自动控制原理课件(精)7.ppt

1、第7章 线性离散控制系统,7.1 引言 7.2 采样过程的数学描述 7.3 信号恢复 7.4 Z变换理论 7.5 采样系统的数学模型 7.6 离散控制系统分析 7.7 数字控制器的设计,7.1 引言,7.1.1 直接数字控制系统（DDCDirect Digital Control）,input,digital,图7-1 直接数字控制系统（DDC）,7.1.2 计算机监督控制系统（SCCSurveillance Computer Control System）,图7-2 计算机监督控制系统（SCC）,7.1.3 集散控制系统（TDCTotal and Distributed Control）,集

2、中调度控制中心,子调度控制中心,.,图7-3 集散控制系统（TDC）,7.2 采样过程的数学描述,7.2.1 采样过程及其数学描述 7.2.2 采样定理 7.2.3 采样周期的选择,7.2.1 采样过程及其数学描述,在采样控制系统中将连续信号变为断续信号的过程称为采样过程。实现这个采样过程的装置称为采样装置 ，如图7-4所示。,e*（t）,e（t）,图7-4 采样开关,将断续信号用如下数学式子表示,e*(t)=,对离散信号e*（t）取拉氏变换，可得,E*(s)=Le*(t)= L,=,图7-5 连续信号e（t）与断续信号e（t）,7.2.2 采样定理,为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连续信

3、号，采样频率必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍，即,或 T,(7-1),(7-2),理想滤波器 的滤波特性为,1,0,(7-3),其频率特性如图7-6,-,图7-6 理想滤波器的频率特性,7.2.3 采样周期的选择,工程实践表明，根据表7-1给出的参考数据选择采样周期T，可以取得满意的控制效果。,表7-1 工业过程T的选择,随动系统的采样角频率可近似取为,由于T2 ，所以采样周期可按下式选取：,采样周期T可通过单位接跃响应的上升时间tr或调节时间ts按下列经验公式选取：,7.3 信号恢复,7.3.1 零阶保持器 7.3.2 一阶保持器,7.3.1 零阶保持器,零阶保持器是最常用的一种保持

4、器，它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。如图7-7所示，零阶保持器的输出为阶梯信号。,采样开关,保持器,图7-7 零阶保持器,由于 ，（k=0,1,2,）所以保持器的输出 与连续输入信号 之间的关系式为,(7-4),的拉式变换则为,(7-5),上式与式（7-1）比较后，知道零阶保持器的传递函数为,(7-6),b),图7-8 应用零阶保持器恢复信号,零阶保持器的频率特性为,(7-7),7.3.2 一阶保持器,一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推，它的外推输出式中t为kT到（k1）T之间的时间变量。如图7-9所示 。,(7-8),0 t 2t 3t .,图7-9 应用

5、一阶保持器恢复信号,根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得保持器的传递函数,(7-9),或,(7-10),一阶保持器的频率特性为,(7-11),7. 4 Z变换理论,7.4.1 Z变换 7.4.2 Z变换的性质 7.4.3 Z反变换,7.4.1 Z变换,由式（7-1）可知，断续函数x*（t）的拉氏变换为,X*（S）= X(kT)e-kTS,(7-12),若令,eTS = Z,(7-13),则将在S域分析的问题变成Z域的分析问题。,X ( Z ) = X(kT)Z-k,(7-14),X（Z）称为X*（t）的z 变换，记为 z,z = X(Z) = X(kT)Z-k,(7-15),在Z变换中，X（

6、Z）为采样脉冲序列的Z变换，即只考虑采样时刻的信号值。由于在采样时刻，X（t）的值就是X（kT）,所以从这个意义上说，X（Z）既是X*（t）的Z变换，也可以写为X(t)的Z变换，即,Z = z =X(Z)= X(kT)Z-k,(7-16),7.4.2 Z变换的性质,线性定理,z = a1X1(Z) +a2X2(Z) + ,(7-17),z = Zm,(7-18),z = Z-m X(Z),(7-19),式中a1,a2,为常数。 (2) 实平移定理,(3)复平移定理,z,(7-20),例 已知 , 求X（Z） 解,z,z,(4)复域微分定理,Z,(7-21),例 已知x(t)=t3 ,求 X(Z

7、) 解,Zt =,2,Zt =-TZ,3,(5)初值定理,(7-22),证明：由Z变换的定义有,(6) 终值定理,(7-23),7.4.3 Z反变换,幂级数法 通常Z变换表达式有如下形式：,(7-24),实际的物理系统满足 n,则用综合除法有,X(Z)=,(7-25),由Z变换的定义式可知 则,即为x(z)的原函数 （2）部分分式法 部分分式法又称查表法。它的基本思想是将X（Z）/Z展开成部分分式，,(7-26),然后，查Z变换表，即可求取X（Z）的原函数x(kT),（3） 留数法 由Z变换的定义式有,X(Z)= X(kT)Z = x(0) + x(T)Z + x(2T)Z + 上式两端乘以Z

