模糊数学1-绪论-2008

1、模 糊 数 学Fuzzy Mathematics,李因武,吉林大学,李因武,工作单位 吉林大学生物与农业工程学院吉林大学地面机械仿生技术教育部重点实验室,联系方式 联系电话85095575-8710 电子邮件： 办公地点：吉林大学南岭校区交通楼710室,课件邮箱： 密码: mhsxjd 网易网盘 模糊数学课件,主要参考教材,1、应用模糊数学方法杨印生， 吉林人民出版社 ，2001 2、 工程模糊数学及其应用李士勇， 哈尔滨工业大学出版社 ，2004 3、 模糊性精确性的另一半刘应明， 清华大学出版社 ，2000 4、 计算智能的数学基础褚蕾蕾， 科技出版社 ，2002

2、,网上资源：模糊逻辑技术及其应用（山东大学） 94/mhlj/index.html,吉林大学图书馆超星数字图书馆,主要内容,绪 论 第一章 模糊集合的一般概念 第二章 模糊关系 第三章 模糊综合评判 第四章 模糊性及其度量 第五章 模糊逻辑与模糊推理 模糊数学的应用,绪 论,一、模糊数学的产生 1. 模糊性及其客观性 2. 模糊数学的产生 二、模糊数学的研究内容 1. 理论研究 2. 逻辑研究 3. 应用研究 三、模糊数学的发展,一、模糊数学的产生,1. 模糊性及其客观性,概念： 内涵：符合此概念的对象所具有的共同属性 即区别于其他概念的全体本质属性 外延：

3、符合此概念的全体对象,“人”的内涵：思维、语言、制造、使用工具 “人”的外延：古今中外的一切人 “法定年龄” ，“大于9的自然数”，“一粒种子”,一、模糊数学的产生,1. 模糊性及其客观性,“一粒种子” 、“一堆种子” “秃”和“非秃”,N=1、2等时为真；能否找到K0当N=K0时为真, 而N=K0+1不为真； 例如种子或头发的数量： K0=123585,回顾数学归纳法：N=1时为真；且当N=K时为真, N=K+1亦为真； 则无论N取何值均为真,一、模糊数学的产生,“一堆种子”的外延是不确定的！ “秃”和“非秃” 两个概念的区别是渐变的 “一粒”和“一堆”两个概念的区别是渐变的 客观差异的中间

4、过渡性导致划分的不明确性 举例：“冷和热” ， “高和矮” ， “胖和瘦” “少年和青年”,1. 模糊性及其客观性,一、模糊数学的产生,模糊性（Fuzzy）： 客观事物差异的中间过渡中的不分明性 模糊概念：没有明确外延的概念 模糊数学：用严密的数学方法研究和处理 具有模糊性现象的数学理论和方法 尽量如实地反映人们使用模糊概念的本来含意 L.A.Zadeh：美国加利福尼亚大学教授，控制论专家，数学家 1965年，信息与控制杂志 “Fuzzy sets”,1. 模糊性及其客观性,突破经典数学的基础集合论 ，用数学的观点来刻划模糊事物,一、模糊数学的产生,2. 模糊数学的产生,历史原因：系统的复杂性

5、 微积分，力学、电磁学，万有引力定律 多变量、非线性、时变的大系统：复杂性、精确性形成了尖锐的矛盾 互克性原理（不相容性原理 ）： 当系统的复杂性日益增长时，我们做出系统特性的精确而有意义的描述能力将相应降低，直到达到这样个阀值，旦超过它，精确性和有意义性将变成两个几乎互相排斥的特性。,一、模糊数学的产生,复杂性与精确性的矛盾 复杂性升高，精确性降低 考虑最重要的部分，忽略一些所谓的次要因素 对系统的描述带来模糊性 复杂性升高，模糊性增加，精确性降低 复杂性升高，模糊性增加，保持或提高精确性,2. 模糊数学的产生 历史原因：系统的复杂性,一、模糊数学的产生,2. 模糊数学的产生,直接原因：信息

6、技术的智能化 智能化： 在信息获取、处理、利用上模仿人的智能、行为能力和生命进化的过程 “听懂”人类语言，“看清”文字图像，与人 “说话交流”，学习、辨识、理解、联想、推理、优化。 举例： “把电视调得更清楚一些”、“大胡子”,数理逻辑：人类对其思维方式的模拟； （符号主义） 神经网络：人类对其大脑信息处理机制的模拟；（连接主义） 遗传算法：人类向其自身的演化这一过程学习。（进化主义）,一、模糊数学的产生,2. 模糊数学的产生,“软”科学和交叉科学的需要： “硬”科学：自然科学和工程技术科学 “软”科学：人文、社会科学 系统科学、管理科学、运筹学等交叉科学 需要 定性方法与定量方法相结合,定性

