概率统计课件第1章

1、第1章 随机事件及概率,第1章 随机事件及概率,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,2,1.1 随机事件及其运算 1.2 事件的频率与概率 1.3 古典概型和几何概型 1.4 条件概率 1.5 事件独立性,第1章 随机事件及概率,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,3,1. 确定性现象（决定性现象）：在一定条件下必然发生(或必然不发生)某一确定结果的现象如 “早晨，太阳从西方升起”；“同性电荷互相吸引”,2. 随机现象：在一定条件下可能出现多种结果，但事先又不能肯定出现哪种结果的现象例如：“抛掷一枚均匀硬币，可能出现正面，也可能出现反

2、面，掷前无法确定会出现哪一面”； “幸运抽奖时，一张奖券可能中奖，也可能不中奖，事前无法预知” ,自然界的现象可以分为如下两种：,1.1.1随机试验,在相同条件下，对随机现象进行大量重复性试验，各种结果出现的可能性会呈现出某种规律性，这就叫做随机现象的统计规律性.,(1)在相同的条件下可以重复进行； （可重复性）,(2)每次试验的可能结果不止一个，且在试验之前已知道试验的所有可能结果；（不唯一性）,(3)进行一次试验前不能确定将会出现何种结果(不确定性）,定义1 具有下述3个特点的试验称为随机试验，简称试验，用E表示 ,1.1 随机事件及其运算,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社

3、, 2014.2,4,E7：在单位圆中任取一点，记录其坐标.,E1：上抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；,E2：上抛两枚硬币并观察出现正面和反面的情况；,E3：掷一颗骰子,观察出现的点数；,E4：在一班级选一学生,观察其高数期末考试的得分;,E5：记录某市110报警台每天收到的报警电话数;,E6：从一批电子元件中任取一只，测试其使用寿命；,例1 下面列举一些随机试验的例子：,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,5,例2 在例1中各随机试验对应的样本空间分别为:,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,6,定义2 随机试验E中所有可

4、能出现的结果组成的集合称为E的样本空间，记为样本空间的元素称为样本点，记为，即有= ,1.1.2 样本空间,1=H，T，H=出现正面，T=出现反面；,2=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T);,3=0, 1, 2, 6 ；,4=0, 1, 2, 100 ；,5=0, 1, 2, 3, ；,6= t | 0t T，T为这批元件最长使用寿命；,7= (x,y) | x2+y21.,根据样本点数不同,样本空间可分为有限集或无限集.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,7,定义3 随机试验E的样本空间的子集为E的随机事件，简称事件，常用大写字母A，B，C，表示在

5、每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时就称这一事件发生,1.1.3 随机事件,一个样本点组成的单点集合，称为基本事件，例如，试验E1有两个基本事件H和T；试验E3有6个基本事件0，1，6 ,定义4 每次试验都必然发生的事件称必然事件,也即样本空间;每次试验都必然不发生的事件称为不可能事件,也即空集.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,8,定义5 如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于B或事件B包含A，记作A B或B A。,1.1.4 事件的关系与运算,设为试验E的样本空间，而A、B、Ak是的子集,定义6 若A B且B A，则称事件A与B相等

6、, 记作A=B即A、B中含有相同的样本点。,定义7 “事件A与B中至少有一个发生”称为事件A与B的和或并，记作AB。,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,9,定义8 “事件A与事件B同时发生”称为事件A与B的积或交，记作AB或AB 。,定义9 若事件A与B不可能同时发生，则称事件A与B互不相容或互斥，即AB= ,也就是说AB是一个不可能事件.,定义10 若事件A与B满足条件AB=，AB= ，则称事件A与B互为对立事件或互为逆事件常将A的对立事件,定义11 由属于事件A而不属于事件B的样本点组成的集合称为事件A与B的差,记作A-B。,多个事件的并： “n个事件A1,

7、 A2, , An中至少有一个发生”也是一事件，称为事件A1, A2, , An的和或并，记作,“可列个事件A1, A2, , An 中至少有一个发生”也是一事件,称为A1, A2, , An 的和或并，记作,多个事件的交： “n个事件A1, A2, , An同时发生”也是一事件，称为事件A1, A2, , An 的交或积，记作,“可列个事件A1, A2, , An 同时发生”也是一事件, 称为A1, A2, , An 的交或积，记作,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,10,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,11,例3 抛掷一枚骰

