线性代数吴赣昌第一章.ppt

1、办公室：F613,第一章 行列式,第一节 全排列及其逆序数,举例： 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？,六种：123 132 213 231 312 321,定义1： 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的一个全排列（简称排列）。,个不同元素的所有排列的种数通常用 表示,定义2: 对于 个不同的元素,先规定各元素之间有 一个标准次序,这 个元素的任一排列中,当 某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就 说有一个逆序,一个排列中所有逆序的总数叫 做这个排列的逆序数，排列 的逆 序数记为 。,逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的 排列为偶排列。,举例： 求排列3

2、2514的逆序数。,定理1: 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变 奇偶性。,推论： 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。,1、 二阶行列式的定义,第二节 阶行列式的定义,一、 行列式的定义,2、三阶行列式的定义,3、 阶行列式的定义,定义1： 设有 个数，排成 行 列的数表 令 为数 的所有排列所组成的集合， 称代数和 为阶行 列式。,记作 ，简记为 ，称 为行列式 的元素。,定理1： 阶行列式也可定义为 其中的 是由数 的所有排列所 组成的集合。,1、对角行列式,由行列式的定义可以证明对角行列式,二、特殊行列式,2、三角形行列式,称 为下三角形行列式

3、， 为上三角形行列式。,对于下三角形行列式，有,第三节 行列式的性质,对一般的高阶行列式采用定义来进行计算，是很 复杂的，如何计算高阶行列式呢？,记 ， 称行列式 为行列式 的转置行列式，记作 。,性质1： 行列式与它的转置行列式相等。,由此可知,性质2： 互换行列式的两行（列），行列式变号。,推论1： 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式等于零。,性质3： 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘 以同一个数 ，等于用数 乘此行列式。,推论2：行列式中某一行（列）的所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面。,推论3： 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式等于零。,性质4：,

4、性质5： 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一个数后加到另一列（行）对应的元 素上去，行列式不变。,（注：这是一个很重要的性质，我们经常利用这条性 质将一般的行列式变换成三角形行列式来进行行列式 的计算）,例1： 计算,例2：计算,例3： 设 ， ， ，证明： 。,例如计算,第四节 行列式的按行（列）展开,除了采用行列式的性质外，还有其它方法能计算 高阶行列式吗？,定义1：在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，所得到的 阶 行列式叫做元素 的余子式，记作 ， 称 为元素 的代数余子式，记 作 。,引理： 一个 阶行列式，如果其中第 行所有 元素除 外都为零，则这个行列式等于

5、与它的代数余子式的乘积。,定理1： 行列式等于它的任一行（列）的各个元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即： 或,这个定理叫做行列式按行（列）展开法则，利用 这个法则可将高阶行列式降为低阶行列式来进行 行列式的计算。,定理2： 行列式某一行（列）的元素与另一行 （列）的对应元素的代数余子式乘积之 和等于零，即 或,例1：利用按行（列）展开法则计算,例2： 计算行列式,例4： 计算,例4： 计算,例5： 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式,第五节 克拉默法则,行列式有何作用呢？,对于方程组 的解为,这个定理被称为克拉默法则，这个定理也可叙述为： 如果线性方程组（1）的系数行列式 ，则 （1）一定有解，且解是唯一的。,它的逆否定理为： 如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则 它的系数行列式 。,例1： 解线性方程组,当线性方程组（1）中的 不全为零时， 称方程组(1)为非齐次线性方程组，当 全为零时，称方程组（1）为齐次线性方程组。,除了零解外，齐次方程组（2）在什么条件下还有 其它解呢？,定理2：如果齐次线性方程组（2）的系数行列式 ，则（2）没有非零解。,它的逆否定理为： 如果齐次线性方程组（2）有非零解，则（2） 的系数行列式 。,