自动控制力理论第五章.ppt

1、5-2 典型环节的频率特性,第五章 控制系统的频域分析,5-1 频率特性和时域响应的关系,5-3 系统开环对数频率特性的绘制,5-4 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性,5-5 系统的闭环频率特性,例：如图所示电气网络的传递函数为,若输入为正弦信号：,其拉氏变换为：,输出拉氏变换为：,其拉氏反变换为：,一、频率特性的定义,5-1 频率特性,其稳态响应为：,上式表明：,对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。,输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入为Xej0，输出为Yej，则输出输入之复数比为：,幅值频率特性,相角频率特性,频率特性的定义：,线性定

2、常系统（或元件）的频率特性是指：在零初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复数比。,例题中输入信号的复数表示为：,例题中输出信号的复数表示为：,它们之比为：,幅频特性和相频特性数据,频率特性G(j)也可以表示成实部和虚部的复数形式。,二、频率特性与传递函数的关系,线性定常系统的传递函数表达式为,输入为r(t)=Msin(t)，,若无重极点，上式可写为,若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：,G(j)是一复数，可写为,得到线性系统的幅频特性和相频特性：,频率特性和传递函数的关系为,三、频率特性的几种图示方法,1. 幅相频率特性曲线,它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐标图。

3、又称Nyquist曲线。,系统的频率特性可表示为：,对某一固定频率1,在极坐标系中画出该向量。,从-+变换时该向量在极坐标系中形成的曲线，称为Nyquist曲线。,实频特性是的偶函数，虚频特性是的奇函数。为什么？,惯性环节G(j),() = -tg-10.5 ,0,1,-14.5,0.97,-26.6,0.89,-45,0.71,-63.4-68.2 -76 -84,0.450.370.240.05,2. 对数频率特性曲线（Bode图）,在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成。,频率的对数分度,半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。,十倍频程,十倍频程,十倍频

4、程,十倍频程,十倍频程,对数幅频特性：,指G(j)的对数值20lg|G(j)|和频率的关系曲线。,对数相频特性：,指G(j)的相角值()和频率的关系曲线。,即纵坐标,L()称为对数幅值，单位是dB(分贝)。,纵坐标是的单位是“”。采用线性刻度。,3. 对数幅相特性曲线（Nichols图),由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。,可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征参数，作为评估系统性能的依据。,（一） 比例 环节,5-2 典型环节的频率特性,-20dB/dec,（二） 积分环节,L1(w),（三） 惯性环节,wt 1的近似线 斜率-20dB/dec, 与零分贝线交于 处,惯性环节的对数幅频特

5、性通常用折线近似:, 绘制惯性环节的Bode图方法,L(),绘制 惯性环节 的Bode图 的方法,2、wt1部分画0dB/dec线,3、延长至1/t处斜率转折为-20dB/dec线,1、找出w1/t,称 w=1/t 转折频率,相频特性不能用近似特性,惯性环节极坐标图,G(jw)幅值随w增加而变小， 幅角从0-90量末端，矢轨迹是个半圆,对照BODE图,w=0处实部1,1,20dB/dec,（四） 微分环节,传递函数与积分环节互为倒数，它们的Bode图以实轴相互对称；而一阶微分环节则与惯性环节对称。,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,（五） 振荡环节,对数幅频特性 低频段0dB/dec线，

6、过转折频率 1=1/ 后斜率变为-40dB/dec直线,振荡环节Bode 图,幅频特性精确曲线与大小有关,因此，近似曲线应根据值进行修正；误差最大发生在=1/处。,相频特性曲线也与大小有关,L()|=1/= -20lg(2),（六） 迟后环节,迟后环节的Bode图,=0,极坐标图：,典型环节的极坐标图：,5-2完,CTRL_0521.ctr,二阶振荡环节,一 系统开环对数频率特性的绘制,前式两边取对数再乘20，得,系统开环频率特性大都是典型环节串联起来的,5-3 系统开环频率特性的绘制,这样，系统的对数幅频特性、 相频特性分别是串联 典型环节的对数幅频 特性、相频特性相加,系统可看成三个环节串

