计量地理学第三章统计分析方法2回归分析.ppt

1、第三章统计分析方法,1地理要素间的相关分析 2地理要素间的回归分析 3 时间序列分析法 4 系统聚类分析方法 5 主成分分析方法 6 马尔可夫预测方法 7地理系统的空间趋势面分析,2地理要素间的回归分析,地理回归分析的意义和作用 一元地理回归模型的建立 多元地理回归模型的建立,一、地理回归分析的意义和作用,相关分析揭示了地理要素之间相互关系的密切程度。若能在某些难测难控的要素与其他易测易控的要素之间建立一种近似的函数表达式，可以比较容易地通过那些易测易控要素的变化情况，了解那些难测难控要素的变化情况 回归分析方法，是研究要素之间具体的数量关系的强有力的工具，运用这种方法能够建立反映地理要素之间

2、具体的数量关系的数学模型，即回归模型,回归分析 就是对具有相互联系的要素，根据其联系的形态，选择一个合适的数学模式，用来近似地表达要素间平均变化关系。这个数学模式称为回归模型（回归方程）,回归分析与相关分析的区别与联系 研究对象和内容上: a.相关分析主要是研究要素（变量）之间是否存在关系和关系的密切程度，没有自变量与因变量之分 b.回归分析主要是研究要素之间联系的形态、确定要素之间关系的方程式，即回归方程，可用于对未来进行预测，对某些要素进行控制。回归分析有自变量与因变量之分。回归分析尚有地理预测的性质 从相关可以获得回归的一些重要信息，反之从回归也能获得相关的一些重要信息。故它们之间是紧密

3、相连的两个概念,回归分析的主要内容 从一组地理数据出发，确定这些要素（变量）间的定量数学表达式，即回归模型 根据一个或几个要素（自变量）的值来预测或控制另一个要素（因变量）的取值 从某一地理过程中的许多要素中，找出哪些要素（变量）是主要的，哪些要素是次要的，这些要素之间又有些什么关系 回归分析的分类 一元地理回归模型和多元地理回归模型,二、一元地理回归模型的建立,（一）一元地理回归模型类型的判断方法 作图法 差分法 曲度法 计算器法等,作图法,若将地理要素（x，y）的数据点绘在普通方格纸上，散点图呈直线，则一元地理回归模型为直线型,若将地理要素（x，y）的数据点绘在双对数格纸上，散点图呈直线，

4、则一元地理回归模型为幂函数型,若将地理要素（x，y）的数据点绘在单对数格纸上，而其横坐标取对数分格，其纵坐标为普通分格时呈直线，则一元地理回归模型为对数函数型,若将地理要素（x，y）的数据点绘在单对数格纸上，而其横坐标为普通分格，其纵坐标取对数分格时呈直线，则一元地理回归模型为指数函数型,（二）一元线性地理回归模型的建立,假设有两个地理要素（变量）x和y，x为自变量，y为因变量。则一元线性回归模型的基本结构形式为：,A、B为选定参数 1，2，n为n组观测数据（x1，y1）， （x2，y2）， （xn，yn） 为随机变量,设a、b分别为参数A和B的最小二乘估计值，于是便得到一元线性回归模型。它是

5、代表x与y之间关系的最佳拟合直线，通常称为回归直线,a为常数,它就是y的截距 b为回归系数，也就是直线的斜率，它表示在x中变更一个单位则在y中变更b个单位 b0，表示要素一齐增加或一齐减小 b0，表示一个要素增加而另一个则要减小 b值的大小，反映了变化率的大小 是y的估计值，亦称回归值。,1、参数a和b的最小二乘估计,实际观测值yi与回归值yi之差ei=yi- yi ，刻画了yi与yi的偏离程度，即表示实测值与回归估计值之间的误差大小。参数a与b的最小二乘拟合原则要求yi与yi的误差ei的平方和达到最小，即,根据取极值的必要条件，要使Q取最小值，必须使Q对a、b的一阶偏导数分别等于零，即,整理

6、后可得,此方程通常称为正规方程组。又可写成矩阵形式,解此方程组，即可得到,2、一元线性回归模型的具体建立方法与步骤,将计算表中的相应数值代入参数计算公式得到a、b,3、一元线性地理回归模型的效果检验,回归模型的估计误差 回归模型的显著性检验,（1）回归模型的估计误差,标准估计误差是一个非常重要的量，由于它的单位和y的单位相同，所以在实际地理问题中便于比较和检验，只要比较S与允许的偏差就行了，因此，它是检验回归效果的极其重要的标志，同时也是衡量地理预测精度的指标,（2）回归模型的显著性检验（F检验法）,在回归分析中，y的n次观测值y1，y2，yn之间的差异，可以用观测值yi与其算术平均值的离差平

