概率论课件第十九次课.ppt

1、复习：,1、如何用矩估计法来估计未知参数的值？,设总体X的概率密度为：,试求1） 的矩估计,解：,则,为 的矩估计值。,2、如何用极大似然估计法来估计未知参数的值？,求：2） 的极大似然估计,解：,设X1, X2, , Xn为来自总体的一个样本,则似然函数为：,又,0,设T为电子元件失效时间（单位：小时），,其概率密度为,假定n个元件独立地试验并已求得其失效时间分别,为,1）当t0已知时，求的极大似然估计；,2）当 已知时，求t0 的极大似然估计。,解：,而,1）当t0已知时，,为的极大似然估计。,2）当已知时，,由似然函数不能求出 来，,是一个单减函数,则 越小，,就越大，,即 越大，,就越

2、大，,取,为t0的极大似然估计。,第七章 参数估计,第二节 点估计的评选标准,常用的几条标准是：,1无偏性,2有效性,3一致性,1. 无偏估计:,例1、设总体X的均值 和方差 都存在，但均未知,证明： 和 分别是参数 的无偏估计量。,又,例2、设总体X的均值,求证：二阶中心矩,解：,是 的有偏估计,（即不是无偏估计）,所以二阶中心矩,不是 的无偏估计,注意：同一未知参数可以有不同的估计量，而且,还可以有不同的无偏估计量。,例3、设总体X服从参数为,的指数分布，概率密度,为,参数 为未知，,是来自X的样本,求证：,与 都是 的无偏估计。,证明：,又,2. 有效性：,例4、设总体X的均值 有两个无

3、偏估计量：,例5、设总体X的均值 有两个无偏估计量：,和,其中,求证：,较 有效。,证明：,由许瓦兹不等式,可得：,即,于是,较 有效。,所以,3. 一致性：,设 为总体X的未知参数,的估计量，,若 依概率收敛于 ，,即对任意给定的,正数,有,又称相合估计量。,如：,是来自正态总体 的样本，,由大数定理及一致性定义知,是 的一致性估计；,是 的一致性估计；,也是 的一致性估计；,上面介绍了估计量评价的三条标准，,一般来说,很难全部满足。,如一致性要求样本容量大，实际上,很难办得到。,无偏性直观上比较合理，但不一定,每个参数都有无偏估计量。,有效性在直观上和理,论上都比较合理，因此使用较多。,在

4、实际使用中要根据具体情况来决定选取,估计量。,第七章 参数估计,第三节 区间估计,一、 置信区间:,满足,若由样本X1, X2, , Xn确定的两个统计量,分别称为置信下限和置信上限.,一旦有了样本，就把 估计在区间 内.,对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只,依赖于样本的界限(构造统计量),估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度,或能体现该要求的其它准则.,概率 要尽可能大.,即要求,可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可,就是说，,估计尽量可靠.,尽可能短，,靠度的条件下 尽可能提高精度.,则UN(0, 1).,2. 置信区间的求法,解：,查正态分布表得,.,对于给定的置信度( 大概

5、率), 根据U的分布，,故所求 的 置信区间为：,从中解得,确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为置信度.,当置信区间为：,时,区间的长度为：, 达到最短,如取 = 0.05,求置信区间的一般步骤如下:,1. 明确问题：,置信水平 是多少?,是求什么参数的置信区间?,二、单个正态总体的均值与方差的区间估计,，,事实上，因方差未知，取,对给定的置信度 ,使,即,确定分位数,从中解得,的尿素重量的均值,由样本值得,每包尿素重,事实上，取,对给定的置信度 , 确定分位数,使,从中解得,若零件长度,测量其长度，得,取,需要指出的是, 给定样本, 给定置信度, 置信区间,对同一个参数，我们可以构造许

6、多置信区间.,不是唯一的.,例如：,的置信区间,由标准正态分布表,对任意a、b, 我们可以求得,P( aUb) 1.,由 P(-1.75U2.33) = 0.95,这个区间比前面一个要长一些.,例5、某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观,察了30天,其总金额的平均值是170元，标准差为30,元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计,（置信水平为0.95）.,解：,且 未知，,由,则所求的置信区间为：,即,解：,设每天职工的总医疗费为X，则,大样本，由中心极限定理，,未知，用样本标准差S近似代替.,近似服从正态分布,使,故均值 的置信水平为 的区间估计为,对给定的置信水平 ,取,近似N(0,1)分布,确定分位数,的置信度为0.95的置信区间为：,(159.27, 180.7