8、 有,K-1,-k,-1,-2,X(Z)Zk-1 = x(0)Zk-1 +x(T)Zk-2,+ + x(kT)Z-1 + ,(7-27),所以,x(kT) =,根据留数定理，则上式可写成： x(kT) = Res,7.5 采样系统的数学模型,7.5.1 描述离散控制系统的线性差分方程 7.5.2 脉冲传递函数,7.5.1 描述离散控制系统的线性差分方程,线性定常离散系统可以用后向差分方程来描述,y(k) + a1y(k-1) + + any(k-n) = b0r(k) + b1r(k-1) + + r(k-m),(7-28),也可用前向差分方程来描述线性定常离散控制系统,y(k+n) + a1

9、y(k+n-1) + + an-1y(k+1) + any(k) = b0r(k+m) + b1r(k+m-1) + + bm-1r(k+1) + bmr(k),(7-29),求解差分方程常用的有迭代法和Z变换法。 （1）迭代法 若已知线性定常离散控制系统的差分方程式 （7-28） 或式（7-29），并且给定输出,序列初值，则可以利用递推关系，在计算机上一步一步计算出输出序列。,（2）Z变换法 若已知线性定常离散控制系统的差分方程描述，则根据Z变换的实位移定理，对差分方程两边取Z变换，再根据初始条件及给定输入控制信号的Z变换表达式，可求取离散控制系统输出的Z变换表达式，再求输出Z变换的Z反变换

10、表达式，即可求取离散控制系统输出的实域表达式Y(K)。,7.5.2 脉冲传递函数,1. 开环脉冲传递函数,一离散开环控制系统如图7-10所示。,r*( t ),r ( t ),y*( t ),y ( t ),图7-10 开环离散控制系统,脉冲传递函数定义为在零初始条件下，输出Y*(t)的Z变换Y(Z)与输入r*(t)的Z变换R(Z)之比。脉冲传递函数用G(Z)表示，则,(7-30),假定动态环节的单位脉冲过渡函数为h(t)。该环节的输入为r*(t),(7-31),利用线性环节满足叠加原理，无穷多个脉冲作用在线性环节G(s)上，其输出Y(t)为,y(t)=r(0)h(t) + r(T)h(t T

11、) +.+r(nT)h(t nT) +,(7-32),将输出信号离散化，得到,y(kT)=r(0)h(kT)+r(T)h(k-1)T+r(nT)h(k-n)T + = r(nT)h(k-n)T,(7-33),上式两边用乘以eKTS，并求和，得到,(7-35),考虑到前面的给定，当t 0 时，h ( t )=0 ，于是有,(7-36),同理有：,(7-37),所以,(7-38),采样周期与所用时间变量文字描述无关，则上式可改写为,(7-39),即,(7-40),式中,(7-41),若令式中Z = eTS , 则可知,又因 G ( s ) = h ( t ),(7-42),G (Z) = zG (

12、 s ),(7-43),2. 串联环节的脉冲传递函数 1） 两个串联环节间没有采样开关的连接,图7-11 串连环节间没有采样开关,r*(t),Y(t),Y*(t),G1(s),G2(s),等价于下图,r*(t),r ( t ),Y*(t),Y(t),图7-12 等价开环离散系统,有,z,(7-44),将z 记为G1G2(Z),z,(7-45),2) 串连环节间有采样开关连接，且采样开关都是同步采样，如图,r*(t),r ( t ),Y*(t),Y(t),Y1*(t),图7-13 串连环节间有采样开关,z,z,所以,(7-46),3.带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数,r*(t),r ( t

13、),Y*(t),Y(t),图7-14 带零阶保持器开环离散系统,由脉冲传递函数的定义有,G(Z) =z,= z,(7-47),即,(7-48),4.闭环离散控制系统的脉冲传递函数,r(t),e(t),e*(t),d(t),b(t),Y*(t),Y(t),-,+,+,图7-15 带干扰的闭环线性离散控制系统,假定d(t)=0,得到如图7-24所示的结构图,r(t),e*(t),Y*(t),Y(t),图7-16 线性闭环离散控制系统,根据脉冲传递函数的定义可知,(7-49),(7-50),(7-51),将（7-72）代入（7-71），有,(7-52),于是得到：,(7-53),定义误差脉冲传递函数

14、Ge(Z)为,(7-54),将式（7-54）代入式（7-49），有,(7-55),于是得到闭环系统的脉冲传递函数GB(Z)为,(7-56),7.6 离散控制系统分析,7.6.1 线性离散控制系统的稳定性分析 7.6.2 离散控制系统的瞬态响应 7.6.3 离散控制系统的稳态误差,7.6.1 线性离散控制系统的稳定性分析,线性离散控制系统的闭环脉冲传递函数，如图7-17所示,r(t),y* (t),y (t),_,图7-17 线性离散控制系统,可求得为：,GB（Z）=,(7-57),则线性离散控制系统的特征方程为,1+G(Z)=0,(7-58),考察下式,Z = eTs,(7-59),假定在s平

