《线性代数第章》PPT课件.ppt

1、1,线 性 代 数,Linear Algebra,第 三 章 矩 阵,2,第 三 章 矩 阵,矩阵将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运 算,使得问题变得简洁、易于了解本质. 已在线性方程组 的讨论中运用 . 矩阵不仅是代数学，而且是数学中最重 要的基本概念之一 . 它是线性代数一个主要的研究对象, 且贯穿在线性代数的各个方面 . 矩阵的理论和方法在处 理许多实际问题，特别是计算机应用上是非常有力的.,3,第 三 章 矩 阵,一、 数乘矩阵,Definition 1,1 矩阵的基本运算,数 与矩阵 A = (aij) 的乘积，简称数乘 矩阵，,规定为,记作,求数与矩阵乘积的运算称为矩阵的数

2、量乘积.,Note : 的区别,数量矩阵,4,第 三 章 矩 阵,数乘矩阵满足如下性质：,(设 A,B 为 矩阵， 为数）,（1）,特别地,称为 A 的负矩阵. 记为 A .,二、 矩阵加法,设有两个 矩阵 那么，矩阵 A 与B 的 和记作 A+ B 规定为,Definition 2,必须同型,求两个矩阵和的运算称为矩阵的加法. Note : 矩阵的加法归结为元素的加法.,5,1 矩阵的基本运算,矩阵加法满足如下性质：,（1） A + B = B + A ；,（2）A + (B + C) = (A + B) + C,（3） A + 0 = 0 + A = A ( 0为与 A 同型的零矩阵 ),

3、显然有 A + (-A) = 0.,矩阵的减法定义为 A - B = A + (-B),（4）,（5）,矩阵的加法与数乘矩阵，统称为矩阵的线性运算,6,1 矩阵的基本运算,三 、 矩阵乘法,矩阵乘法的定义是从研究 n 维向量的线性变换的 需要而规定的一种独特的乘法运算. 矩阵运算中所具 有的特殊的规律，主要产生于矩阵的乘法运算.,Definition 3,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积 是一个 矩阵 ，其中,记为,Note : （1）AB 中 A 的列数等于 B 的行数； （2）矩阵 C = AB 的行数是 A 的行数，列数为 B 的列 数，cij 是

4、A 的第 i 行与 B 的第 j 列的对应元素乘积的和,7,第 三 章 矩 阵,Example 1,设有两个线性变换,若想求出从 t1, t2 到 y1, y2 的线性变换，可将(3.2) 代入(3.1) 即得,用矩阵表示,8,1 矩阵的基本运算,(1) 可简记为,9,第 三 章 矩 阵,Example 2,设 ， 求 AB.,Solution :,AB 是一个 阶矩阵.,该例 BA 没有意义,-5,17,6,10,2,-2,10,1 矩阵的基本运算,Example 3,设 求 AB、BA.,Solution :,( ),虽然 AB、BA 有意义，但不同型，当然不相等,11,第 三 章 矩 阵

5、,Example 4,设,Solution :,即使同型，也未必相等,Note :,（1）矩阵乘法不满足交换律，一般 ；,求 AB、BA、AC .,该例得到什么结论？,12,1 矩阵的基本运算,矩阵乘法满足如下性质：,（假设以下性质中的运算均可行）,（1） 结合律 (AB)C = A(BC) ;,Proof,（2）分配律 A(B+C) = AB+AC (B+C)A = BA+CA ;,（3）数乘结合律,(k 是数),对于单位矩阵 E 容易验证：,简写成 EA = AE = A,数量矩阵与矩阵的乘积等于数与矩阵的乘积,如果方阵 A 与 B 的乘积满足交换律，即 AB = BA 则称 A 与 B

6、是可交换的.,Go on,13,第 三 章 矩 阵,矩阵乘法性质（1）的证明,Proof :,设,则 AB 是 矩阵，(AB)C 是 矩阵，BC 是 矩阵，A(BC) 是 矩阵，所以,(AB)C与A(BC) 是同型矩阵.,故 (AB)C = A(BC),14,1 矩阵的基本运算,方阵的幂的定义：,即 就是 k 个 A 连乘.,由矩阵乘法满足结合律，有,( k 为正整数),( k、l 为正整数),又由矩阵乘法不满足交换律，一般有,（左边 右边 ）,Example 5,设 A = , 求 A2，A10，A11.,15,第 三 章 矩 阵,Solution :,对角阵的性质,16,Example 6

