肿瘤诊断问题_五组

1、肿瘤诊断判定问题摘要本文是关于肿瘤诊断的判定问题。通过对题目所给数据的收集整理，我们建立了fisher模型对问题分别进行求解。对于问题一：首先根据题目所给数据通过fisher模型，初步建立函数，得到的线性函数。通过对数据结果的分析，我们发现误判组的特殊性，于是决定加大正确组数的权重对函数进行修正，得到准确性提高后的修正表达式。考虑到题目所给数据的局限性，决定扩大样本的数据量，通过仿真近四万组数据，使判别表达式更具代表性，而且准确率也进一步的提高。三次修正表达式分别见式（4.1）（4.2）（4.3），准确率分别为：93.75%，96.25%，98.7%。 对于问题二：我们将所需判断数据代入问题一

2、中最后表达式，知恶性肿瘤的患者有9组，良性肿瘤患者有11组。详细情况见（表5.2） 对于问题三：我们通过逐步回归的思想对九个指标一一进行剔除，每次剔除一个指标都用带有权重的数据来确立精简函数表达式。然后进行显著性检验，当剔除到函数出现明显的误判时剔除终止。经过五轮的逐步剔除，我们得到了减少检测指标后的函数表达式，此时我们需要检测的指标分别为指标一乳腺肿瘤肿块的厚度、指标五单层上皮细胞的大小、指标六裸核、指标八正常的核仁。表达式为见式（5.1），其达到的准确率为96.25%。关键词：Fisher 权重 计算机仿真 代表性 逐步回归1.问题重述全世界每年约有120万妇女患乳腺癌，50万人死于乳腺癌

3、，乳腺癌已经成为全球女性发病率最高的恶性肿瘤。下面是某医院乳腺肿瘤患者的一组数据（见附录数据表），其中前面9个指标分别表示乳腺肿瘤肿块的厚度、细胞大小的均匀性、 细胞形状的均匀性、边缘的粘连、单层上皮细胞的大小、裸核、温和的染色质、正常的核仁、有丝分裂，尾数0表示确诊为“良性”，1表示确诊为“恶性”，数据已经归一化为0到10之间的自然数。本文需要解决的问题问题一、根据以上数据，请提出一种或多种判别乳腺肿瘤属于“良性” 还是 “恶性”的方法，并检验你提出的方法的正确性。问题二、现有一组乳腺肿瘤患者的九个指标数据如下（见附录问题表2），请你按照你在问题一中提出的方法分别判别属于“良性”还是“恶性”

4、 问题三、试确定哪些指标是区分乳腺肿瘤是“良性”还是“恶性”的主要指标，请采用主要指标建立区分“良性”和“恶性” 乳腺肿瘤的模型，以便用于乳腺肿瘤的辅助诊断时可以减少化验的指标。2. 模型的假设与符号说明2.1模型的假设假设一：检验过程中各指标不会发生变异和突变；假设二：本文中所给的数据是正确的，合理的；假设三：腺肿瘤患者的肿瘤只有良性与恶性两种；假设四：本文中的仿真数据是可靠的，合理的；2.2符号说明符号符号说明第个判别指标第个判别指标的系数判别函数的分界值显著性系数数据代入的函数值组内差样本离差阵组间差最大特征值3. 问题分析本文是关于乳腺癌的判定问题。随着乳腺癌在女性疾病中的比例不断突出

5、，如何根据各项指标判定乳腺肿瘤患者的肿瘤是良性还是恶性使我们亟待解决的问题。对于问题一，通过对图表的观察与处理，发现良性肿瘤与恶性肿瘤各指标的均值上存在的差值较大。这样寻找良恶性肿瘤的分界点成为了分析中的首要问题。我们引入一个判别函数，把各指标作为函数变量，选取部分题目所给数据，建立 fisher模型，从而确定最终的判别函数。再将剩下来的数据代入，通过比较代入函数值与判别函数值，验证判别函数的准确性。通过检验后，为了提高模型的准确率，我们进一步扩大正确组数据的权重，我们再选取一定数量的准确组重复代入原始数据，从而修正判别函数。其流程图如下图1：N开始选择一定量数据Fisher 模型确立判别函数