15、面上任有一点,s=+j,(7-60),则通过Z变换，映射到Z平面为,Z= eT .ej T,(7-61),当=0，即s平面的虚轴，对应Z平面的单位圆。,当0，.即左半s平面对应Z平面的单 位圆。,内部区域，即s平面的稳定域映射到Z平面 单位圆内的区域为稳定区域。 当0，.即右半s平面对应Z平面的单位圆外部区域，也即s平面不稳定域映射到Z平面单位圆外的部分为不稳定域。上面映射关系如图7-31所示。 线性离散控制系统稳定的充分必要条件是：线性离散闭环控制系统特征方程（7-58）的根的模小于1，则线性离散控制系统是稳定的。,Re,Re,Im,Im,图7-18 s平面到Z平面映射,7.6.2 离散控制

16、系统的瞬态响应,闭环零极点与瞬态响应的关系: 通常离散控制系统的闭环脉冲传递函数可表示为如下形式,GB(Z)=K =K,(7-62),当系统输入为单位阶跃时，其系统输出Y（Z）为,Y(Z)=K,(7-62),展开成部分分式，有,Y(Z)=K +,(7-63),.,.,(7-64),式中,Ck= K,闭环极点对系统瞬态响应的影响,1) Pk为正实根，对应的瞬态分量,Yk(nt)= Z 1 =CkPkn,令Pk=e aT , a= lnPk 则,yk(nT) = Cke anT,(7-65),若Pk=1，即闭环极点位于右半Z平面上圆周上，闭环系统瞬态响应为等幅脉冲。 若Pk1 , 则闭环极点位于单

17、位圆内，此时a 0,则输出响应呈指数衰减状。,若Pk1，闭环极点位于单位圆外，此时a0, 则输出响应呈指数z增加状。,2) 当Pk为负实根，则对应的瞬态分量为,yk(nT) = CkPkn,(7-66),若Pk= -1,输出响应分量Yk（nT）对应图7-39中d点波形，呈等幅跳跃输出。 若|Pk|1，输出响应分量Yk（nT）对应图7-39中d点波形，呈发散跳跃变化。,3)当Pk,Pk+1为一对共轭复根时,为,Pk= Pk+1=,(7-67),此时,Ck,Ck+1也为一对共轭复数,Ck= Ck+1=,(7-68),则它们对应的瞬态分量Yk,k+1（nT）为,yk,k+1(nT)= + = 2,(

18、7-69),若|Pk|1，则对应的瞬态响应分量为发散正弦振荡，对应图7-40中b点对应的波形。,Im,Re,xb,xb,xa,xa,图7-19 闭环实极点分布与相应瞬态响应,7.6.3 离散控制系统的稳态误差,对于如图7-20所示的单位反馈的闭环离散系统的误差脉冲传递函数Ge（Z）为,r(t),y (t),e*(t),-,Ge(Z )=,(7-70),图7-20 单位反馈闭环离散系统,所以 E(Z )= R(Z),由终值定理，有,(7-71),(7-72),与连续系统类似，根据系统开环脉冲传递函数在Z=1的极点的个数而分为0型、1型、2型系统。,7.7 数字控制器的设计,7.7.1 无稳态误差

19、最少拍系统的 7.7.2 G(z)具有单位圆上和单位圆外零极 点的情况，数字控制器的设计 7.7.3 无纹波无稳态误差最少拍系统的设 设计,7.7.1 无稳态误差最少拍系统的设计,R(t),Y(t),-,图7-21 数字控制系统结构,对于如图7-21所示的系统、闭环脉冲传递函数可求得为,G B(z) =,(7-73),D(z)=,(7-74),设计出的数字控制器D(z)，还必须满足物理可实现条件：数字控制器D(z)分子多项式的阶次不得大于分母多项式的阶次；D(z)没有单位圆上（除有一个z=1的极点外）和单位圆外的极点。,设给定系统输入为,r(t)= t p,(7-75),则其z变换表达式为,R

20、(t)=,(7-76),式中r=p+1，且A(z -1)为z -1的多项式，没有z=1的零点。,系统误差脉冲传递函数 Ge(z)与闭环脉冲传递函数GB(z)存在以下关系:,Ge(z)=1 - GB(z),(7-77),E(z)=1 - GB(z) R(z),(7-78),根据终值定理,e ()= (1-z 1) 1 - GB(z) ,(7-79),为使系统的稳态误差为零，可令,1 - GB(z) =(1-z 1)r F(z 1),(7-80),式中F(z 1)在z=1处无零点,GB(z) =1 - (1-z 1)r F(z 1),= =,(7-81),表7-2 无稳态误差最少拍系统设计结果,7.7.2 G(z)具有单位圆上和单位圆外零极点时数字控制器 的设计,(7-82),当开环脉冲传递函数G(z)有单位圆上或单位圆外零点时，由式,D(z