7、要靠专家的意见，但专家意见是实践经验的概括，有点模糊,二、模糊数学的研究内容,三个方面：理论研究、逻辑研究、应用研究 1. 理论研究 研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系 集合 修改和推广 模糊集合 运算、变换规律 模糊群论、模糊概率、模糊图论、模糊环论以及模糊拓扑学,二、模糊数学的研究内容,2. 逻辑研究：研究模糊语言学和模糊逻辑 特点：（1）较多地移植了数理逻辑的思想和方法 （2）围绕应用，具有丰富的模糊推理方法 将人类的语言和思维过程提炼成数学模型 （输入指令，建立合适的模糊数学模型 ） 二值逻辑 多值逻辑 模糊逻辑 举例：“今天的天气有点凉”,二、模糊数学的研究内容,3

8、. 应用研究 模糊方法： 模糊模式识别、模糊综合评判、模糊聚类分析和模糊规划方法、模糊决策方法、模糊评价方法，是模糊概念和模糊表述方式在管理科学、控制论和聚类分析中的应用。 模糊技术：设备投资、产业化特征 模糊控制 将0，1事物0,1化，模糊探测仪、模糊家电,三、模糊数学的发展,1974年，英国曼达尼（E.H.Mandani）教授率先将模糊逻辑应用到蒸汽发电机的压力和速度控制中，取得了比常规的PID控制更好的结果。 有关模糊理论与应用的杂志、特刊有数十种，论文数千篇。此外还有数以百计的应用实例。仅在家用电器方面，就已生产出了模糊热水器、模糊电饭锅、模糊空调器、模糊洗衣机、模糊吸尘器、模糊电冰箱

9、、模糊微波炉、模糊摄录一体机、模糊彩色电视机、模糊空气净化器、模糊电动剃须刀等等。 2007年4月17日，中国期刊全文数据库：19802007 模糊：109310 ；模糊数学：17444 ；模糊控制：19456 ； 模糊统计：2975 ；模糊逻辑：6481 ；模糊综合评判：8886 ；模糊聚类分析：4207 ；模糊模式识别：2132,三、模糊数学的发展,1983年,中国在武汉成立了模糊数学与系统学会,出版发行模糊系统与数学杂志。 1994年，国家经贸委，模糊控制技术在洗衣机上的应用，江门金羚集团。 金羚集团和华南计算机公司合作，设计开发带有布量、布质、脏污程度、脏污性质和温度等完备传感功能的X

10、QB55-30型模糊控制全自动洗衣机。,三、模糊数学的发展,模糊洗衣机的工作过程：洗衣机、传感器、电脑 不同种类的布料洗涤时间不同 冬夏两季水温不同 脏肮程度洗涤液剂量不同 根据 洗涤液透明度 判断 衣物脏肮程度、脏肮性质（泥或油类） 识别 设定最佳洗涤时间：洗净衣物、不伤布料,三、模糊数学的发展,模糊数学的不足： 隶属函数的确立方法 大多用主观判定和模糊统计的方法 没有建立完善的公理体系 牛顿，希尔伯特，数学分析，200年,模糊数学只有40多年的历史,第一章 模糊集合的一般概念,1.1.1 集合的基本概念,1.1 模糊子集的定义及运算 1.2 水平截集、分解定理、扩张原则 1.3 最大隶属原

11、则及其应用 1.4 隶属函数的确定,1.1.1 集合的基本概念,论域(universal set) ：讨论所涉及到对象的全体，也称为全集。通常用大写的英文字母U，V，W，X 、Y、 Z 等表示论域。 元素(member或element) ：论域中的每个对象。 通常用小写的英文字母u, v, w，x，y 等表示元素。 集合(Set) ：给定论域U和某一性质P， U中具有性质P 的元素组成的全体。通常，用大写的英文字母A, B, C 等表示集合。,包含有限个元素的集合，称为有限集或有穷集(finite set )； 包含无限个元素的集合，称为无限集或无穷集(infinite set )。 存在一个

12、没有任何元素的集合，称为空集(empty set ) ，记为 。 例：所有英文字母组成的集合是有限集，整数集合是无限集，不及格集合为空集。,有限集 、无限集 、空集,列举法；将集合中的元素一一列举，或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征，例如：A=a,e,i,o,u 或B=1,4,9,16,25,36。 描述法 ；通过描述集合中元素的共同特征来表示集合，例如： A= x|x是元音字母 ，B= x|x=n 2 , n 是自然数,集合的表示法,文氏图(Venn Diagram)用一个大的矩形表示论域（全集），在矩形内画一些圆或其它的几何图形，来表示集合，有时也用一些点来表示集合中的特定元素。 例