6、增大数据量回带输出函数将原数据与剩下数据进行检测，准确率是否理想？图一 判别函数求解流程图由于之前所选数据范围比较狭窄，为了进一步说明建立模型所选数据的随机性和普遍性，我们以修正后的函数作为基础，通过计算机仿真模拟大量的数据组（其中2.9915万组良性，0.9136万组恶性），再一次修正判别函数，这样修正的判别函数才真正具有随机性和普遍性。然后我们以题目所给数据作为检验数据，对这一次的判别函数再一次进行检验，最后通过验证目标函数的各项指标，对未知值进行求解。对于问题二，根据问题一中所求出的判别函数，我们将各个指标变量代入目标函数中，将其得出的函数值与判别值比较，从而得出最后这些组肿瘤数据哪些是

7、良性，哪些是恶性。对于问题三，利用逐步回归的思想，对九个指标一一进行比较剔除，每一次剔除后对剩余的指标建立fisher模型，再检验指标减少后的模型的准确率以及F值的显著性，进而判断剔除值是否重要；只要准确率以及F值的显著性中任意一个值变化过于剧烈，我们即认为这个数据比较重要，不予剔除或者剔除时采取交叉项以及平方项来减少这个指标造成的影响，当无法再剔除指标时，即认为剩下的指标均为主要指标。4 问题一的解答4.1问题一模型的准备4.1.1判别分析法的的引入根据历史上划分类别的有关资料和某种最优准则，确定一种判别方法，判定一个新的样本归属哪一类。例如，某医院有部分患有肺炎、肝炎、冠心病、糖尿病、乳腺

8、癌等病人的资料，记录了每个患者若干项症状指标数据。现在想利用现有的这些资料找出一种方法，使得对于一个新的病人，当测得这些症状指标数据时，能够判定其患有该种病。这些问题都可以应用判别分析方法予以解决。 设有n个样本，对每个样本测得p项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k个类别（或总体）中的某一类，且它们的分布函数分别为。我们希望利用这些数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来，并对测得同样p项指标（变量）数据的一个新样本，能判定这个样本归属于哪一类。这种方法称为判别分析法。我们这里只涉及Fisher判别方法。4.1.2 Fisher判别准则

9、和判别函数假设预测因子有p个指标，即有n组观察或调查得到的数据。判别分析就是要根据这些数据，在适当的判别准则下，确定判别函数：并找出临界值。我们将要判别的两组分别标记为A和B。对于p个判别指标。不妨设组A有s组数据，组B有t组数据，现将数据分组，组A，B的数据分别为，。假定用作为判别值。则A,B对应的判别值为：其中的的取值根据r的值而确定。A,B组的平均值分别为： 我们通过判别值y来进行判别，为使组A同组B之间有明显的区别，自然希望它们的代表值之间的差距越大越好。即（1） 越大越好。又同属于组A，同属于组B我们希望它们于期其代表之间的差距越小越好，即（2） 越小越好。上述（1），（2）就是Fi

10、sher提出的最优判别准则。4.2问题一模型的的建立通过excel对数据的出来，我们知各指标的良性与恶性的平均值。设分别表示乳腺肿瘤肿块的厚度、细胞大小的均匀性、 细胞形状的均匀性、边缘的粘连、单层上皮细胞的大小、裸核、温和的染色质、正常的核仁、有丝分裂。其平均值如下表：表4.1 良性恶性的指标的平均值别性标指良性2.1632.1402.0702.6052.4293.3262.0231.2090.140恶性5.3785.5973.5945.0155.4314.7645.3292.3280.911通过观察可知，良性与恶性各指标的平均值差别比较大，这样我们可以通过确立一判定函数来区分肿瘤细胞的良恶