8、子，观察其点数的情况. 设A=出现的点数是6，它是一个基本事件；设B表示出现偶数点的事件，则B是一个随机事件；设C=出现的点数不超过6，因为任何一次试验其结果都不超过6，所以C是一个必然事件，即C= ；设D=出现的点数是7，显然它是不会发生的，是一个不可能事件，即D= .,.,例4 如例3中抛掷骰子试验中，有 ，若再设E=出现的点数是2,4,6，则有B=E.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,12,.,例5 在抛掷骰子的试验中，记事件A=出现的点数小于4，事件B=出现的点数是奇数，则AB=出现的点数为1，2， 3，5，而AB=出现的点数是1，3.,例6 在一个班

9、级中选一名学生, 观察他的高等数学课程期末考试的得分. 令A=得分60分，B=得分60分，则AB=，且AB=，所以B=,.,例7 某种圆柱形零件的长度与外径都合格时才算合格，事件A表示“长度合格”，事件B表示“外径合格”. 则差事件A-B表示“长度合格但外径不合格”.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,13,事件运算的性质:,(2) 交换律,(3) 结合律,(4) 分配律,(5) 对偶律(De. Morgan公式),(1) 幂等律,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,14,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014

10、.2,15,记号 概率论 集合论 样本空间, 必然事件 全集 不可能事件 空集 样本点 元素 AB A发生必然导致B发生 A是B的子集 AB= A与B互不相容 A与B无相同元素 AB A与B至少有一发生 A与B的并集 AB A与B同时发生 A与B的交集 AB A发生且B不发生 A与B的差集 A不发生、对立事件 A的余集,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,16,例8 某重型机械厂一周内生产了三台挖掘机，设事件Ai 表示 “出厂时经检验第i台挖掘机合格”，i=1,2,3，试用A1,A2,A3表示下列随机事件.,1）第1台挖掘机合格；2）只有第1台挖掘机合格； 3）恰

11、有1台挖掘机合格；4) 恰有2台挖掘机合格； 5）至少有1台挖掘机合格；6）至多有1台挖掘机合格.,解 事件 表示 “出厂时经检验第i台挖掘机不合格”，i=1,2,3.,1）这时第2台，第3台挖掘机可能合格，也可能不合格. 因此该事件可表示为 A1 ;,.,2）这时只有第1台挖掘机合格，而第2台,第3台挖掘机肯定不合格，因此该事件可表示为,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,17,例8 某重型机械厂一周内生产了三台挖掘机，设事件Ai 表示 “出厂时经检验第i台挖掘机合格”，i=1,2,3，试用A1,A2,A3表示下列随机事件.,1）第1台挖掘机合格；2）只有第1台

12、挖掘机合格； 3）恰有1台挖掘机合格；4) 恰有2台挖掘机合格； 5）至少有1台挖掘机合格；6）至多有1台挖掘机合格.,.,解 3）该事件可表示为 ;,4）该事件可表示为 ;,5）该事件可表示为 ;,6）该事件可表示为 .,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,18,.,.,解 1） 表示n个零件全是正品 ;,2） 表示至少有1个零件不是正品 ;,3） 表示仅有1个零件不是正品 .,1.2.1概率的统计定义,定义13 如果在n次重复试验中事件A发生了nA次，则称nA /n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)，即,1.2 事件的频率与概率,欧启通主编. 概率

13、论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,19,随机事件发生的可能性有大小之分,投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大小令出现点数，出现偶数点，则B比A更容易出现。,fn(A),频率有以下三个性质:,(1) 非负性: 0fn (A)1; (2) 规范性: fn () =1;,(3) 频率的有限可加性:若A1，A2，Am 是两两互不相容的事件，则,频率在某种意义下反应了事件发生的可能性大小。 频率的缺陷是其取值依赖于具体的试验。,抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律。,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,20,大量次的观察，发现尽管事件发生的频率具

