指南第三章 连续型随机变量及其分布

1、第三章 连续型随机变量及其分布一内容提要 （一）一维连续型随机变量及其概率分布 1随机变量的分布函数 对任意实数，称为随机变量的分布函数。 分布函数具有下述性质：（1）单调非减；（2）且，；（3）右连续。 设随机变量的分布函数为，则有2 一维连续型随机变量和密度函数 （1）概率密度函数设随机变量的分布函数为，若存在非负函数，使得对任意实数，有，则称为连续型随机变量，称为的概率密度函数，简称密度函数。 密度函数具有下述性质： ； ； ； 在的连续点上有 对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值的概率为0，即由此，在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不区分是开区间还是闭区间或半开半闭区

2、间了。 （2）常见的连续型分布 均匀分布 指数分布 为常数 分布其中为伽马函数，为常数。当时就是参数为的指数分布；当（n为整数），时，就是自由度为n的分布。 正态分布，其中，为常数；当=0，=1时，称为标准正态分布，记为，密度函数和分布函数分别用，表示。， ，易知 ， 设 ，则有 设，若满足条件，则称点为标准正态分布的上分位点。 （二）二维连续型随机变量及其概率分布 1二维随机变量的联合分布及边缘分布对任意两个实数，称为的联合分布函数，它具有下述性质： （1）是变量和的不减函数；（2），且，； （3）对或都是右连续的； （4）对于任意，均有称 为关于随机变量的边缘分布函数； 为关于随机变量的边

3、缘分布函数。2 二维连续型随机变量及其联合密度函数 （1）的密度函数 若的分布函数，其中是非负函数，则称为二维连续型随机变量，称为的密度函数。 （2）二维密度函数的性质 ； ； ； 在连续点处有 （3）二维均匀分布和二维正态分布 若为平面上的有界区域，其面积为，若的密度函数为则称服从区域上的二维均匀分布。 若的密度函数为 ，其中，则称服从二维正态分布，记为.3 边缘密度函数 设的密度函数为，则关于的边缘密度函数为：，同理有.若，则有，.4 条件密度函数 设的密度函数为，对于给定的，则称为在条件下，关于的条件密度函数；称为在条件下，关于的条件密度函数。类似地可以定义和。若，则有；同理可得 由上可

4、见，二维正态分布的边缘分布与条件分布仍为正态分布。5 随机变量的独立性若随机变量对任意实数有，即 ，则称这n个随机变量相互独立。 对连续型，等价条件为对一切的的连续点成立。 若，则与相互独立当且仅当.若相互独立，且，则，其中，为常数，且. （三）连续型随机变量函数的密度函数 1一维连续型随机变量函数的密度函数设随机变量的密度函数为，又设函数处处可导且恒有，则是连续型随机变量，其密度函数为：. 若不满足上述条件时，一般采用分布函数法：先求，然后求.2 二维连续型随机变量函数的密度函数设，而的密度函数为，则有.（1） 和的分布设，则的密度函数为；当相互独立时， ；或 （2） 商的分布 设，则的密度

5、函数为；当相互独立时，（3）最大值和最小值的分布 设相互独立，的分布函数为，令，则，； 若又是同分布的，即，则，二典型例题分析 例3.1设分别为与的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，下列给定的数值中应取 （） ， （） ， （） ， （） ， 解 分布函数的性质中有一条是，而，在4个选择中只有（）满足，故此题选（） 例3.2假设随机变量的绝对值不大于1，；在事件发生的条件下，在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求的分布函数。 解 因为 ，又，,所以 , 当时，； 当时，;当时，由题意知 从而 注意：此例中的随机变量既不是离散型的，也不是连续型的，一般称其为混合型。 例

6、3.3设随机变量的分布函数为则 ， 。 解 由于是右连续的，于是有，从而可得；而 例3.4若，且，求 解 本题考查正态分布的有关性质根据正态分布的密度函数关于均值的对称性，有 例3.5若随机变量在区间（1，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率。 解 求解本题的关键是把一元二次方程有实根的问题，通过判别式转化为随机变量在某个范围内取值的问题，进而求出相应的概率。 方程有实根，当且仅当判别式，又的密度函数为所以 例3.6设随机变量与均服从正态分布，记，则（ ） （）对任何实数，都有 （）对任何实数，都有 （）只对的个别值，才有 （）对任何实数，都有 解 因为 ,故对任何实数，应选（）.例3.7若

7、，则随的增大，概率 （）单调增大 （）单调减小 （）保持不变 （）增减不定 解 因为 为常数，故应选（）. 例3.8已知的密度函数为求的分布函数. 解 注意到密度函数是分段表示的，分布函数也要分段表示。 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， .所以有 例3.9设平面区域由曲线及直线所围成，二维随机变量在区域上服从均匀分布，求关于的边缘概率密度在处的值。 解 区域的面积 ，故的密度函数为所以 例3.10设某仪器由两个部件构成，以和分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知和的联合分布函数为 （1）问和是否独立？ （2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率。 解法一（1）和的分布函数分别

8、为，由于，故和独立。 （2）， 解法二（1）以，和分别代表，和的概率密度，有由于，故和相互独立。 （2） 例3.11设二维随机变量的密度函数为试求：（1）和的边缘概率密度； （2）条件密度函数，并问与是否独立？为什么？ （3）， 解（1） ，； （2）当时， 又由于当时，即，所以与不独立。 （3） ； 例3.12设随机变量的密度函数为求随机变量的密度函数。 解法一 先求的分布函数，然后求导即得，因为，所以 当时， 当时，故 解法二 由，可得，所以 例3.13假设随机变量服从参数为2的指数分布，证明：在区间(0, 1)上服从均匀分布。 证 的分布函数由于，有，易得 当时， 当时， 当时， 总之有

9、所以在区间（0 ，1）上服从均匀分布。 例3.14设随机变量，相互独立，其密度函数分别为和求随机变量的密度函数。 解 先求分布函数，然后再求导得密度函数。由于与独立，所以有所以 , （1），, （2）, , （3），,从而 例3.15设随机变量与相互独立，服从正态分布，服从上的均匀分布，求的密度函数（计算结果用标准正态分布函数表示，其中）。 解 的密度函数为又与相互独立，所以的密度函数为： 例3.16设相互独立，且都服从区间上的均匀分布（为常数），试证明：与的分布相同。 证 记 , ,易见 ，, 当时 ,故 当时, ,故 从而与同分布。三 单元练习题1设随机变量的分布律为 1 求的分布函数，并

10、求， 2设随机变量的密度函数为求 （1）常数； （2）的分布函数； （3）概率 3设随机变量的分布函数为 （1）求，； （2）求概率密度 4在内任取一点，到的距离为，求的分布函数。 5某种电池的寿命（以小时计）服从正态分布，其中， （1）试求电池寿命在250小时以上的概率； （2）求，使寿命在与之间的概率不小于0.9 。 6设的密度函数为试求（1）常数； （2）的分布函数； （3）； （4） 7设二维随机变量的概率密度为 （1）试确定常数； （2）求边缘概率密度，； （3）求条件密度函数，； （4）求， 8设的密度函数为，其中 ，求边缘密度函数。 9设X的密度函数为问和是否相互独立？为什么？ 10设，求的概率密度。 11设在区间上服从均匀分布，求的概率密度。 12设的密度函数为求的密度函数。 13设和是两个相互独立的随机变量，它们都服从正态分布，试求的概率密度函数。 14设，是相互独立的随机变量，都在区间上服从均匀分布，求的概率密度函数。 15设相互独立，都服从指数分布，参数分别为