7、,设 求,Solution :,1 矩阵的基本运算,17,第 三 章 矩 阵,四、 矩阵的转置,Definition 4,把 矩阵 的行与列互 换，所得到的 矩阵 称为矩阵 A 的转置矩 阵，记作 AT .（Transpose）,即 AT = 其中,矩阵的转置也是一种运算，有如下性质：,（1） (AT)T = A;,（2） ( A + B )T = AT+ BT,（3） ( A )T= AT,（4） ( AB )T = BTAT,Proof,(4) 可推广,Go on,18,1 矩阵的基本运算,( AB )T = BTAT 的证明,Proof :,设,记,则 AB 是 矩阵,(AB)T 是 矩

8、阵.,又BT 是 矩阵，AT 是 矩阵,则 BTAT 是 矩阵.即(AB)T 与BTAT是同型矩阵.,则 (AB)T 的（i，j）元素是,而 BTAT 的（i，j）元素是,所以，,( AB )T = BTAT,19,第 三 章 矩 阵,Example 9,设,求 .,Solution :,也可以,20,1 矩阵的基本运算,Example 10,设 B 是一个 矩阵，证明 BTB， BBT 都是对称阵.,Definition 5,设 为 n 阶方阵，如果满足 AT = A，即 则称 A 为对称阵.,如果满足 AT = -A，即 则称 A 为反对称阵.,显然，对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等

9、, 对反对称阵有,Proof :,是对称阵.,同理可证 BBT 是对称阵.,21,第 三 章 矩 阵,五、 方阵的行列式,Definition 6,由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵 A 的行列式，记作 或 .,Note : 只是对 n 2 个数构成的数表，加上了运算符，成 为一个数（行列式）. (相当于 n 2 元函数 ),由 A 确定 的运算满足：(A、B 等是 n 阶方阵, 是数）,（1）,（2）,（3）,Proof,特别地,Go on,Note :,22,1 矩阵的基本运算,Proof :,设,记 2n 阶行列式,由第一章例 ,而在 D 中以 b1

10、j 乘第1列，,b2j乘第2列,bnj乘第n 列，都加到第n+j 列上,有,再对 D 的行作,有,23,第 三 章 矩 阵,Example 11,设 ， 计算,Solution :,由于,24,第 三 章 矩 阵,在矩阵的运算中,已定义了加、减、乘，而数还有 除法，即乘法的逆运算。对数a 有 则 称 为a 的倒数，或a 的逆。 在矩阵的乘法中，单位矩阵 E 的作用相当于数的 乘法中的 1， 是否存在一个矩阵 A-1 使 得,在ax= b中 x=a -1b,在Ax= b中 x=A-1b,一、 逆矩阵的概念,2 逆矩阵,25,2 逆矩阵,Definition 7,行列式 的各元素的代数余子式 所构

11、成的方阵 称为方阵A的,伴随矩阵（adjoint matrix）,简称伴随阵.,注意排列,对于 有结论:,Proof :,设,记,则,类似可证,26,第 三 章 矩 阵,Definition 8,设A 是 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B 使得 AB = BA = E,则称矩阵A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵. 记作 A-1 即 A-1= B,由定义可知，A、B 的地位是平等的，所以，也可 称 B 是可逆的，A 是B 的逆阵。,逆阵的唯一性,设 B、C 都是 A 的逆阵，则,B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C,27,2 逆矩阵,二、 矩阵可逆的条件,Theore

12、m 1,矩阵 A 可逆的充分必要条件是 , 且如果 A 为可逆阵，则有,给出求A-1的方法,Proof :,若 A 为可逆，则 AA-1 = E,两边取行列式 得,若,由 可知,所以，A 可逆.且,当 时，称 A 为奇异的、退化的、降秩的； 否则，称 A 为非奇异的、非退化的、满秩的.,28,第 三 章 矩 阵,Example 12,求矩阵 的逆矩阵.,Solution :,可逆,Note : 求逆矩阵易出错，但可验证,29,2 逆矩阵,Corollary,如果 AB = E (或 BA = E )，则 A、B 皆可 逆，且 A、B 互为逆阵.,Proof :,由 AB = E,故,所以，由