14、有波动性, 但频率具有稳定性,我们称之为随机事件的统计规律性。,频率具有稳定性,定义14 在相同条件下大量重复进行的n次试验中，事件A发生的频率fn(A) 稳定的在某一常数p附近摆动且随n越大摆动幅度越小，则称p为事件A的概率，记作P(A),欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,21,1.2.2概率的公理化定义,定义15 设E是随机试验，是它的样本空间，对于E的每一事件A对应于一个实数P(A)，称P(A)为事件A的概率，若P(A)满足下列三个条件： (1)非负性:对任意事件A,有 0P(A); (2) 规范性:P()=1； (3) 可列可加性: 对于两两互不相容的事

15、件A1，A2，有,利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,22,性质1,证明: 因为,由可列可加性,故,性质2 若A1，A2，An为两两互不相容的事件，则,由可列可加性有,1.2.3 概率的性质,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,23,性质3 对于任一事件A，有,证明: 因为,则有,于是有,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,24,则有 P(BA)= P(B)P(A).,证明 由于AB,知 B =A(BA) 且 A (BA) = , P(B) = P(A)+ P(

16、BA), 于是 P(BA) = P(B)P(A).,性质4 设A，B是两事件，若AB,性质5 (B )=(B-A)=P(B)-P(AB).,证明 因为 且 ,与性质4同理可证得(B-A)=P(B)-P(AB).,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,25,证明:由于 A , 根据单调性可得 0 P (A) 1.,性质6 设A，B是两事件，若AB,则有 P(A) P(B).,性质7 对于任意一个事件A，有0 P (A) 1.,证明:由性质4可得 P(BA) = P(B)P(A),因为概率的非负性,所以P(A) P(B)成立.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学

17、出版社, 2014.2,26,性质8 设任意两个事件A、B，则 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),证明 由右图可知 AB=A(B - AB)且,由概率可加性及性质4得 P(AB)=P(A)+P(B - AB)=P(A)+P(B) - P(AB）,A(B - AB)=，ABB,推论1. P(AB ) P(A)+P(B).,推论2. 设随机事件A1, A2, A3 , 则,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,27,推论3 设A1，A2，An 是 n 个随机事件，则,性质9 设A1，A2，An 是任意n 个随机事件，有,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学

18、出版社, 2014.2,28,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,29,.,例10 设A、B、C是三个事件，若P( )=0.5，P(B)=0.4，P( B)=0.2，求（1）P(AB)；（2）P( )；（3）P(A B)；(4)P( ).,解 (1)因为 , 所以 ,从而 =0.4-0.2;,(2),，故,(3),(4),欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,30,.,解 A,B,C 都不发生可以表示为 ,由,，且已知,，得,故,易知,1.3.1 古典概型,定义16 若试验E具有以下两个特征： (1)有限性:试验E的样本空间仅含有有限个

19、样本点，即 =1，2，n； (2)等可能性:每个基本事件的发生是等可能的，即 P(1)=P(2)=P(n)。则称这类试验的数学模型为古典概型。,1.3 古典概型和几何概型,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,31,设一个古典概型E的样本空间中共有n个样本点,有利于事件A的样本点数为nA,那么事件A的概率为：,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,32,例12 将一颗骰子连掷两次，试求下列事件的概率：(1)两次掷得的点数之和为9；(2)第二次掷得6点.,解 将掷骰子两次看做一次试验，第一次掷得i点，第二次掷得j点，则样本空间为：,显然共有

20、36个样本点，因为骰子质量均匀，故每个点面朝上是等可能的，从而是古典概型.,设A表示点数之和为9，B表示第二次掷得6点，则,根据定义，得,.,.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,33,对于计算第二次掷得点数为6的概率也可以这样计算：因为事件B只与第二次掷骰子结果有关，而与第一次掷得结果是没有关系的，而第二次掷骰子共有6种情况，且等可能，故,.,古典概型是最难的一类题型，难点在于人们往往不知道如何求样本点总数与A中的样本点数. 下面我们简述一下加法原理、乘法原理和排列组合的相关内容. 然后再通过一些例子来说明古典概型求概率的方法.,欧启通主编. 概率论与数理统计