7、联：一个比例环节、两个惯性环节,系统相频特性通过表达式计算描点,分析： 系统开环传函由三个典型环节组成，其对数幅频特性 的近似特性由三段组成； 转折处频率就是两个惯性环节的转折频率（=1/T）； 经过一个惯性环节转折频率后，对数幅频特性的近似特性的斜率增加 -20dB/dec;,二、0型系统开环频率特性绘制, 低频段斜率为0，幅值为,中、高频段每遇到一个转折频率，斜率变化一次。转折频率所提供的斜率增量为： 惯性环节： -20dB/dec； 一阶微分环节： +20dB/dec； 二阶微分环节： +40dB/dec； 振荡环节： -40dB/dec。,系统相频特性通过表达式计算描点，逐点叠加。,绘

8、制L()例题,-20,-40,-20,-40,c-剪切频率,0.5,2,8,12dB,-20,-40,-20,-60,二、I型系统开环频率特性绘制, 低频段斜率为20v(dB/dec) ，低频段或低频段的延长线过（1,20lgk)和,中、高频段每遇到一个转折频率，斜率变化一次。转折频率所提供的斜率增量为： 惯性环节： -20dB/dec； 一阶微分环节： +20dB/dec； 二阶微分环节： +40dB/dec； 振荡环节： -40dB/dec。,系统相频特性通过表达式计算描点，逐点叠加。,三. 最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统,1. 最小相位传递系统,系统的传递函数G(s)的全部

9、极点位于s平面的左半部，没有零点落在s的右半平面 。,2. 非最小相位系统,系统传递函数G(s)的全部极点均位于s平面的左半部，但有一个或多个零点落在右半s平面上，则这种函数称为非最小相位传递函数。,3. 开环不稳定系统：系统传递函数G(s)有一个或多个极点落在s平面的右半部。,最小相位系统在具有相同幅频特性的一类系统中，当从0变至时，最小相位系统的相角变化范围最小。,例：,最小相位系统的特点：,（1）最小相位系统的幅频特性和相频特性是密切相关的。,若L()特性的斜率变得更负，则对数相频特性的相位也要朝着更负的方向变化；,若L()特性的斜率向正的方向变化，则对数相频特性的相位也将向正的方向变化

10、。,(2)对于最小相位系统，对数幅频特性和相频特性是一一对应的。对于最小相位系统一般只画出幅频特性就够了，而对于非最小相位系统，要同时画出幅频和相频特性。,5-4 乃奎斯特稳定性判据 和系统的相对稳定性,一、幅角原理 二、乃奎斯特稳定性判据 三、虚轴上有开环零点时的乃奎斯特稳定性判据 四、乃氏曲线和Bode图的对应关系 五、相对稳定性和稳定裕量,一、幅角原理,S1代入F(S) 得F(S1)， S2代入F(S) 得F(S2)； S沿s连续变化一周（不穿过F(S) 的极点）， 则F(S)沿 封闭曲线F连续变化一周,Re,Im,Im,Re,F,S,F(s),S2,j,S1,s不包围F(s)的零点，(

11、S-Zi)不积累角度,s包围一个F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化一周，(S-Zi)的相角积累 -2,或者说，F顺时针绕F平面零点一周,s包围 Z个F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化一周，(S-Zi) 的相角积累Z * (-2) 或者说， F顺时针绕F平面零点Z圈,如果： s包围一个F(s)的极点，当S1沿s顺时针连续变化一周，因为Pi 映射到F(s)上是在无穷远，因此，F逆时针绕F平面零点一周；( S-Pi )的相角积累是2角度,s包围P个F(s)的极点，当S1沿s顺时针连续变化一周，F逆时针绕F平面零点P周，S-Pi积累的相角为2*P,s包围P个F(s)的极点， 又包围Z个F(

