高考数学理天津专用二轮复习课件231导数与函数的单调性极值最值

1、2.3导数在函数中的应用,一、导数与函数的单调性、 极值、最值,-3-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,利用导数讨论函数的单调性 【思考】 函数的导数与函数的单调性具有怎样的关系? 例1(2016北京高考)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间.,-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)与1-x+ex-1同号. 令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex

2、-1. 所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)内单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)内的最小值, 从而g(x)0,x(-,+). 综上可知,f(x)0,x(-,+). 故f(x)的单调递增区间为(-,+).,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思利用函数的导数研究函数的单调性的一般步骤: (1)确定函数的定义域. (2)求导数f(x). (3)若求函数的单调区间(或证明函数的单调性),只需在函数y=f(x)的定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0;若已知y=f(x)的单调性,则转化为不等式f(x)0或f(x)0在函数的单调区间上恒成

3、立问题求解.,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,答案,解析,对点训练1设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是() A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,利用导数求函数的极值或最值 【思考】 函数的极值与导数有怎样的关系?如何求函数的最值? 例2已知函数f(x)=ex(x2+ax-a). (1)当a=1时,求f(x)的极值; (2)当a-4时,求函数f(x)在0,3上的最小值.,解：(1)当a=1时,f(x)

4、=ex(x2+x-1), 由f(x)=ex(x2+x-1)+ex(2x+1)=ex(x2+3x)=0,得x=0或x=-3. f(x)在(-,-3)内为增函数,在(-3,0)内为减函数,在(0,+)内为增函数. f(x)的极小值为f(0)=-1,f(x)的极大值为f(-3)=5e-3.,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(2)由f(x)=ex(x2+ax-a)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x=0, 得x=0或x=-a-2(由a-4,知-a-22). 易得f(x)在(-,0)内为增函数,在(0,-a-2)内为减函数,在(-a-2,+)内为增函数; 当-5a-4时,2-a-23,

5、此时f(x)在(0,-a-2)内为减函数,在(-a-2,3)内为增函数, f(x)min=f(-a-2)=e-a-2(a+4). 当a-5时,-a-23,此时f(x)在0,3上为减函数,f(x)min=f(3)=e3(2a+9).,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思1.对于函数y=f(x),若在点x=a处有f(a)=0,且在点x=a附近的左侧f(x)0,则当x=a时f(x)有极小值f(a);若在点x=b处有f(b)=0,且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则当x=b时f(x)有极大值f(b). 2.求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤: (1)求函

6、数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练2已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-,-1上的最大值.,解：(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1

7、)=g(1),且f(1)=g(1),即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3.,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,利用导数求与函数零点有关的参数的取值范围 【思考】 如何利用导数求与函数零点有关的参数的取值范围? 例3已知函数f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x. (1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线; (2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.,-14-,命题热点一,命题热点二,命题

8、热点三,(2)当x(1,+)时,g(x)=-ln x0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)无零点.,故x=1是h(x)的零点; 若a0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数. ()若a-3或a0,则f(x)=3x2+a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调.,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的交点个数问题(或者转化为两个熟悉函数的交点问题),进而确定参数

9、的取值范围.,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练3设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在0,2上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围.,解：(1)函数的定义域为(-1,+),因为f(x)=(1+x)2-2ln(1+x), 由f(x)0,得x0;由f(x)0,得-1x0. 故f(x)的单调递增区间是(0,+),单调递减区间是(-1,0).,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(2)方程f(x)=x2+x+a, 即x-a+1-2ln(1+x)=0, 由g(x)0,得x1;由g(x

10、)0,得-1x1. 所以g(x)在0,1上单调递减,在1,2上单调递增. 为使f(x)=x2+x+a在0,2上恰有两个相异的实根,只须g(x)=0在0,1)和(1,2上各有一个实根, 解得2-2ln 2a3-2ln 3, 故实数a的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3.,-19-,规律总结,拓展演练,1.求函数f(x)的单调递增区间,可转化为求不等式f(x)0的解集;若f(x)在M上单调递增,则f(x)0在M上恒成立. 2.f(x)在区间A上单调递减与f(x)的单调递减区间为A不同,当f(x)在区间A上单调递减时,A可能是f(x)的单调递减区间的一个真子集.若f(x)的单调递减区间为m,

11、n,则在x=m(x=n)两侧导数值异号,f(m)=0(f(n)=0). 3.求可导函数极值的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f(x);(3)求f(x)=0在定义域内的根;(4)判定根两侧导数的符号;(5)下结论. 要注意函数的极值点对应的导数为0,但导数为0的点不一定是函数的极值点,必须是导数为0的点的左右附近对应的导数异号.,-20-,规律总结,拓展演练,4.求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值;然后比较其大小,得出结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值). 5.对于研究方程根的个数的相关问题,利用导数这一工具和数形结合的数学思想

12、就可以很好地解决.这类问题求解的通法是:(1)构造函数,并求其定义域;(2)求导数,得函数的单调区间和极值点;(3)画出函数图象的草图;(4)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数的图象与x轴的交点情况进而求解.,-21-,规律总结,拓展演练,1.(2016河北衡水二调)下列四个函数中,在x=0处取得极值的函数是() y=x3;y=x2+1;y=|x|;y=2x. A.B. C.D.,答案,解析,-22-,规律总结,拓展演练,2.(2016四川高考)设直线l1,l2分别是函数 图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是() A.(0,1)B.(0,2) C.(0,+)D.(1,+),答案,解析,-23-,规律总结,拓展演练,3.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)在点P处的切线垂直,则P的坐标为.,答案,解析,-24-,规律总结,拓展演练,4.(2016全国甲高考)(1)讨论函数f(x)= ex的单调性,并证明当x0时,(x-2)ex+x+20; (2)证明:当a0,1)时,函数g(x)= (x0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.,解：(1)f(x)的定义域为(-,-