13、如：集合A=a,e,i,o,u ，用文氏图表示如下:,U,V,a,u,设A是一个集合，a是集合A中的元素，记以aA，读作a属于A；若a不是集合A中的元素，则记以aA，读作a不属于A。 例如：A是正偶数集合，则2A，8A，36A；而 3A，9A，17A。,属于(belong to),设集合S=A|A是集合，且AA 集合S由一切不是自身元素的集合所组成 若SS，则S是集合S的元素，则根据S的定义，有S S，与假设矛盾； 若SS，则S是不以自身为元素的集合，则根据S的定义，有SS，与假设矛盾。,罗素悖论(Russells paradox),罗素悖论说明经典集合论有漏洞！,理发师的故事：不给自己刮脸的

14、人刮脸；只给 所有自己不刮脸的人刮脸。,当两个集合A和B的元素完全一样，即A，B实际上是同一个集合时，则称集合A，B相等，记以A=B。 例：设A=x|x是偶数，且0x10，B=2,4,6,8，则A=B。,定义1.1.1 集合相等,设A，B是两个集合，若A的元素都是B的元素，则称A是B的子集，也称B包含A，或A包含于B，记以A B，或B A 。 若AB，且AB，则称A是B的真子集(proper subset)，也称B真包含A，或A真包含于B，记以AB，或B A 。,定义1.1.2 子集(subset),设A=2,4,6,8 ，B= x|x是正偶数， C=x|x是整数,则有A B，B C，AC,并

15、且A B，B C，A C 。 A的元素自然都是A的元素，A是自身的子集。,示例：,注意： 论域（全集）中的每个对象称为元素，我们所讨论的集合都是由论域（全集）中的元素组成的，集合自然而然是全集的子集 。,设A 是集合，A的所有子集为元素构成的集合称为A的幂集，记以P (A) 。 P (A) =S|S A 特别地：论域U的幂集记为P (U) ，论域U的任一子集A有两种记法： A U 或 A P (U) 例： A=a,b,c ，则 P (A) =,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c,定义1.1.3 幂集 (power set),设A，B是两个集合。所有属于A或者属于B的元素做成的集合，

16、称为A和B的并集，记以AB。即AB=x|xA或xB 例如，令A=a，b，c，d ，B=c，d，e，f ，于是AB=a，b，c，d，e，f。,定义1.1.4 集合的并集(Union),并集的文氏图,A,B,AB,设A，B是两个集合。由属于A又属于B的元素组成的集合，称为A和B的交集，记以AB。即AB=x|xA且xB 例如，令A=a，b，c，d，B=c，d，e，f ，于是AB=c，d。,定义1.1.5 集合的交集(Intersection),交集的文氏图,A,B,AB,设A是一个集合，全集U与A的差集称为A的余集或补集，记以AC。即AC=U-A 例如，令U=a，b，c，d，e，f ，A=b，c ，

17、于是AC=a，d，e，f 。 特别，,定义1.1.6 集合的补集(Complement),补集的文氏图,A,A的补集,U,A,C,幂等律： AA=A，AA=A。 交换律： AB=BA，AB=BA。 结合律： (AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)。 分配律： A(BC)=(AB)(AC)，A(BC)=(AB)(AC)。 吸收律： A(AB)=A，A(AB)=A。,对于任意集合A,B,C有如下算律：,互补律： 摩根律： 同一律：UA=A，A=A。 零一律： A=，UA=U。 双重否定律：,1 模糊子集的定义及运算 1.1 模糊子集的定义及运算 1.1.1 集合的基本概念 1.1.2 特征

18、函数,在集合论中，考察集合的着眼点是论域中元素对该集合的从属关系，而对元素本身的具体性质并不关心。,一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都有可能纳入集合描述的数学框架。,对于普通集合而言，给定论域U及其中的任意一个子集A, 论域U中任一元素 ，只有 和 两种情况，非此即彼，满足排中律。这种特性可用从U 到二元集合0,1的映射来描述。,定义1.1.7 特征函数,给定论域U，对于论域U上的任意一个子集 A（ A P (U) 或 A U ）,定义一个从论域U 到二元集合0，1的映射 :,称 为A的特征函数， 为元素 对子集 A的隶属程度，简称隶属度。,特征函数是从论域U到二元集合0，1的映射 ，如图所示：,显然，只要给出论域U的一个子集 A，就唯一地确定一个A的特征函数 ； 反过来，给出U 中一个特征函数 ，也唯一地确定了U 的一个子集 A 。,注意：,一