13、Th 1知，A、B 皆可逆.,于是 AB = E A-1AB = A-1E B = A-1,AB = E ABB-1 = EB-1 A = B-1,两式只需成立一式,30,第 三 章 矩 阵,Example 13,设方阵 A 满足 A2 3 A 10 E = 0,证明 A、(A 4 E) 都可逆，并求它们的逆矩阵.,Proof :,由 A2 3 A 10 E = 0,A (A 3E) = 10 E,即,A-3是没有意义的,由 Co 知 A 可逆,且,再由 A2 3 A 10 E = 0,(A+ E)(A 4E) = 6 E,即,故（A 4E）可逆,且,Co 的应用： 1、证矩阵可逆； 2、求矩

14、阵的逆.,31,2 逆矩阵,设线性方程组,记为 Ax = b,如果,，则 A 可逆.,于是,A-1(Ax) = A-1b,x = A-1b,这正是 Cramer 法则给出的公式，被称为Cramer 法则的矩阵形式.,32,第 三 章 矩 阵,Example 14,求矩阵方程的解.,Solution :,已知 A 可逆，,33,2 逆矩阵,三、 可逆矩阵的性质,设矩阵 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则有以下性质：,（1）A-1也可逆. 且 (A-1) -1 =A ;,（2）数 k 0 , 则 kA 可逆，且 ；,（3）AT 可逆，且 (AT) -1 = (A-1)T ;,（4）AB 可逆，且 (A

15、B) -1 = B-1A-1;,（5）,Proof,Proof,Proof,该性质可推广到多个可逆阵的乘积,与矩阵乘积的转置有类似的结构,Go on,当,可定义 A0 = E，A- k=(A-1)k,34,第 三 章 矩 阵,（3）AT 可逆，且 (AT) -1 = (A-1)T 的证明,Proof :,由 Co 知,AT 可逆，且 (AT) -1 = (A-1)T,Go back,证 A-1=B 即证 AB=E,35,2 逆矩阵,（4）AB 可逆，且 (AB) -1 = B-1A-1 的证明,Proof :,由 Co 知,AB 可逆，且 (AB) -1 = B-1A-1,Go back,36

16、,（5） 的证明,Proof :,因此,Go back,第 三 章 矩 阵,37,Note,1、 A、B 可逆，A+B 未必可逆；即使 A+B 可逆，一般,如：,显然，A、B、C 可逆，,可逆，,但,2、若 A 可逆 ，则 AB = AC B = C,2 逆矩阵,？,38,Example 15,Solution :,设 A 为三阶矩阵, 且 , 求 .,方法一,则,方法二,则,第 三 章 矩 阵,39,第 三 章 矩 阵,在处理较高阶的矩阵时，常把一个大矩阵看成是 由若干个小矩阵组合而成. 这些小矩阵可称为原矩阵 的子块或子阵，用子阵表示矩阵的方法称为矩阵的分 块表示，这使原矩阵显得结构简单而

17、清晰，能简化运 算. 这不仅是线性代数中的一个较为有效的方法，也 是数学建模的一个重要思想.,3 分块矩阵,一、 分块矩阵的定义,Definition 9,一个 矩阵 A 被纵线和横线分成 若干个低阶矩阵，每个低阶矩阵称为矩阵A的子块，以 所生成的子块为元素的矩阵称为矩阵 A 的分块矩阵.,40,3 分块矩阵,如：,Note :,1、纵、横线必须划到底；,2、分块的方式很多，根据矩阵结构和需要确定.,41,第 三 章 矩 阵,二、 分块矩阵的运算,分块矩阵有与矩阵类似的运算规则,1、加法和数乘运算,设 A、B 是两个 矩阵，用同样的方法分块， 得 即 是同型矩阵，,则,2、乘法,设 A 为 矩

18、阵，B 为 矩阵，如果 A 分块为 分块矩阵 ，B 分块为 分块矩阵 且 A 的列的分块法与 B 的行的分块法完全相同。则,42,3 分块矩阵,Example 16,设,计算 AB .,Solution :,B的行分法与A 的列分法一致;列可任意分.,则,43,第 三 章 矩 阵,3、转置,设,则,4、求逆,设 A 为 n 阶方阵，如果 A 的分块矩 阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都是零矩 阵，且非零子块都是方阵，即,Definition 10,其中 分别是 阶方阵,44,3 分块矩阵,A 可逆的充分必要条件是,且,如：,9,-4,-2,1,45,第 三 章 矩 阵,Example 1

