P（X=2）=q，因为E（X）=1，可求得X=1，X=2的概率并求得方差解答：解：设P（X=1）=p，P（X=2）=q，因为E（X）=0又p+q=，由得，p=，q=，D（X）=，故选：A点评：本题主要考查随机变量的期望值的逆向求法和方差的求法，属于中档题型9（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为（）A4B3C2D1考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；数形结合分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可解答：解：画出可行域（如图），z=x2yy=xz，由图

14、可知，当直线l经过点A（1，1）时，z最大，且最大值为zmax=12（1）=3故选：B点评：本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题10（5分）已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足=0，=0，=0，则三棱锥PABC的侧面积的最大值为（）A2B1CD考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 专题：计算题分析：由已知，三棱锥PABC的四个顶点均在半径为的球面上，且满足：，则在P点处PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥PABC的侧面积的最大值解答：解：，PA，PB，PC两

15、两垂直，又三棱锥PABC的四个顶点均在半径为1的球面上，以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径4=PA2+PB2+PC2，则由基本不等式可得PA2+PB22PAPB，PA2+PC22PAPC，PB2+PC22PBPC，即4=PA2+PB2+PC2PAPB+PBPC+PAPC则三棱锥PABC的侧面积S=（PAPB+PBPC+PAPC）2，则三棱锥PABC的侧面积的最大值为2，故选A点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，基本不等式，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键11（5分）已知抛物线y2=8x的焦点与

16、双曲线y2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）ABCD考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先求出抛物线y2=8x的焦点坐标F，从而得到双曲线y2=1的一个焦点F，由此能求出a2，进而能求出此双曲线的离心率解答：解：抛物线y2=8x的焦点坐标为F（2，0），双曲线y2=1）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，双曲线y2=1的一个焦点为F（2，0），a2+1=4，解得a2=3，此双曲线的离心率e=故选：C点评：本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到抛物线、双曲线的简单性质，是中档题12（5分）已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x

17、0，且x00，则a的取值范围是（）A（2，+）B（1，+）C（，2）D（，1）考点：函数零点的判定定理 专题：综合题；导数的概念及应用分析：分类讨论：当a0时，容易判断出不符合题意；当a0时，由于而f（0）=10，x+时，f（x），可知：存在x00，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则必须极小值f（）0，解出即可解答：解：当a=0时，f（x）=3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a0时，令f（x）=3ax26x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下： x （，0） 0（0，）（，+） f（x）+ 0 0+ f（x

18、） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增x，f（x），而f（0）=10，存在x0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x00，应舍去当a0时，f（x）=3ax26x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下： x （，）（，0）0（0，+） f（x） 0+ 0 f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减而f（0）=10，x+时，f（x），存在x00，使得f（x0）=0，f（x）存在唯一的零点x0，且x00，极小值f（）0，化为a24，a0，a2综上可知：a的取值范围是（，2）故选：C点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的

19、思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知0，函数在上单调递减，则的取值范围是考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：根据题意，得函数的周期T=，解得2又因为的减区间满足：（kZ），而题中（，）由此建立不等关系，解之即得实数的取值范围解答：解：x，0，（，）函数在上单调递减，周期T=，解得2的减区间满足：，kZ取k=0，得，解之得故答案为：点评：本题给出函数y=Asin（x+）的一个单调区间，求的取值范围，着重考查了正弦函数的单调性和三角函数

20、的图象变换等知识，属于基础题14（5分）如图，输入正整数m，n，满足nm，则输出的p=；考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量P的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果解答：解：第一次循环：k=1，p=1，p=nm+1；第二次循环：k=2，p=（nm+1）（nm+2）；第三次循环：k=3，p=（nm+1）（nm+2）（nm+3）第m次循环：k=m，p=（nm+1）（nm+2）（nm+3）（n1）n此时结束循环，输出p=（nm+1）（nm+2）（n

21、m+3）（n1）n=Anm故答案为：Anm点评：本题考查了循环结构的程序框图、排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力，要注意对第m次循环结果的归纳，这是本题的关键15（5分）若直线y=kx+1被圆x2+y22x3=0截得的弦最短，则实数k的值是1考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：先判断直线过圆内的一个定点，再利用直线与圆的位置关系即垂径定理，判断直线的斜率解答：解：直线y=kx+1过定点M（0，1），圆x2+y22x3=0的圆心为（1，0），半径为r=2，显然点M在圆内若直线y=kx+1被圆x2+y22x3=0截得的弦最短，则圆心（1，0）与点M（0，1）的连线与直线y=

22、kx+1垂直，即k=1，故k=1故答案为 1点评：本题主要考查了直线方程和圆的一般方程，直线与圆的位置关系，圆的几何性质及应用，属基础题16（5分）将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为50考点：归纳推理 专题：推理和证明分析：先找到数的分布规律，求出第n1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，代入n=10可得解答：解：由排列的规律可得，第n1行结束的时候共排了1+2+3+（n1）=个数，第n行从左向右的第5个数为 +5，把n=10代入可得第10行从左向右的第5个数为50，故答案为：50点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观

23、察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共5小题，共70分）17（12分）从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96（）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（）若该批产品共20件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列与期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（）设该批产品中任取1件是二等品为事件B，根据事件A的概率求得事件B的概

