第四章 线性控制系统的频域分析第三节.ppt

1、第4章 线性控制系统的频域分析,4.1 频率特性 4.2 频率特性曲线 4.3 系统稳定性的环路分析 4.4 Nyquist稳定性判据 4.5 Bode图及其应用 4.6 利用开环频率特性分析系统的性能 4.7 闭环频率特性,4.3 系统稳定性的环路分析,4.3.1 环路分析 H. Nyquist基于频率特性的框架，引入了一种全新的稳定性分析方法。 基本思路：观察正弦信号在反馈环路的传递过程，看看信号的幅值是被放大还是被衰减，由此找出反馈系统发生自持振荡的条件，以寻求判断系统的稳定性的准则，并找到改善系统稳定性的途径。,比较前面学过的判定系统稳定的方法 直接求闭环特征方程的根。低阶适用，高阶麻

2、烦。 Routh-Hurwitz判据，根据闭环特征多项式的系数判定闭环特征方程的根是否都在s左半平面。比第一种方法简单，高阶时计算量也不小。 根轨迹法，图解法，比前两种分析法直观，高阶时作图过程也麻烦。 环路分析法，直接通过实验，观察系统频率响应结果就可判断。既不用算也不用画，比前三种方法更简单，更适合工程应用。,设负反馈系统如下图所示 令输入信号r=0，并断开环路，如下图所示,L(s)=C(s)P(s),假定开环传递函数没有s右半平面极点，即开环系统是稳定的。 实验时，在A点注入频率为0的正弦信号，稳态时在B点可以获得频率为0的正弦信号。 实验结果有以下三种可能的情况： 第一种，等幅振荡的情

3、况。若从系统A点到B点的开环频率特性 L(i0)= -1， 即 |L(i0)|= 1 ， L(i0)= -180,则B点输出信号与A点注入信号的幅值和相位完全相等。,把A点与B点相接后，等幅振荡将得以继续维持。 因为相角交越频率满足 所以，此时的0一定满足 0=180 可见等幅振荡条件为 把L=-1的点称为临界点。,第二种，稳定的情况。若开环频率特性的模 |L(i180)| 1 传输信号的幅值将被放大，系统是不稳定的，这相应于开环频率特性曲线在临界点L = 1的左侧穿越负实轴。,命题1：对于开环稳定的系统，若开环频率特性的模|L(i180)| 1，则闭环系统是不稳定的。,例 当K=1、8、9时

4、，考虑开环传函为 的闭环系统稳定性问题。 解： K=1 令虚部为0，求得,而 所以闭环系统稳定。 K=8 L(i180)=-1 闭环系统为临界稳定。,K=9 |L(i180)|=1.1251 闭环系统不稳定。,用Routh判椐验证 （1）写出闭环特征方程,（2）列出Routh表 易知：K=1时，系统稳定； K=8时，系统临界稳定； K=9时，系统不稳定；,4.3.2 相对稳定性与稳定裕度 绝对稳定性：控制系统是否稳定。 相对稳定性：一个稳定系统的稳定程度。 相对稳定性与系统的动态性能指标有着密切的关系。 一个控制系统应具有一定的稳定程度，才能不致因系统参数变化而导致系统性能变差甚至不稳定。,如

5、何衡量系统的稳定程度？ 从4.3.1的讨论可知，对于开环稳定的系统，开环频率特性曲线L(i) 如果正好通过临界点时，则闭环系统处于临界稳定状态；如果没越过临界点，则闭环系统是稳定的。 因此，直观地，可用开环频率特性曲线对临界点L = 1的接近程度来表示系统的相对稳定性。 这种接近程度可同时使用增益裕度和相角裕度来衡量。 （注意，这种衡量方法不是很科学，只能说对一些系统是可用的。）,增益裕度和相角裕度是系统开环频率指标，它与闭环系统的动态性能密切相关。 增益裕度：定义为相角交越频率180处的开环频率特性的模值的倒数，即,增益裕度的物理意义：在相角交越频率180处，若开环系统的增益再增大gm倍，则

6、闭环系统处于临界稳定状态。,增益裕度不能太小，一般取 相角裕度：定义为 c为增益交越频率，它是系统开环频率特性的幅值等于1的最低频率，即,注意与相角交越频率180的差别,相角裕度的物理意义：在交越频率c处，若开环系统相角再滞后一个 角度，则闭环系统处于临界稳定状态。,相角裕度不能太小，一般取 增益裕度和相角裕度不能很好衡量系统相对稳定性的例子。 对于存在谐振环节的系统，使用gm和 可能会发生误判现象。例如，某一机电控制系统，其开环传递函数为,频率特性曲线为,增益裕度： 相角裕度： 这些裕度都很大，但从频率特性曲线图可知，只要系统参数发生较小的变化，很容易使系统进入不稳定工作状态。 问题：应该如

7、何衡量系统相对稳定性才比较可靠？,从这个例子可以得到如下的启发：从开环频率特性曲线上找出离临界点最近的点，利用这两点之间的距离信息来衡量系统的相对稳定性。 由此导出了模裕度。,设L(i) 上有一个S点，则由矢量代数知，S点到临界点C的距离为,用sm表示开环频率特性曲线到临界点的最短距离，则,又系统的灵敏度函数为 所以 Ms为最大灵敏度； sm表示模裕度。,灵敏度S的H无穷范数,灵敏度S最大时对应的频率,模裕度的物理意义：若开环频率特性与临界点的距离再减小sm，则系统处于临界稳定状态。 为保证系统具有一定的相对稳定性，模裕度不能太小，一般取 sm0.5。 模裕度sm可通过几何作图求得。 方法：以临界点L= -1为圆心，与开环频率特性曲线相切的圆的半径即为sm,模裕度sm与增益裕度gm、相角裕度 的关系 由前图有,OAC为等腰三角形， 作OBAC， OB平分 ，等分AC，所以 由图知sm AC，所以得,综合得 利用这两个关系式可以由模裕度sm确定相角裕度和增益裕度的下限。,特别提醒！ 环路分析方法和稳定裕度都是采用开环频率特性分析闭环系统的稳定性。 开环稳定的系统（开环传函无RHP极点）