12、s)的零点， 当S1沿s顺时针连续变化一周后， F顺时针绕F平面零点（Z-P）周，或： F逆时针绕F平面零点（P- Z ）=N周,积累的相角为2*P,积累的相角为 -2*Z,幅角原理： 设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析函数，若在S平面上任选一条封闭曲线s ，并使它不通过F(s)的奇点，则 s 映射到F(s) 平面上仍为一条封闭曲线F ；当解析点S1沿s顺时针连续变化一周时，则从F平面原点指向F 上对应点的向量F(s1)按逆时针方向旋转周数N等于S包含F(s)的极点数目P与零点数目Z之差，即N=P-Z 当PZ则N0， F逆时针包围零点N圈 当PZ则N0 ，F顺时针包围零点N圈 当P=

13、Z则N=0 ，F不包围零点,二、乃奎斯特稳定性判据,乃奎斯特稳定性判据思路:,根据系统闭环特征根的位置可以判定系统的稳定性： 如果根平面的右半面有闭环根，则系统闭环不稳定；,在根平面上作一条闭合曲线包围整个右半面，根据幅角原理，如果右半面有闭环根（F(s)的零点），在F(s)平面上，该闭合曲线映射的曲线就会包围原点。,但也可能还会有开环极点（F(s)的极点）在右半面，那麽，F(s)平面上，映射的曲线包围原点的圈数就会两两抵消，只能获得零极点数之差的信息。,根据F(s)的表达式,它的极点就是开环极点,右半面有否F(s)的极点很容易知道。综合判定根平面在右半面含有零点的数目,从而判定系统的稳定性。

14、,这里有一个关键问题： 包围S平面整个右半平面的曲线映射在F(s)平面上形状如何？,顺时针包围整个右半面曲线， S从 0 j j（正虚轴），然后，顺时针绕过180 到 -j -j 0 （负虚轴）,在S从0j j变化时， F(s)|s=j=F(j)=1+G(j)H(j),在S从-j -j 0变化时， F(s)|s=-j=F(j)=1+G(-j)H(-j)， 它与F(j)共轭,包围S平面整个右半平面的曲线,-j,j,开环频率特性,负频率特性,根平面上S 沿正虚轴变化，在G(j)H(j)平面上就是乃氏曲线从0 (实频特性)，而沿负虚轴变化是虚频特性。,映射到F(s)平面上的曲线 F(j)=1+G(j

15、)H(j),G(j)H(j),包围S平面右半平面的曲线映射到F(s)平面上的曲线可以使用乃氏曲线(包含实频特性和虚频特性，在远处映射到F(s)的零点)，曲线是否包围F(s)平面上的原点就相当于是否包围G(j)H(j)的(-1,j0)点。,封闭曲线“包围F(s)的原点”= “ 包围 G(j)H(j)平面的(-1,j0)点”,也就是幅角原理修改为： 在G(j)H(j)平面上乃氏曲线当 从- 0 变化，按逆时针方向包围（-1，j0）点的圈数等于F(s)的极点数目P与零点数目Z之差，即N=P-Z,在上面的G(j)H(j)图中，曲线没有包围（-1，j0）点，N=0，可知F(s)的零、极点在右半面上的个数

16、相等（P=Z）。要判定F(s)的零点在右半面上的个数必须知道P（极点在右半面上的个数）,由闭环特征方程：,所以，公式N=P - Z,而F(s)的极点就是开环极点,F(s)的零点就是闭环极点,由开环传函判定极点在右半平面的个数P,由乃氏曲线判定按逆时针方向包围(-1,j0)点的圈数N,算出闭环极点在右半平面的个数Z,乃奎斯特 稳定性判据,闭环系统稳定的充要条件是： 当从- 到+变化时，系统的开环频率特性 G(j )H(j )按逆时针方向包围（-1，j0）点 P 圈。,N = P - Z Z = P - N,系统的开环频率特性 G(j )H(j )按逆时针方向包围（-1，j0）点计正值。 NP使Z