24、率即可（）利用超几何分布求得随机变量的概率，并求得X的分布列解答：解：（）事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，设事件B：“该批产品中任取1件是二等品”P（B）=1p2=0.96求得p=0.2（）该批产品共20件，由（）知其二等品有200.2=4件，显然X=0，1，2故所以X的分布列为X012PEX=点评：本题主要考查随机变量的概率分布列，以及超几何分布的概率求法，属于中档题型18（12分）已知数列an中，Sn为其前n项和，且a1a2，当nN+时，恒有Sn=pnan（p为常数）（）求常数p的值；（）当a2=2时，求数列an的通项公式；（）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn

25、考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（）当n=1时，a1=S1，可得p=1或a1=0，舍去p=1，通过n=2，求得p；（）通过当n=1时，a1=S1，n1时，an=SnSn1，化简整理，即可得到通项；（）化简bn，并由放缩法，结合裂项相消求和，即可得证解答：解：（）当n=1时，a1=S1，a1=pa1，p=1或a1=0，当p=1时，Sn=nan则有S2=2a2a1+a2=2a2a1=a2与已知矛盾，p1，只有a1=0当n=2时，由S2=2pa2a1+a2=2pa2，a1=0又a1a2a20；（）a2=2，当n2时，即，当n=1时，a1=212=0也适

26、合an=2n2（）证明：，当n=1，2时，显然成立，当n3时有点评：本题考查数列的通项和求和的关系，同时考查不等式的证明方法：放缩法，及裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题19（12分）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，且ABC=45AB=2，BC=2，SA=SB=（1）求证：SABC；（2）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质 专题：计算题分析：（1）过S作SOBC于0，连OA，易得SO底面ABCD，OAOB，以O为原点，OA为x轴， OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，分别求出SA与BC的方

27、向向量，代入向量数量积公式，求出其数量积为0，即可得到SABC（2）求出直线SD的方向向量，及平面SAB的法向量，代入向量夹角公式，即可求出直线SD与平面SAB所成角的正弦值解答：证明：（1）由侧面SBC底面ABCD，交线BC，过S作SOBC于0，连OA，得SO底面ABCD（2分）SA=SB，RtSOARtSOB，得OA=OB，又ABC=45，故AOB为等腰直角三角形，OAOB（4分）如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则，则（6分），故SABC（7分）解：（2）设n=（x，y，z）为平面SAB的一个法向量，由取x=l，得（10分）而，设直线，SD

28、与平面SAB所成的角为，则故直线SD与平面SAB所成角的正弦值为（14分）点评：本题考查的知识是直线与平面所成的解，直线与直线垂直的判定，其中建立适当的空间坐标系，将空间线线及线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键20（12分）已知定点C（1，0）及椭圆x2+3y2=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点（）若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；（）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程 专题：综合题；压轴题；开放型；转化思想分析：（1）根据题意，设出直线AB的方程，将直线方程代入椭圆，用设而

29、不求韦达定理方法表示出中点坐标，此时代入已知AB中点的横坐标即可求出直线AB的方程（2）假设存在点M，使为常数分别分当直线AB与x轴不垂直时以及当直线AB与x轴垂直时求出点M的坐标最后综合两种情况得出结论解答：解：（）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），将y=k（x+1）代入x2+3y2=5，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k25=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则由线段AB中点的横坐标是，得，解得，适合（1）所以直线AB的方程为，或（）解：假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数当直线AB与x轴不垂直时，由（）知所以=（k2+1）x1x2+（k

30、2m）（x1+x2）+k2+m2将（3）代入，整理得=注意到是与k无关的常数，从而有，此时当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为，当时，亦有综上，在x轴上存在定点，使为常数点评：本题考查直线的一般方程以及直线与圆锥曲线的关系求法通过运用设而不求韦达定理方法，以及向量垂直关系的利用求解考查对知识的综合运用，属于中档题21（12分）（）已知正数a1、a2满足a1+a2=1，求证：a1log2a1+a2log2a21；（）若正数a1、a2、a3、a4满足a1+a2+a3+a4=1，求证：a1log2a1+a2log2a2+a3log2a3+a4log2a42考点：利用导数求闭区间上函数的最

31、值；对数的运算性质；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（）先求函数f（x）=xlog2x+（1x）log2（1x）（x（0，1）的最小值得出a1，a2的大小关系，即可证明（）由（）的结论可推知：，整理式子，利用此式即可得到证明解答：解：（）证明：先求函数f（x）=xlog2x+（1x）log2（1x）（x（0，1）的最小值f（x）=（xlog2x）+（1x）log2（1x）=log2xlog2（1x）于是，当0时，f（x）=log2xlog2（1x）0，f（x）在区间是减函数，当时，f（x）=log2xlog2（1x）0，f（x）在区间是增函数，所以时取得最小值，f（x）1a

32、10，a20，a1+a2=1，a2=1a1，由得a1log2a1+a2log2a=a1log2a1+（1a1）log2（1a2）1（）证明：a1+a2+a3+a4=1，设a1+a2=1（a3+a4）=x则，由（）的结论可得：a1log2a1+a2log2a2（a1+a2）log2xxa1log2a1+a2log2a2x+xlog2x同理a2+a3=1x有：a3log2a3+a4log2a4（1x）+（1x）log2（1x）+得：a1log2a1+a2log2a2+a3log2a3+a4log2a41+xlog2x+（1x）log2（1x）由于f（x）=xlog2x+（1x）log2x1a1log2a1+a2log2a2+a3log2a3+a4log2a42点评：本题主要考查导数在证明不等式中的应用，属于中档题型，2015届高考中时有涉及四、选做题请考生从第22、23、24三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）选修41：几何证明选讲如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交O于点E证明：（）ACBD=ADAB；（）AC=AE考点：与圆有关的比例线段