11、性。通过观察我们建立fisher模型。4.2.1 fisher模型各系数的确立设从个总体中抽取容量为的样本为 其相应的均值向量和协方差阵分别为， 且 （正定），。则 为在轴上的投影。记 ，组别为组内平均和总平均，于是组内差为： 此处为样本离差阵。组间差为： 令，我们的目的是求使达到最大，问题的关键是求投影方向，至于的长度是无关紧要的。为了使解有唯一性，因此通常附加一个条件：，于是问题转化为在条件下求使达到最大的。在此引入拉格朗日乘法，令 注意到，都是对称阵，因此。即解方程组 可求得为的最大特征值，而我们所要求的就是所对应的特征向量。4.2.2 目标函数的建立根据fisher模型，我们建立目标函

12、数。目标函数的建立：4.3问题一的求解 4.3.1函数表达式的初步确立通常生活中规定，数据量大于50组的样本称为大样本，可以用来进行统计。因此随机选取60组（30组良性，30组恶性）肿瘤的数据（所选数据见附录问题一所选数据），再根据模型准备中fisher模型的求解方法，我来确定目标函数的的分界值和目标函数。分界值及良恶性肿瘤的函数值如下表4.2：表4.2：良恶性肿瘤样本的分界值及函数值类别良性肿瘤恶性肿瘤分界值平均值/分界值8.080722.307615.1942此时各指标系 这样我们通过选择的60组数据确定了判定函数的函数表达式，和判定分界条件，分界值为Yf =15.1942。其表达式如下：

13、 （4.1）然后我们将选择的60组数据和剩下18组（含有未知量的数据先除外）的数据代入此函数与分界值比较从而进行检验来确定所建立函数的准确性。通过带入验证可知，所选的60组样本数据中一共有5组数据发生了误判，3组良性误判成恶性，2组恶性误判成良性。而剩下18组的检验数据均能准确判断。其准确率为：93.75%。检验结果（见附录检验表1）误判组见下表4.3：表4.3 发生误判的各组指标情况指标类型良判恶5445710321良判恶688134371恶判良533323441恶判良5449210561恶判良958123215 接着我们对含有未知指标的两组数据进行检测，确定结果为良性时，无论位置指标的值如

14、何取值，良性肿瘤都会误判成恶性。而结果为恶性的那组，无论未知指标为何值，都不会发生误判。 判别效果显著性的检验对于此判别函数，我们对其判别效果进行检验，根据fisher 的检验指标，易知：，其中p为维数， 为样本大小。由于F=17.8281F(9.30)0.05=2.21。判别效果还比较显著。4.3.2表达式系数的修正通过查看表4.3发生误判的指标发现，在将良性误判为恶性的两组指标中，其指标都普遍高于良性的平均值；在将恶性误判为良性的三组指标中，其指标都普遍低于恶性的平均值。为了进一步提高函数判别式的精度，我们决定加大正确判别组的权重，即，将正确判别组的数据量加大两倍在样本数组中，且误判组数据

15、量不变。然后再通过fisher模型中系数的求法，将系数加以修正，再通过修正的系数对分界值加以修正。修正后的系数分别为：，。修正后的表达式为： （4.2）表达式修正后，对分界值进行进一步的修正，分界值Yf=14.7029。将各指标和分界值修正后，我们再对剩下数据和样本数据进行检验。检验结果为：178组样本（90组良性，88组恶性）数据中有2组良性误判成恶性，18组剩余数据都能通过检测。其准确率为96.25%。检验误判组如下表4.3表4.3 发生误判的各组指标情况指标类型良判恶5445710321良判恶688134371接着我们对含有未知指标的两组数据进行检测，确定结果为良性时，无论位置指标的值如

16、何取值，良性肿瘤都会误判成恶性。而结果为恶性的那组，位置指标可以取值.判别效果显著性的检验对于修正后的判别函数，我们对其判别效果再次进行检验，根据fisher 的检验指标，F=28.3725F(9.30)0.005=3.45。判别效果非常显著。4.3.3表达式系数的进一步的修正由于之前所选数据范围比较狭窄，为了进一步说明建立模型所选数据的随机性和普遍性，我们以修正后的函数作为基础，通过计算机仿真模拟近四万组数据（其中2.9915万组良性，0.9136万组恶性），再通过fisher模型中的算法，修正判别函数，这样修正的判别函数才真正具有随机性和普遍性。通过仿真修正后进一步修正后函数判别式表达式为

