《名师伴你行》人教A版数学必修五第二章学案3+等差数列的前n项和.ppt

1、开始,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,学点六,1.等差数列的前n项和公式为 或 . 2.等差数列前n项和公式的推导方法:设Sn=a1+a2+ +an，倒序得Sn=an+an-1+a2+a1，相加得2Sn=(a1+an) +(a2+an-1)+(an+a1),由等差数列性质得 .这一方法通常称为 .,倒序相加法,学点一 等差数列前n项和公式的应用,等差数列-10,-6,-2,2,前多少项的和是54?,【分析】本题相当于已知a1,d,Sn求n,由Sn=54及 列出关于n的方程,求这个方程的正整数解.,【解析】设等差数列为an，前n项和是Sn，则a1= -10,d=-6-(-10)=4,Sn

2、=54.根据等差数列前n项和公式得,【评析】如果以上关于n的方程无正整数解，说明等差数列前n项和不可能是指定的数.,整理得n2-6n-27=0解得n=9或-3(舍去）. 因此等差数列-10,-6,-2,2,前9项的和是54.,已知an是等差数列，公差为d，前n项和为Sn. （1）已知a1=1,d=-2,n=5，求an及Sn； （2）已知d=3,n=31,Sn=0，求a1及an； （3）已知d=-4,an=-80,Sn=-840，求a1及n.,解:（1）an=a1+(n-1)d=1+4(-2)=-7， 或 . （2） ， ， a1=-45，,学点二灵活运用等差数列前n项和公式,等差数列an的前n

3、项和为Sn，若S12=84，S20=460，求S28.,【分析】（1） 应用基本量法列出关于a1和d的方程组，解出a1和d，进而求得S28. （2）因为数列不是常数列，因此Sn是关于n的一元二次函数且常数项为零，设Sn=an2+bn,代入条件S12=84，S20= 460可得a,b，则可求得S28. （3）因为S12,S20,S28均是关于a1和d的二元一次式，若存在常数A,B使S28=A S12+B S20，则可求得S28. （4）由 得,故 是一个等差数列. 又220=12+28, ，可求得S28.,解法四：an是等差数列， , , 是等差数列， 12,20,28成等差数列， 成等差数列.

4、 ， 即 . 解得S28=1 092.,【评析】本题做法较多，从不同的角度去分析，得出不同的解法，注意总结.本题可以归纳为一般形式，例如：在等差数列an中，若Sm=n,Sn=m (mn),求证：Sm+n=-(m+n).,等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项的和为 （ ） A.130 B.170 C.210 D.260,C,解：,学点三等差数列的前n项和的最值,设等差数列an的前n项和为Sn，已知a3=12,且S120,S130. （1）求公差d的范围； （2）问前几项的和最大？并说明理由.,【分析】解决此类问题有两条思路：一是利用前n项和公式，可以用配方法求最值，也

5、可以用顶点坐标求最值；二是依据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，当d0时，一定为递增数列，当d0且d0时，无穷等差数列的前n项和才有最小值，其最小值是将所有非正项求和.,由(1)知： , , , . nN*， n=6,即a60,a70, 数列an的前6项的和最大.,【评析】本题给出了有关数列中最值问题的三种解答思路，揭示了数列、函数、不等式知识之间的联系.,等差数列an中，a10,S9=S12，该数列前多少项和最小？,解：解法一：设等差数列an的公差为d,则由题意得,学点四an与Sn之间的关系,已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn-1=0(n2)，

6、a1= . （1）求证: 是等差数列； （2）求an的表达式.,【分析】先把an用Sn-Sn-1代换，证明 是等差数列，再用 ，求an.,【解析】（1）证明：当n2时，an=Sn-Sn-1，又an+ 2SnSn-1=0, Sn-Sn-1+2SnSn-1=0. 整理为 =2(n2), 是公差为2的等差数列. （2）由（1）知 =2, =2， =2n, 即Sn= ,当n2时， an=Sn-Sn-1= . 又a1= 不适合 ,【评析】本题还是围绕Sn与an之间的关系展开的，在用an=Sn-Sn-1时要注意条件n2.由Sn求an时，不能忘记求a1=S1.,已知数列an的前n项和为Sn，求an的通项公式