19、7,设,B、D 皆为可逆矩阵，证明 A 可逆，并求 A-1.,Proof :,因此， A 可逆.,，而 B、D 皆为可逆矩阵，,即 ，,设,其中，X 与 B ，T 与 D 分别是同阶方阵.,这是求逆的一个方法,于是,得,46,3 分块矩阵,如：,将 A 分块为,其中,可逆,47,第 三 章 矩 阵,4 矩阵的初等变换,矩阵的初等变换源于解线性方程组的3类同解变换. 是研究矩阵的有力工具，很多计算问题、理论问题可通 过初等变换化难为易，得到解决.,一、矩阵的初等变换与矩阵的等价,Definition 11,下面三种变换称为矩阵的初等列变换：,（1）交换 A 的第 i 列和第 j 列的位置 ；,（

20、2）用非零常数 k 乘以 A 的第 i 列各元素；,（3）将 A 的第 i 列各元素的 k 倍加到第 j 列对应元素.,分别记为： 、 、 .,列 column,48,4 矩阵的初等变换,Definition 12,若矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩 阵 B ，则称矩阵 A 与 矩阵 B 等价，记作 .,矩阵的等价关系具有下列性质:,数学上定义的 等价关系一般 都满足的,可用于分类,1、反身性：,2、对称性：若 则 ；,3、传递性：若 ，且 ，则 .,Theorem 2,任一 mn 非零矩阵 A=(aij) 必可通过,初等变换化为标准形 .,Go on,Go on,初等变换会改变矩阵的可逆性

21、吗？,49,第 三 章 矩 阵,称为行阶梯形矩阵,称为行最简形矩阵,方程组是否有解由此判断,由此求解方程组,称为矩阵B 的(等价)标准形,r = ?,矩阵的秩,Go back,50,4 矩阵的初等变换,二、初等矩阵,Definition 13,单位矩阵经过一次初等变换后所得矩 阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵, 它们分别为:,(1) 交换两行或者两列,记为 E( i , j ),(2) 以数 乘某行或者某列( kri 或kci ),记为 E( i (k),(3) 以数 乘某行(列)加到另一行(列)上去,记为 E(ij(k),显然,初等矩阵是可逆的,其逆矩阵仍是同类初等矩阵.,51

22、,第 三 章 矩 阵,Theorem 3,对 矩阵 A ,施行一次初等行变换,相当于 在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵;对 A 施行一 次初等列变换,相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶 初等矩阵.,由 Theorem 3 知:可以依据矩阵乘法的运算规律 得到初等变换的运算规律,也可以利用矩阵的初等变换 去研究矩阵的乘法.,Corollary 1,设 A、B 为 矩阵，则 A 与 B 等价的 充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q， 使得 B = PAQ .,Proof,4 矩阵的初等变换,Corollary 1 的证明,Proof :,A 与 B 等价,A 经过

23、有限次初等变换（不妨设为 s 次行变换、t 次列变换）变成 B ；,定义,存在 m 阶初等矩阵 Pi (i = 1 s ), n 阶 初等矩阵 Qj ( j = 1 t)，使得 P1P2Ps A Q1Q2Qt = B,Th 3,存在 m 阶可逆矩阵 P , n 阶可逆矩阵 Q ，使得 PAQ = B 其中 P = P1P2Ps 、Q = Q1Q2Qt .,可逆矩阵性质（4）,53,第 三 章 矩 阵,Corollary 2,n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是,存在 n 阶初等矩阵 P1，P2,，Ps，Q1，Q2，Qt,使得,Proof,Corollary 3,矩阵 A 可逆的充分必要条件是

24、A 可表示成有限个 初等矩阵的乘积 .,充分性显然，必要性可由 Co 2 的证明过程得.,Corollary 4,可逆矩阵 A 仅施行初等行变换（或列变 换）即可化为单位矩阵.,Go on,54,4 矩阵的初等变换,Corollary 2 的证明,Proof :,由 Co 1的证明与Th 2 知，存在 n 阶初等矩 阵,使得,只需证明 r = n,若 则将上式两边取行列式，有,显然，上式左边不等于零，矛盾 .,所以，r = n .,由,54,则,所以，A 可逆 .,2、可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵,初等变换不会改变矩阵的可逆性.,第 三 章 矩 阵,三、求逆矩阵的初等行变换法,Note:此处只能

