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文档简介

1、1,2 齐次线性方程组,一、齐次线性方程组解的性质,二、齐次线性方程组的非零解,2,AX = 0 ,註:,记, 则,齐次线性方程组,一、齐次线性方程组解的性质,3,X =是 的解.,称为的解向量.,(2).,(3). 用S表示方程组的全体解向量所组成的集合, 则S非空. (总含有零解).,性质：,1. 可加性:,4,2. 齐次性:,证明:,= 0 + 0 = 0.,=0.,证毕.,註: (1). 齐次线性方程组的解集合是向量空间,称为解空间.,5,6,二、齐次线性方程组的非零解,7,则,亦,且方程组与方程组同解.,的右边的未知数是自由未知数,8,代入, 得,9,.,10,定义:设,1.,2.,

2、则称,且满足:,下面证明上页中的,为,的一个基础解系,11,其次,设,为,的任一个解,12,构造向量,则,13,其中,14,所以,当等号右边的自由未知数赋值时,方程组有唯一解.,因而,则,15,所以,即,方程组的任一解,可由,线性表示.,综上,为,方程组的,一个基础解系.,16,最大无关组,向量组.,基,向量空间.,基础解系,解空间.,基所含向量的个数 = 自由未知数的个数.,若R(A) = r =未知数的个数 n, 则方程组只有零解.,结论:,R(A) = r n,方程组有(无穷 多组)非零解.,未知数个数,17,定理:齐次线性方程组,如果它的系数矩阵的秩,R(A)=n,那么它只有零解,没有基础解系,如果R(A)n,那么它有无穷多解,存在基础解系,且它的基础解系所含的解向量的个数为n-r个(其中=R(A).,定理:,有非零解,证明:,因而方程组有无穷多解,则有非零解.,18,例. 求解方程组,解法一:,而包含D 的三阶子式全为零.,取同解方程组,19,20,21,解法二:,22,23,取同解方程组为:,2

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