17、： （ 4.3），其中：，。表达式修正后，对分界值进行进一步的修正，分界值Yf= 27.9327。将各指标和分界值进一步修正后，我们再对题目所给的78组已知数据作为检验数据进行检验。检验最终有四组数据会发生误判，但由于仿真数据是在式4.2基础上仿真得来，而式4.2本身就具有一定误判率，因此，此处的准确率应该是式4.3的准确概率与4.2的准确概率之比。这样进一步修正后的准确率为：98.19%。接着我们对题目中含有未知指标的数据进行指标补充，发现确定结果为良性时，无论位置指标的值如何取值，良性肿瘤都会误判成恶性。而结果为恶性的那组，位置指标可以取值。判别效果显著性的检验对于修正后的判别函数，我们对

18、其判别效果再次进行检验，根据fisher 的检验指标，F=30.3280F(9.30)0.005=3.45。判别效果非常显著。4.3.3 问题一的结果的表达通过函数系数的修正，我们最终确立了判别函数。函数表达式为： （4.4）其中：。分界值Yf= 27.9327，即当YYf，该肿瘤为恶性肿瘤。而检测的准确率为98.7%。F=30.3280，显著性非常高。4.4问题一结果的分析通过观测问题一的结果，我们可以知道修正前后各指标的系数变化比较大。究其原因，随着正确样本的数量的增加，各指标的系数不断被修正，从而使得判别函数有一定的波动。而稀疏的变化是的准确性的增加也说明通过调整系数，使得判定函数更加精

19、确，而且更具有普适性。对于检测数据中出现少量的误判，这是比较正常的，而且与现实生活中事实比较相符。而且误判通过观察可知均发生在分界值附近。特殊的案例，特殊对待。对误判出现的形式，从修正后检测的结果我们可知，误判均是将良性肿瘤误判成恶性肿瘤。这个也与现实生活比较贴近，现实生活中所谓的误诊也在我们数据中得以体现了。5 问题二的解答我们根据问题一中所求得的表达式，可以对问题二中的20组数据进行判别。判别依据仍是与中间的判别值进行对比，得出这些组数据的判定结果。我们将此二十组数据编号，编号后表（见附录问题二）： 将各指标带入公式4.2与4.3后，然后分别与各自分界值比较，得出该20组数据的判断结果如下

20、表5.2：表5.2数据的判定结果编号12345678910Y2值27.64912.36228.57827.4225.14428.6807.00733.7066.82124.226Y3值32.19115.79039.05339.6887.99234.7179.31050.6789.99632.354判定1011010101编号11121314151617181920Y2值11.23127.0205.8406.12025.8106.1205.840 5.84018.20411.512Y3值13.33536.3958.5249.21735.7439.2178.5248.52429.44313.618

21、判定0100100010对的值分别与式4.2与式4.3的分界值：对比可得，最后的判定结果均相同。通过分析发生误判的可能性非常小，因为他们分别代入各自判别函数得到的Y值与分界值Yf差值比较明显。而通过计算各自的方差发现：，这样也进一步说明，式4.3的判别效果比式4.2要优越。6 问题三的解答6.1问题三初步分析为了区分判定乳腺肿瘤良性与恶性的主要指标，以式4.2加权函数作为我们的分析函数。通过matlab中的stepwise函数，对78组数据进行逐步回归，从而主要指标进行一次初步判断，在逐步回归分析中，我们初步判断为主要指标，可以剔除。在matlab中表示如下图6.1：图6.1 逐步回归的运行结

22、果6.2 主要指标的逐步求解6.2.1剔除一个指标通过观测式4.2各指标的系数，我们发现所占权重最小，于是决定将其先剔除，然后将剩下的八个指标通过fisher模型建立判别函数，为了提高函数判别式的精度，我们加大正确判别组的权重，即，将正确判别组的数据量加大两倍在样本数组中，且误判组数据量不变。从而得出判别函数，判别函数为：7 其中，。此时分界值Yf=14.8407，判别函数确立后,将原来的78组数据带入，经检测可得，有2组数据会发生误判，准确率为：96.25%。对应的F值为：F=27.5718。从准确率和F值两方面可知，剔除可行。6.2.2剔除二个指标剔除后再次观察剔除表达式各指标所占权重和相