25、作行变换,由 Co 4 , 若 A可逆,则存在有限个初等矩阵,则,使得,于是，若构造一个矩阵有,这样，得到了用初等变换求逆矩阵的方法,4 矩阵的初等变换,Example 18 用初等行变换求矩阵 的 逆矩阵.,Solution:,Note: 1、只能作行变换； 2、可通过 A-1A = E 验证 .,第 三 章 矩 阵,对矩阵方程 AX=B，如果 A 是可逆矩阵，,则有唯一解：,Example 19 用初等行变换解矩阵方程 AX=B ，其中,Solution：,不可逆如何？,所以，A 可逆，且 是方程的唯一解 .,第 三 章 矩 阵,给定一个方程组由 m 个方程组成，但本质有几 个方程呢？,方

26、程组有解吗？,5 矩阵的秩,矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征 .,它反映了矩阵的内在特征，在线性代数的理论上占有 非常重要的地位 . 它是讨论矩阵的可逆性、向量的线 性表示与线性相关、线性方程组解的理论等问题的主 要依据，起着无可比拟的作用.,Definition 14,一、矩阵秩的定义,在 矩阵 A 中，任取 k 行和 k 列 (k m, k n)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素 按原有顺序构成的一个 k 阶行列式，称为矩阵 A 的一 个 k 阶子式.,mn 矩阵 A 的 k 阶子式共有 .,5 矩阵的秩,Definition 15,在 矩阵 A 中，有一个 r 阶子 式不为零，且所有

27、 r+1 阶子式(如果存在的话)全等于 零，那么，数 r 称为矩阵 A 的秩(rank). 记作 秩(A) 或 R(A) , 规定 R(0)= 0,1、由行列式性质，定义中说 r+1 阶子式全为零，则所 有大于 r+1 阶子式（如果有）也全为零，所以称 D 为矩阵 A 的最高阶非零子式.,显然,第 三 章 矩 阵,2、若 A 有一个非零 k 阶子式，则必有 . 而 ,表示 A 有非零 k 阶子式，但并不说明 A 的所有k 阶子式全不为零，所以 A 有一个k 阶子 式为零不能说明（除非是所有的）,3、A 是 mn 矩阵，则必有 0 R(A) min(m , n),称 R(A) = n 的 n 阶

28、方阵 A 为满秩矩阵；否则，称 为降秩矩阵.,、A为 n 阶方阵，则,5 矩阵的秩,Example 20 求矩阵 A= 的秩 .,Solution：,在矩阵 A 中共有4个三阶子式，因 A 的第一、第 二行对应成比例，而任一三阶子式必包含第一、二行 所以，所有三阶子式都为零. 从而 R(A) = 2 .,5、R ( AT ) = R ( A ) ；,6、 其中 为常数 .,第 三 章 矩 阵,考察下面两个矩阵的秩,对 B 可经复杂的计算，得 R(B)=3,而对 B1 非常容易,R(B)=3即非零行数,猜想：,矩阵经初等变换秩不变,如果猜想成立，则化矩阵为阶梯形来求秩是方便的,B1是阶梯形矩阵,

29、5 矩阵的秩,二、矩阵秩的计算,Theorem 4,初等变换不改变矩阵的秩 .,Proof :,先证 A 经一次初等行变换变为B ，则,设 R(A) = r，且 A的某个r 阶子式,当 或 时，,在 B 中总能找到与,D 相对应的子式 ，由于 或 或,因此， 从而,这是因为 A 经一次初等行变换变为 B ，则B 也可 经一次初等行变换变为 A，所以 从而 既然每一次初等行变换秩不变，则有限次也不变,当 时，分三种情形讨论：,第 三 章 矩 阵,(1) D 中不含 ri ； (2) D 中同时含 ri 、rj ； (3) D 中含 ri ，但不含 rj .,对 (1)、(2) 情形，显然 B 中