7、方和来表示，它称为总的离差平方和,Q是所有观测点yi离回归直线的残差平方和，它表示除x对y的线性影响以外的一切因素对y的变异影响，故称为剩余平方和（残差平方和） U反映了在y的总变差中由x与y的线性关系而引起y的变化部分，称为回归平方和,一个回归效果的好坏取决于U和Q的大小，或者说取决于U在总平方和lyy中所占的比例U/lyy的大小，这个比值越大，回归效果越好；反之，则回归效果越不好,统计量F F越大，模型的效果越佳。统计量FF（1，n-2）。在显著水平下，若FF，则认为回归方程效果在此水平下显著。一般地，当FF0.10(1,n-2)时，则认为方程效果不明显。,方差分析表（以北京市气温与地温关

8、系为例）,（三）一元非线性回归模型的建立,选配曲线的方法 根据理论分析、过去的经验或观测数据的分布趋势与特点，来确定两个要素之间的曲线类型及其函数形式，从而求非线性地理回归模型的过程及其方法叫做曲线选配,地理上常见的非线性回归模型的建立方法 幂函数型 y=axb 对上式两边取常用对数或自然对数 Lny=Lna+bLnx或YA+bX,指数函数型 两个地理要素（变量）之间的指数函数表达式为 Y=aebx或y=ae-bx，y=abx 两边取常用对数或自然对数，则得 Lny=Lna+bx或YA+bx,对数函数型 y=a+bLnx 则ya+bX,非线性关系线性化的几种情况 对于指数曲线 ，令 , 可以将

9、其转化为直线形式： ， 其中， ； 对于对数曲线 ，令 ， ，可以将其转化为直线形式： ； 对于幂函数曲线 ，令 ， ，可以将其转化为直线形式： 其中， ；,非线性回归模型,对于双曲线 ，令 ，转化为直线形式： ； 对于S型曲线 ，可 转化为直线形式： ； 对于幂乘积 ，只要令 ，就可以将其转化为线性形式 其中， ；,对于对数函数和 只要令 ，就可以将其化为线性形式 例:表3.2.1给出了某地区林地景观斑块面积（area）与周长（perimeter）的数据。下面我们建立林地景观斑块面积A与周长P之间的非线性回归模型 。,表3.2.1 某地区各个林地景观斑块面积（m2）与周长（m）,解:（1）作

10、变量替换，令： ， ，将表3.2.1中的原始数据进行对数变换，变换后得到的各新变量对应的观测数据如表3.2.2所示。,表3.2.2 经对数变换后的数据,（2） 以x为横坐标、y为纵坐标，在平面直角坐标系中作出散点图。很明显，y与x呈线性关系。,图3.2.2 林地景观斑块面积（A）与周长（P） 之间的双对数关系,（3）根据所得表中的数据，运用建立线性回归模型的方法，建立y与x之间的线性回归模型，得到 对应于（3.2.19）式，x与y的相关系数高 达 =0.966 5。 （4）将（3.2.19）还原成双对数曲线，即,（3.2.19）,（3.2.20）,一元非线性回归模型的效果检验,相关指数R2 Q

11、是剩余平方和，lyy是总平方和 相关指数的平方根也可称为相关系数 相关指数越大，表明选配的回归曲线效果越好，剩余标准差越小，其回归模型的预测精度就越高,一元线性回归模型内容复习,模型的基本形式 模型参数的确定 效果检验,三、多元地理回归模型的建立,（一）多要素线性地理回归模型的建立 1、方法 设某一要素y受k个要素x1，x2，xk的影响，其内在联系是线性关系，通过N组观测，得到一组地理数据为（y；x1，x2，xn ），1，2，n。设其数学结构模型为 0，1，k为待定参数，为随机变量,为了估计，仍采用最小二乘法，则得回归模型为 式中，b0为常数项，b1，b2，bk为偏回归系数,参数的确定过程,依

12、最小二乘法原理,将上式分别对b0，b1，bk求偏导数，并令其等于零,方程组（3.2.15）式称为正规方程组。 引入矩阵,（3.2.15),则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式,求解得 引入记号,（3.2.16）,正规方程组也可以写成,例如，某一国家某一经济区内木材生产指数y（以1955年为100）受该区森林蓄积量指数x1、木材价格指数x2和运输距离指数x3的影响，如表5-10所示，试建立三元线性回归模型，并检验其有无实际意义,原始数据表,设所求的线性回归模型为,其正规方程组可写成 及,根据原始数据计算后得到正规方程组 解此方程得出参数值,从而得到趋势面方程,2、回归模型的显著性检验, 回归平方和