17、为零，说明S平面右半面没有没有F(S)的零点（即没有闭环极点） 由此判定系统闭环稳定。,1、根据系统开环传函，可知 P 值（在右半平面 的开环极点个数）,2、绘制乃氏曲线，从-到+，判别逆时针包围 （-1，j0）点的次数N也就知道包围零、极点个 数之和(P-Z),3、公式 N=P-Z 求出Z， Z=0 则系统稳定， 否则（不管正负）不稳定,若P=0(即,系统开环稳定)时,上述条件简化为当从- 到+变化时,系统的开环 频率特性G(j)H(j)不包围(-1,j0)点。,乃奎斯特 稳定性判据的应用,比如：已知系统开环频率特性,试判别闭环稳定情况。,如果：提高系统增益,曲线就 可能包围(-1, j0)

18、点(N0)， N=P-Z 得 Z 0，所以该 系统闭环就不稳定； 当改变K使曲线正好穿过 (-1, j0)点，此时系统临界稳定。,1、根据系统开环传函，可知 P0,2、绘制乃氏曲线（与K大小有关）,3、K小曲线不包围 (-1, j0)点， 所以该系统闭环稳定；,G(j)H(j),有时,仅用实频特性就够了。,三、虚轴上有开环极点时的乃奎斯特稳定性判据,虚轴上有开环极点时，S平面上做封闭曲线时通过了极点，映射到F(s)平面后曲线不会封闭，因此，应作修正,虚轴上有开环极点（比如，图中系统有积分环节）的时候， 在S平面上该极点附近做一个小半圆绕过它。,乃氏路径变为： 从- 0-00+ 顺时针-形成封闭

19、曲线,路径上的小半圆对乃氏曲线有较大影响。,原点有开环极点，系统有积分环节，其频率特性 S1/jw,在w0附近完全由积分 环节决定。 例：,G(j)H(j),完整的乃氏曲线：,计算包围圈数：,顺时针包围了两次，N2,原点有两个开环极点,为什麽 w0+画在第二象限？,四、乃氏曲线和Bode图的对应关系,Bode图实轴增益 为零，对应乃氏 曲线是单位圆,增益为零时的频率称穿越（剪切）频率,相角=-180时的频率称相角穿越频率,对应点,. 5-37 .,五、相对稳定性和稳定裕度,例如：某最小相位系统的乃氏图如右：,由图可知：,1、若P=0，则该系统是 稳定的(N=0),2、该系统最简的传函是：,3、

20、增加K值，在K=Kf时，曲线通过（-1, j0）点，这时系统处于临界稳定,可见：曲线在(-1,j0)点右侧穿越负实轴，系统稳定，离该点越远相对越稳定,4、增加K值时,曲线往 左扩 张,KKf时包围(-1, j0)点， 使系统不稳定,KKf,相对稳定性用两个参数来衡量：,1) 在=c处，|G(j)|=1, 若系统稳定 g=180+(j)应0,2) 在=g处， (j) = -180, 若系统稳定 Kg=1/A()应1,g 称为相角稳定裕度 （ g 越大相对稳定性越好） Kg称为幅值稳定裕度（ Kg越大相对稳定性越好）,幅值穿越频率,相角穿越频率,相对稳定性是用两个参数来衡量的，稳定性度大， 必须两个参数都要大,在Bode图中， 稳定裕度描述如图：,稳定裕度在Bode图中的描述,因为，在对数幅频特 性图中，纵坐标是用增益刻度，所以，幅值稳定裕度Kg用 h= - 20lg(1/A()来表示,因此，和Kg一致，h 越大，则相对稳定裕度就越大,上图系统 0, h0, 闭环是稳定的,右图系统闭环不稳定： 0, h0,K， 相频特性不变， 幅频特性下移， 导致w