23、关系数，发现所占权重最小，于是将其剔除。以剩下的七个指标再次通过fisher模型确立函数表达式，为：其中：， 此时判别函数分界值Yf=16.0029，回带检验发现仍是有两组数据发生误判（数据见附录问题三误判表附表1），准确率为：96.25%。对应的F值为：F=27.5048。从准确率和F值两方面得出结论，剔除可行。6.2.3指标的进一步剔除 得出新一轮表达式后，我们如法炮制对提出后的函数进行下一轮的剔除，每剔除一次，都对新函数的准确率和对应的F值进行一次比较，然后再进行一次判断，若准确率和F值变化不大，则认为可以提出，若变化比较大，则终止剔除。通过反复这样的检验我们发现剔除六轮后，判别函数的准

24、确率和F值都出现了显著变化，于是我们终止剔除。第三轮到第六轮剔除指标过程如下表6.1。表6.1 第三轮到第五轮剔除指标过程指标轮次准确率F值第三轮1.1050.274T0.6770.5490.7800.49396.25%27.084第四轮0.929TT0.5960.4420.6540.33295%26.703第五轮0.945TT0.6330.4320.628T96.25%25.721第六轮0.854TT0.735T0.652T96.25%22.300其中“T”代表剔除，“T”代表当轮剔除的指标。6.3 最终主要指标函数的确立经过六轮，我们发现准确率变化都不是很大，而第六轮的F值下降有一些明显。

25、由于每一轮函数的表达式的确立都是由问题一中数据所来验证和确立，这样的验证不具有普遍性。为此我们可以用问题二中数据来检验其判别的显著性是否下降的很快。6.3.1问题二数据的说明对于问题二中的数据，通过式（4.2）和式（4.3）判别可知，其距离分界值都有较大的范围，不在诊断的误判的“灰色区间”（即处于分界值附近）之内，因此通过问题二中的数据对函数的显著性验证时非常理想的。若函数在这个比较容易的判断的区间之内都会发生误判，则说明所产生的函数已不再具有普遍性，而且判断比较明显的病症的出现了误判，这样的函数我们不能作为判别肿瘤为良性还是恶性的判别函数。6.3.2 剔除后最简函数的确立依照前面所叙述，我们

26、对减少了验证指标的函数通过问题二中的数据进行函数判别显著性的进一步的判断。将各指标带入函数中求解其良恶性，将求解出来的结果与问题二中结果进行对比，判别结果见下表6.2。表6.2 判别结果对比表编号12345678910结果1011010101T61011010101编号11121314151617181920结果0100100010T60100000010其中T6表示剔除后的检验结果。我们发现，前五轮剔除的函数都能与问题二中的结果完全吻合，而第六轮检测结果出现了一个与问题二中结果不符，即第六轮剔除后的函数在非常容易判断的区间之内发生了误判，其显著性已经不如前面五轮显著。因此我们决定剔除进入到第

27、五轮即终止，这样与我们之前用matlab中stepwise函数得出的剔除哪些指标和保留哪些指标完全相符。最后剔除后最简函数为： （5.1）分界值为：。准确率：96.25%。6.4 问题三结果的分析经过逐轮的剔除我们可以发现每一轮的剔除，判别函数的显著性都会略微下降，准确率没有什么变化。而从剔除的结果可知，九个检测指标中我们只需检查四个指标就能判断该肿瘤是良性还是恶性，与原来检测九个指标的判别函数的判别效果没有任何区别。这样使得在现实生活中检测得到了简化。当然简化后的判别函数同样也在“灰色区域”（处于分界值附近）很小概率的误判，这与现实生活诊断相符。7 模型的评价与推广7.1模型的评价优点：1.

