第2-2隐函数、对取数和参数方程求导法则.ppt

1、,第二节,函数的求导法则（之二）,一、隐函数的导数,二、取对数求导法,三、由参数方程确定的函数的导数,四、高阶导数,显函数: 因变量是由其自变量的表达式表达出来.,一、隐函数的求导法则,例如:,故y是 x 的函数 .,但是有些函数，它们自变量与因变量的对应法则是由一个方程所确定.,定义. 如果y与 x 的函数关系是由方程F (x, y)=0给出，,则称y是x的隐函数 （implicit function ）.,例如：,问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?,令y=y (x), 将方程F(x, y)=0两边对x求导，,隐函数求导方法:,两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ),(含导数

2、 的方程),定义：,如果y与是 x 的函数关系是由方程F (x, y)=0,则称y是x的隐函数 （implicit function ）.,隐函数求导法则:,给出，,解出,例1.,解：,解得,例2. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,例3. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,例4. 求,解: 方程两边对 x 求导,得,1. 求幂指型函数,的导数,二、取对数求导法,求导方法：,两边对x求导,两边取对数,解方程,例5. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐函

3、数,两边对 x 求导,例6. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐函数,两边对 x 求导,2.由若干个函数的积、商及方根组成的函数，也可以用取对数求导法求导,两边对 x 求导,对方程两边取对数,例7. 求,的导数.,解：,三、由参数方程确定的函数的求导法,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数关系,可导,则,例8.求曲线,所确定的函数的导数,解：,解：当,例9.求椭圆,处的切线方程.,椭圆上对应点M0的坐标为,处的切线方程：,故椭圆,化简得,四、高阶导数,问题:变速直线运动的加速度.,1. 定义,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的

4、导数称为三阶导数,2. 高阶导数求法举例,例1 设,解:,求,特别地,解,即,例2,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),注:,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,解:,同理可得,例3.,类似可证:,例4. 设方程,解：,两边分别对x求导，有,解得,解：,确定的,函数的二阶导数,例5.求由摆线的参数方程,例6.,解:,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,4. 高阶导数,作业,练习题2.2(P40): 3 , 4, 6,复习题2(P57): 4(2),(3) 5, 6,思考与练习,1. 求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解: 化为参数方程,当,时对应点,斜率, 切线方程为,2. 设,求,提示: 分别用对数微分法求,答案:, 求,解：方程组两边同时