离散数学4.6-4.7函数.ppt

1、4.6 函数的定义和性质,高等数学课程中详细研究了函数的概念和性质，但这些函数概念一般不好直接应用地计算机科学。如数据结构，开关理论，自动机等。计算机科学要求推广以往的函数概念。,函数：设F为二元关系，,如 dom(F)=x1,x2,x3 F1 = , , 是函数,F2 = , , , 不是函数 F3 = , 不是函数,若对任意的xdomF都存在唯一的yranF，使得xFy成立，则F为函数，y是F在x的函数值。,从A到B的函数：设A、B是集合，,如果函数f 满足以下条件,(1) domf = A,(2) ranf B,则称 f 是从A到B的函数，记作：f：AB,A中不可剩,B中可剩,没有一对多

2、,可以多对一,例4.6.1：设A=a,b，B=1,2,3,求所以A到B的函数,f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,f8=,f9=,若|A|=m, |B|=n，则从A到B的函数有nm 个 函数的元素有m 个,例：A=1,2,3,4 ,B=a,b,c,F为从A到B的函数，则 |F|=4 , F有34 种可能。,B上A：把所有从A到B的函数构成的集合称为“B上A” ，记作BA。 若|A|=n,|B|=m,则：|BA |=mn。,像,原像,像集：若F为A到B的函数，F, 则：y是x的像,x是y的原像； 若集合C dom(F),则C的像集为y| x, x C, F。,例如：F=,1是

3、a的原像 b是2的像 1,2的像集是a,b 1,2,3的像集是a,b,c,设函数 f：AB,若ranf = B，则说f 具有满射性；(B不可剩）,(2) 若对于任何x1, x2A，x1x2都有 f (x1)f (x2)，则说f具有单射性；(没有多对一),(3) 若f 既具有满射性，又具有单射性，则说f 具有双射性。(一一对应),函数的性质,（|A|B|）,(|A|B|),(|A|=|B|),不同类型的对应关系的示例,单射,不是函数,双射,函数,满射,计算：,若|A|=n, |B|=m （1）若m=n, 则从A到B的双射有m! 个； （2）若nm, 则从A到B的单射有 个。,例4.6.2 判断下

4、面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么? (1) f：RR, f(x) = x2+2x1 (2) f：Z+R, f(x) = lnx, Z+为正整数集 (3) f：RZ, f(x) = x (4) f：RR, f(x) = 2x+1 (5) f：R+R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集. (6) f： RR, f(x)=1/x,练习：,解 : (1) f：RR, f(x)=x2+2x1 在x=1取得极大值0. 既不单射也不满射. (2) f：Z+R, f(x)=lnx 单调上升, 是单射. 但不满射, ranf=ln1, ln2, . (3) f：RZ, f(x)=

5、x 满射, 但不单射, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1. (4) f：RR, f(x)=2x+1 双射, 因为它是单调的并且ranf=R. (5) f：R+R+, f(x)=(x2+1)/x 有极小值f(1)=2. 该函数既不单射也不满射. (6) f: RR, f(x)=1/x 不是函数，x 0 课后例题：4.34；课后习题：4.7，4.8，4.17,常用的函数,(1) 常函数：设f:AB, 若cB, xA, 都有: f(x) = c,(2) 恒等函数：xA, 都有: f(x) = x,(3) 单调函数：设和为偏序集, f: AB x1, x2A, 若x1 f(x2), 则称f为严格单

6、调递减的,特征函数：设A为集合，,XA (a) =,1 aA,0 aAA,如A = a,b,c，A = a，则,XA(a) = 1，XA(b) = XA(c) = 0,对于任意的AA，A的特征函数XA：A0，1 定义为：,自然映射：设R是A上的等价关系，,如：A = 1,2,3,9，R = | x y(mod 3),则有 g(1) = g(4) =g(7)= 1,4,7; g(2) = g(5) =g(8)= 2,5,8; g(3) = g(6) =g(9)= 3,6,9.,称g为从A到A/R的自然映射。,定义一个从A到A/R的函数g：AA/R 且 g(a) = a，它把A中的元素a映到a的等

7、价类a,（A上不同元素的等价类）,课后作业：4.10,4.7 函数的复合和反函数,由定义可知：只有当 f ：AB是双射函数时，它才有逆函数.,函数的逆：关系 f 是从A到B的一个函数，如果 f 的逆关系f 1也是一个函数(B到A的)，这个函数称之为f 的逆函数，记作f 1 ：B A。,函数的合成：设f： AB 和 g： BC都是函数，则合成关系,g f = | aAcCb (b Bf g),称为f与g的合成函数： g f：AC,公式：FG=FG(x),例5.2.1 设函数f：RR, f (x) = 2x+1,g(x)=x/2-1.求f 1 , f g, f 2 , g f以及g 2 。,解： f 1=(f(x)-1)/2=(x-1)/2 f g= f(g(x)=2(x/2-1)+1=x-1 f 2 = f f = f(f(x)=2(2x+1)+1=4x+3 g f =g(f(x)=(2x+1)/2-1=x-1/2 g2 = g g=g(g(x)=(x/2-1)/2-1=x/4-3/2,例题：4.21 课后习题：4.19,合成运算的性质,(1) 若f : BC, g: AB都是满射，则f g也是满射；,(2) 若f : BC, g: AB都是单射，则f g也是单射；,(3) 若f : BC, g: AB都是双射，则f g也是双射；,小结与学习要求,掌握单射，满射，双射等的含义；