30、 与 D 对应的子式,对情形 (3),如果 ，则 有,如果 ，则因 D1 中不含 ri 知，A 中有不含 ri 的 r 阶非零子式，由情形 (1),5 矩阵的秩,综上,证明了若 A 经一次初等行变换变为 B ,则 , 即可知 A 经有限次初等行变换变为 B , 也成立.,由于 B 也可经有限次初等行变换变为 A,故也有 . 因此,类似可证,Corollary 2 矩阵 A 的标准形是唯一的.,总之，若 A 经有限次初等变换变为 B，则 R(A) = R(B) .,Corollary 1,等矩阵 P1，P2，Ps 与 n 阶初等矩阵 Q1，Q2， Qt，使得,设 是秩为 r 矩阵，则存在 m 阶

31、初,第 三 章 矩 阵,Example 21 求矩阵 A= 的秩，并求 一个最高阶非零子式 .,Solution：,要有规律,说明A0中有3阶非零子式,即为所求,A0 的行阶梯形矩阵为,5 矩阵的秩,Example 22 设 求矩阵 A 及矩阵 B= ( A，b ) 的秩 .,Solution ：,若 是行阶梯形矩阵,则 是 A 的行阶梯形矩阵 .,因此，R(A) = 2，R(B) = 3 .,A、B作为方程组的系数、增广矩阵，则无解,R(A)与R(B) 的关系,第 三 章 矩 阵,Example 23,Solution ：,设 A = .,试问 为何值时，,R(A) = 1，R(A) = 2

32、，R(A) = 3 .,方法一 利用初等行变换将 A 化为行阶梯形,A =,讨论：,1、要使 R(A) = 3，则 即 且,则 R(A) = 1;,则 R(A) = 2 .,5 矩阵的秩,方法二,所以,1、当 ，即 且 时，R(A) = 3;,2、当 时，把 代入矩阵 A ，得,则 R(A) = 1；,3、当 时，把 代入矩阵 A ，得,， 则 R(A) = 2 .,因为,第 三 章 矩 阵,三、矩阵秩的性质,Property 1,若 ，则R(A) = R(B)，即等价矩阵 有相同的秩 .,但反之不然 .,Property 2,Property 3,什么条件成立？,设 A 为 mn 矩阵，P

33、为 m 阶可逆矩阵， Q 为 n 阶可逆矩阵，则 R(PAQ) = R(PA) = R(AQ) = R(A) .,设 A 为 ms 矩阵，B 为 mt 矩阵，则,特别地， , 其中 为 m1 矩阵 .,5 矩阵的秩,Property 4,Property 5,设 A，B 均为 mn 矩阵，则,设 A 为 ms 矩阵，B 为 sn 矩阵，则,Property 6,设 A 为 ms 矩阵，B 为 sn 矩阵，且,AB = 0，则,Property 7,设 A 为 n (n2) 阶矩阵，则,第 三 章 矩 阵,Example 24,设 A 为 n 阶矩阵，满足 A2 3A 4E = 0,证明：R(A

34、 + E) + R(A 4E) = n .,Proof :,R(A + E) + R(A 4E),= R(A + E) + R(4E A), R(A + E) + (4E A),= R(5E),= R(E) = n .,即 R(A + E) + R(A 4E) n .,又 (A + E)(A 4E) = A2 3A 4E = 0,即 R(A + E) + R(A 4E) n .,综上，得 R(A + E) + R(A 4E) = n .,Prop 4: 设 A，B 均为 mn 矩阵，则,Prop 6: 设 A 为 ms 矩阵，B 为 sn 矩阵，且AB = 0，则,第 三 章 矩 阵,6 线性

35、方程组解的理论,含有 m 个方程，n 个 未知量的线性方程组的一 般形式为,可简记为,记,A ，B = (A，b) 分别为线性方程组的系数矩阵、增 广矩阵 .,其矩阵形式为 Ax = b (2),6 线性方程组解的理论,一、齐次线性方程组解的理论,对齐次线性方程组，一定有解 x=(0,0,0).关 心的是什么条件只有零解或有非零解？,Theorem 5,n 元齐次线性方程组 (2)有非零解的充分 必要条件是系数矩阵的秩 R(A) n .,proof,即 只有零解的充分必要条件是 R(A) = A 的列数 .,不是有否多余方程,也不是,Corollary 1 当 m n 时，(2) 必有非零解 .,Go on,Corollary 2 当 m = n 时，(2)有非零解的充分必要条件 是 .,第 三 章 矩 阵,Theorem 5 的证明