28、fisher模型理论易于理解，且操作方便；2. 模型在建立过程中先建立一个初步模型，然后通过加大正确组的权重（即未发生误判指标的数量作为样本）修正模型，提高模型的正确率；3.本题模型虽然建立于原有数据之上，但最后通过数据仿真使模型建立于仿真数据之上，且用78组全部数据检验模型的正确率，这样大大加大了模型的客观性与普适性。缺点：1. 由仿真产生的数据并不一定过于合理，有可能在仿真过程中产生一些异常的数据；2. 由于模型的准确率普遍较高，故在剔除指标时，并没有采用增加交叉项或者平方项来增加模型的准确率。7.2模型的改进对于模型建立过程中，在建立仿真模型时应该使仿真模型更加完善，使产生的数据更加接近

29、于真实数据，这样就使得我们的模型正确率进一步得到提高，也使得模型的客观性与普适性进一步提升。在第三问中对模型进行逐步回归后建立的由主要指标构成的模型，我们可以考虑下相关性较高的几项求其交叉项、以及增加平方项来提高第三问主要指标模型的准确率。7.3模型的推广Fisher模型可以对股市进行风险评估（如对上市公司的信用度进行评估），也可以通过将数据进行分类达到对多种指标的数据降维的目的，也可以用于对种群的分类以及对不易区分的事物起到判定作用。11.参考文献1数学建模与建模方法彭祖赠 编，大连海事大学出版社，19972 宋来忠，王志明,数学建模与实验,北京：科学出版社,2005。3 朱道元等，数学建模

30、案例精选，北京：科学出版社，20034高等应用数学的matalb求解 薛定林 陈阳泉 编，清华大学出版社 2004附录附录一，表：问题一附表1 问题一数据处理表X1X2X3X4X5X6X7X8X9Y511121311031112231104113213110111121031102111211150111111311041112121103111212110111121311032111121102111212110311111211021122131102111212110621111711011112121201111212110111122211011112132101121224210

31、5312212110211131211054457103210688134371021212131104211212110211121211011112331104111213110611121311010553677101051112121101131211110312121211066696?7810411321311011112121104111213110513121211013322172101141212110311123311022211171105333234411875107955411077641041217321051054412533677511104313365215

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33、1535533410119101011083311838349898110641343211附表2 样本数据编号X1X2X3X4X5X6X7X8X91511121311254457103213311122311468813437154113213116111121031172121213118211121115942112121110111111311112111212111211112331113411121211144111213111561112131116311121211171111213111832111121119511121211202111212112111312111122

34、311111211232112213112431212121125211121211266211117112711112121228111121211294113213113011112221131810108710971325333234413387510795543474646143135107764104123673210510544371055367710138523427361391077385743401010108618914154492105614225336775143104313365244610102810733455656101311461010104818101473

35、7744948148787248382499581232155053342434151103623541025255581087375310556887115410663453615581010136391568241515445752316105115895522251159535533410160910101108331问题二表格附表3 问题二处理数据编号指标110472286110252222122538673310348465584103465111111211610331210761072111211128764810109579111111131104235387641115111

36、21311215466410431321111211114111112131151855521043161111121311711111211118311112111191344105133201511321111. 程序一：根据60组数据求初始特征向量%（1）x1,x2,供以下程序掉用，x1代表良性，x2代表恶性。clear;clc;x1=51112131131112231141132131111112103112121213112111211154211212111111113112111212111111233114111212114111213116111213113111212111

37、111213113211112115111212112111212111131211113111112112112213113121212112111212116211117111111212121111212114113213111111222115111213115445710321311122311688134371411321311111121031121212131121112111542112121111111131121112121111112331141112121141112131161112131131112121111112131132111121151112121121

38、112121111312111131111121121122131131212121121112121162111171111112121211112121141132131111112221151112131154457103213111223116881343714113213111111210311212121311211121115421121211111111311211121211111123311411121211411121311611121311311121211111121311321111211511121211211121211113121111311111211211

39、221311312121211211121211621111711111121212111121211411321311111122211;x2=8101087109715333234418751079554746461431107764104127321051054410553677101523427361107738574310101086189154492105612533677511043133652610102810733565610131110101048181013774494817872483829581232155334243411036235410255581087371055688711106634536181010136391824151544523161051195522251153553341019101011083316341523911042132431