高考数学理全国通用大一轮复习课件第十篇计数原理概率随机变量及其分布必修3选修23第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差

1、第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差,最新考纲,考点专项突破,知识链条完善,解题规范夯实,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.随机变量和函数有何联系和区别? 提示:联系:随机变量和函数都是一种映射,随机变量是随机试验结果到实数的映射,函数是实数到实数的映射,随机试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域. 区别:随机变量的自变量是试验结果,而函数的自变量是实数. 2.离散型随机变量分布列的性质是什么? 提示:随机变量的各个值对应的概率在0,1上且取所有值的概率之和等于1. 3.离散型随机变量方差的意义是什么? 提示:随机变量的取值与其均值的偏离程度

2、,方差越大偏离程度越大.,知识梳理,1.离散型随机变量的概念与分布列 (1)随机变量:一般地,如果随机试验的结果,可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量.通常用大写拉丁字母X,Y,Z(或小写希腊字母,)等表示,而用小写拉丁字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量取的可能值.所有取值可以一一列出的随机变量,称为 . (2)离散型随机变量的分布列:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x,x,x,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi以表格的形式表示如下:,离散型随机变量,将上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.有时为了表达简单,也用等式P(

3、X=xi)=pi,i=1,2,n表示X的分布列.,(3)离散型随机变量概率分布列的性质: pi0,i=1,2,n;,p1+p2+pn= .,1,2.离散型随机变量的均值 (1)概念:一般地:若离散型随机变量X的分布列为,则称E(X)= 为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,(2)性质:若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的数学期望是E(X),则E(Y)= .,aE(X)+b,3.离散型随机变量的方差 (1)概念:离散型随机变量X的分布列为,(2)性质:D(aX+b)=a2D(X).,4.两点分布和超几

4、何分布 (1)两点分布的分布列、均值和方差,若X服从成功概率为p的两点分布,则均值E(X)=p,方差D(X)=p(1-p).,为超几何分布列,如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.,对点自测,1.抛掷甲、乙两颗骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的基本事件是( ) (A)一颗是3点,一颗是1点 (B)两颗都是2点 (C)一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点 (D)甲是3点,乙是1点或甲是1点,乙是3点或两颗都是2点,D,解析:甲是3点,乙是1点与甲是1点,乙是3点是试验的两个不同结果,故选D.,C,2.某射手射击所得环数X的分布列为,则此射手“射击一次命中环数大

5、于7”的概率为( ) (A)0.28 (B)0.88 (C)0.79 (D)0.51,解析: P(X7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79.,3.投掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则X的期望E(X)=.,解析:X的分布列为,所求的均值为E(X)=-10.5+10.5=0.,答案:0,4.若随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为常数,则其方差D(X)= .,解析:E(X)=c1=c,D(X)=(c-c)21=0.,答案:0,5.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完即为旧的,用完后装回盒中,

6、此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为.,答案:,考点专项突破 在讲练中理解知识,离散型随机变量的分布列,考点一,【例1】 (2015天津卷)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;,(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列.,【即时训练】 从集合1,2,3,4,5的所有非空子集中,等可能地取出一个,记所取出

7、的非空子集的元素个数为,求的分布列.,离散型随机变量的均值(高频考点),考点二,考查角度1:求离散型随机变量的均值,【例2】 (2016天津卷)某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;,(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.,反思归纳 求离散型随机变量均值的步骤:(1)理解随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值; (2)求X的每个值的概率;(3)写出X的分布列;(4)

8、由均值定义求出E(X).,考查角度2:离散型随机变量均值的应用,【例3】 导学号 18702588 在微信群中抢红包已成为一种娱乐,甲、乙两人经常在微信群中抢红包. (1)已知甲在A微信群中发现某位“微友”发放的4个红包中1元的红包有2个、2元和3元的红包各有1个.若该微信群中恰有三人在线,且每个红包都被抢走,每人不限制抢得红包的个数,求甲抢得红包的总钱数为4的概率;,反思归纳 求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,一定要明确每个变量的取值所对应的事件发生的过程,这样才能判断事件的性质,进而选用相应的概率模型求其概率.,离散型随机变量的方差,考点三,【例4】 导学号 18702589 如图,

9、A,B两点由5条连线并联,它们在单位时间内能通过信息的最大量依次为2,3,4,3,2,现将从中任取三条线且在单位时间内都通过最大信息量的总量记为X.求X的均值和方差.,反思归纳 计算离散型随机变量的方差关键是先求分布列,只要知道了分布列,就可以求出均值进而根据公式求出方差.,超几何分布及其应用【高频考点】,考点四,考查角度1:利用超几何分布模型求概率,【例5】 导学号 18702591 在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率等于 的是() (A)P(=2)(B)P(2) (C)P(=4)(D)P(4),考查角度2:求超几何分

10、布的均值,【例6】 导学号 18702593 在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖,某顾客从此10张券中任抽2张,求: (1)该顾客中奖的概率;,(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布列和期望E(X).,反思归纳 超几何分布是非常重要的一个概率分布,它具有极为广泛的应用,其基本特点是总体有A,B两类元素(如男女、正品次品等)组成,从总体中不放回的取出一定数目的元素,其中含有一类元素的个数即服从超几何分布.超几何分布中随机变量取各个值的概率是古典概型,使用古典概型的公式进行计算.,备选例题,【

11、例题】 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式;,(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得表:,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. 若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;,解: (2)由题意知,日需求量n与对应概率如表,由题意知X=60,70,80.且P(X=60)=P(n=14)=0.1,P(X=70)=P(n=15)

12、=0.2, P(X=80)=P(n16)=0.7,所以X的分布列为,X的数学期望E(X)=600.1+700.2+800.7=76.X的方差 D(X)=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44.,若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.,解: 答案一:花店一天应购进16枝.理由如下: 当花店一天购进17枝玫瑰花时, 用Y表示当天的利润(单位:元),则 Y=55,65,75,85,P(Y=55)=P(n=14)=0.1, P(Y=65)=P(n=15)=0.2,P(Y=75)=P(n=16)=0.16, P(Y=85)

13、=P(n17)=0.54.所以Y的分布列为,所以E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4, D(Y)=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+ (85-76.4)20.54=112.04. 综上知D(X)D(Y)且相差较大,虽然E(X)E(Y)但相差不大, 所以一天购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小, 且平均获利基本相同,故花店一天应购进16枝玫瑰花.,答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花,理由如下: 若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),则Y的分布列为,Y的期望为E(Y)=550.1+650.2+7

14、50.16+850.54=76.4, 可知E(Y)E(X),故购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润,故花店一天应购进17枝玫瑰花.,解题规范夯实 把典型问题的解决程序化,求解概率综合题的解题步骤,【典例】 (12分)(2015陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:,(1)求T的分布列与数学期望E(T); (2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.,审题突破,解:(1)由统计结果可得T的频率分布为,满分展示:,以频率估计概率得T的分布列为,从而E(T)=250.2+300.3+350.4+400.1 =32(分钟). 4分,(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”, 由于讲座时间为50分钟, 所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”. P(A)=P(T1+T270)=P(T1=25,T245)+P(T1=30,T240)+P(T1=35,T