债券模型和利率期权.ppt

1、债券模型和利率期权,一、利率与远期利率,最基本的利率和约是现在支付一定的现金量以换取将来更多现金流的一个协议，这类和约的价值主要依赖于货币的时间价值（也可能依赖其它一些因素）。 这种讨论利率与时间期限的关系问题称为利率的期限结构。利率与期限的关系是通过收益曲线来描述。例如，在美国，每天都要公布国库卷的收益曲线，即3个月、6个月、1年、2年直至30年的国库卷利率值。它们经常作为各种金融产品定价的基准。 为了理解怎样用收益曲线来为债券定价，先介绍一些基本概念。,1、贴现债券 把将来（时刻T）1美元的承诺作为资产，该资产在T之前的任何时刻t都有其价格，该资产称为贴现债券。 用P(t,T)表示该债券在

2、时刻t的价格，则P(T,T)=1。 P(0,T)即为该债券的当前价格（此时的债券称为零息券）。,2、收益 能较好地描述市场的是债券所隐含的平均利率，如果利率为常数r，则,或者说,一般地，当利率不是常数时，若t时刻债券的价格为P(t,T) ，则定义（平均）收益R(t,T)为,3、瞬时利率 瞬时借贷的当前利率定义为,显然,4、远期利率 定义 设今天的时间t=0，f(0,t)表示站在今天的角度观测的t时刻(t0)的（瞬时）利率，则f(0,t)称为远期利率。,例 远期利率的计算,例如，第二年的一年期远期利率（即第第二年开始的一年期的利率，称为第二年开始的一年期远期利率） 11%，是由1年期的即期利率1

3、0%和2年期的即期利率10.5%计算出来的。设S0为初始投资，则,5、远期利率与零息券,把0,T分成小的区间tk,tk+1，令tk=tk+1-tk，假设远期利率f(0,tk)在第k个时间间隔内保持不变。在每一个区间上约定一个远期和约，在0时刻投资1美元，并在该时间段结束时把累积收益作为下一个时间段的初始投资，如此循环下去，则1美元在T时刻的价值V为,令最长的区间长度趋于零，得,所以,一般地，可得到,或,注： （1）上式也可以采用微分的方法得到,令 得,（2）因为平均收益R(t,T)为,所以,总结： （1）远期利率与收益可用债券价格表示,（2）债券价格可用远期利率或收益表示,所以，对债券价格、远

4、期利率或收益三者中的任意一个过程建立模型，即可得到另外两者的模型。,二、债券定价模型,假设短期利率r(t)满足如下随机微分方程,其中W(t)为一维标准Brown运动。,假设债券价格P(t,T)只受T，t，和r(t)的影响，利用Ito公式可得,简写成,其中,由于利率不能买卖，不能用来复制资产。我们可以购买不同到期日的零息券构造资产组合来对冲风险。,记P1=(r,t,T1)为到期日为T1的零息券的价格，P2=(r,t,T2) 为到期日为T2的零息券的价格，构造资产组合,则,令 ，可削去随机项，根据无套利原理，有,整理可得,上式说明方程左右两端等于一个相同的常数，该常数与零 息券的到期时间无关，记该

5、常数为 ，即,-（*）,其中 表示一类额外的市场风险，它可用风险价格 来描述：,将上式代入（*）式可得到期日为T的零息票债券P(r,t,T)的定价方程为,给出到期边界条件 ， 及确定的 ，就可得到上述方程的解析解（或数值 解） 。,的含义：因为,而,即,所以,或,上式说明零息债券并非是无风险债券，因为无风险债券的右端应该是零。右端可以解释为承担风险的超额收益。而函数 通常称为风险的市场价格，它是一个类似于夏普比那样的量。,现代文献中研究较多的一些利率随机微分方程可统一记成下列形式,其中,三、简单例子,1、假设短期利率r(t)满足如下随机微分方程,这里 和 都是常数。则,再假设风险价格 也是常数

6、，则零息票债券,定价方程为,其中 是一个未知常数。,设,是上述方程的解，可得,从而可得债券价格为,注：上述模型中参数a是未知的，需要估计。利率r是常数，因此，模型模型只是把债券价格与短期利率联系起来，债券定价是不精确的。,2、Vasicek模型 假设短期利率r(t)满足如下随机微分方程,再假设风险价格 是 的 线性函数，记,这里 均为常数。则债券定价方程为,可以证明上述方程的解为,其中,注（1）Vasicek模型被称为“均值反转”模型，当利率较高时，经济发展会放慢，借款人对资金的需求就会减少，结果会导致利率下降。当利率较低时，借款人对资金的需求就会增加，结果导致利率上升。,2、利率模型：,的解

7、为,利率模型：,的解为,所以,3、Cox、Ingersoll、Ross（考克斯、英格索尔、罗斯）模型,利率模型为,债券价格为,其中,4、Hull and White（赫尔、怀特）模型,利率模型为,用类似的方法可得到债券价格的表达式。,四、债券动态价格,Vasicek模型说明一个特定的短期利率模型可以计算出债券的价格。我们也可以反过来分析，即先确定一个债券的模型再来计算利率。 1、债券价格方程 仔细分析Vasicek模型中债券价格满足的方程,假设风险价格 可以通过调整其它参数而设为0，则债券价格满足的方程可写成如下的形式,此模型称为Heath、Jarrow、Morton(HJM)模型,2、债券价格公式,利用Ito公式可得,两边积分得,在上式中取T=t，注意到P(t,t)=1，得,-（*）,将上式代入