7、. （1）Sn=2n2-3n+k; （2）Sn=3n+b.,解：（1）当n=1时，a1=S1=-1+k. 当n2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n+k-2(n-1)2+3(n-1)-k=4n-5, 当k=0时，a1=-1适合an=4n-5, an=4n-5. 当k0时，a1=-1+k不适合an=4n-5,（2）当n=1时，a1=S1=3+b, 当n2时，an=Sn-Sn-1=3n+b-3n-1-b=23n-1. 当b=-1时，a1=3-1=2，适合an=23n-1, an=23n-1. 当b-1时，a1=3+b不适合an=23n-1.,学点五前n项和公式的实际应用,【分析】由于“每一圈比前

8、一圈多9块”，因此每一圈的石板块数便组成了等差数列，而前9圈石块总数，便是该数列的前9项的和.,【解析】（1）设从第1圈到第9圈石板数所成数列为an，由题意可知an是等差数列，其中a1=9，d=9，n=9. 由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a9=a1+(9-1)d=9+ (9-1)9=81(块). （2）由等差数列前n项和公式，得前9圈一共有石板 (块). 答：第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板.,【评析】第9圈的石块数与前9圈石块数容易搞混，注意一个是a9，一个为S9.,m=26 000,y=200. =-200n2-600n+26 000. 令0，得n2+3n-1300, 解

9、得-13n10, =0. 故到2004年年底可将所有沙漠改造完.,学点六裂项求和法,首项为3，公差为2的等差数列，Sk为其前k项之和，则S= = .,【分析】先求通项S，再拆分为两项之差.,【解析】本例可用裂项求和法解决.,【评析】,已知正数数列an的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足 . （1）求通项an; （2）设 ，求数列bn的前n项和Bn.,解：（1）对任意正整数n,有 =an+1 恒成立, 当n=1时， =a1+1, 即 =0,a1=1; 当n2时，有 =an-1+1. 由2-2得,1.等差数列的前n项和公式是怎样推导的？,等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半，即

10、，将通项an=a1+(n-1)d代入便得公式 .等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，这是数列求和的一种重要方法，其求解思路来源于对等差数列的第k项与倒数第k项的和都等于首项a1和末项an的和这一性质的认识和发现.,2.前n项和公式的函数意义是怎样的？,将公式 变形整理得 .故当d0时，Sn是关于n的一个二次函数，它的图像是抛物线 上横坐标为正整数的一群孤立的点. 是关于n的一次函数(d 0)或常数函数(d=0)，即数列 是以 为公差的等差数列.可证数列an是等差数列等价于Sn=an2+bn(a,b是常数，nN*).,.等差数列常见的性质有哪些？,（1）an=am+(n-m)d(m,nN*

11、),mn时， ； （2）若m+n=p+q(m,n,p,qN*)，则am+an=ap+aq； （3）等差数列的单调性只与公差d有关：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d=0时，an是常数列，常数列必是等差数列； （4）若an是有穷等差数列，则与首末两项“等距离”的两项之和都相等，都等于首末两项之和； （5）等差数列的前n项和 (n,kN*); （6）数列an+b(,b为常数)是公差为d的等差数列；,（7）数列an和bn是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列1an+2bn(1，2为常数)是公差为1d1+2d2的等差数列； （8）下角标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m, (k,mN*)组成公差为md的等差数列； （9）若an共有2n项，则S2n=n(an+an+1),并且S偶-S奇=nd,S偶 :S奇=an+1 :an;若数列an共有（2n+1）项，则S2n+1=(2n+1)an+1，并且S偶-S奇=-an+1,S偶 :S奇=n :(n+1); （S偶，S奇分别表示数列的所有偶数项的和与所有奇数项的和） （10）设Sn是等差数列an的前n项和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，构成公差为n2d的等差数列；,1