21、. 浙江大学出版社, 2014.2,34,1加法原理：若完成某件事有m类不同方式，第一类方式有n1种完成方法，第二类方式有n2种完成方法， ，第m类方式有nm种完成方法，则完成这件事共有n1 + n2 + +nm种方法.,2乘法原理：若完成某件事必须经过m个不同步骤，第一个步骤有n1种完成方法，第二个步骤有n2种完成方法，第m个步骤有nm种完成方法，则完成这件事共有n1n2nm种方法.,3排列：从n个不同元素中任意取出r(1rn)个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取r个元素的排列. 这时既要考虑取出的元素，又要顾及取出的顺序.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社

22、, 2014.2,35,.,排列数：从n个不同元素中取r（1rn）个元素的所有排列的个数，记为,排列数 的计算如下： （1）有放回地选取：每次选取都有n种可能，由乘法原理知,. （2）不放回地选取：第一次选取有n种可能，第二次选取有n-1种可能，第r次有n-r+1种可能，由乘法原理知,. 特别地，当n=r时，称为全排列，此时,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,36,组合数：从n个不同元素中取r(1rn)个元素的所有组合的个数，记为 .,由乘法原理知，排列数与组合数的关系为 . 于是，有,4组合：从n个不同元素中任意取出r(1rn)个元素并成一组，称为从n个不同元

23、素中取r个元素的组合. 这时只考虑取出的元素，不管取出元素的先后顺序.,组合数有如下性质：,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,37,例13 在09的整数中可重复地随机取6个数字组成六位数，求下列事件的概率.(1)6个数字完全不同；(2)6个数字中不含0和1.,解 从10个数中允许重复地取6个数进行排列，共有9105种排列方法.,(1)事件A=“6个数完全不同”的取法有 种，故,(2)事件B=“6个数字中不含0和1”的取法有nB=86种，故,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,38,例14 已知一个装有10只某元件的箱子中，有次品3只

24、. 现在分别按(1)放回抽样（每次取一只元件，取出后放回）；(2)不放回抽样（每次取一只元件，取出后不放回）的方式随机地连续从箱中取出3个元件.试求事 =“取出3个元件都是正品”和事件 =“2个是正品，1个是次品”的概率.,解 (1)放回抽样 由于每次元件取出看完后再放回箱子中，所以每次都是从10个元件抽取，样本空间的样本点即为从10个元件中每次取一个连取3次的所有可能取法，有103=1000种，即样本空间的样本点总数为1000.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,39,而B中含有的样本点数nB，即是3次抽取中有2次取的是正品中，1次取的是次品的不同取法数为 =

25、441 ，于是nB=441. 所以,而A中含有的样本点数nA，即是每次从7个正品中取出一个，连取3次的不同取法数为73=343，于是nA=343.所以,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,40,（2）不放回抽样 由于每次元件取出之后不再放回，所以第一次有10个元件可取，任取一个有10种可能取法，第2次只能从剩下的9个元件中抽取，有9种不同取法，类似地，第3次仅有8种不同取法. 因此，样本空间中的样本点总数n=1098=720.,同理，事件A所含的样本点数为nA=765=210，事件B含有的样本点数为 =3763=378.所以,古典概型有许多方面的应用，都能用这个模

26、型来求解，这些问题大多数都能形象化地用摸球模型的红球和白球来描述.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,41,例15 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任一间(nN)，求下列事件的概率：(1)A=某指定的n间房中各住1个人；(2)B =每个人住不同房间；(3)C=某指定的房间住k个人.,解 因每个人都有N个房间可供选择，由乘法原理知：样本空间中样本点总数有Nn种.,(1)安排某指定的n间房间各住1个人，相当于对这n个人进行全排列，因A中含有的样本点数为n!种，所以，,.,(2)事件B分两个步骤，首先从N个房间中指定n间房间，有 种，然后再将这n个人安

27、排到已选定的这n个房间，由(1)知有n!种，根据乘法原理事件B包含的样本点数为 ,所以,.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,42,例15 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任一间(nN)，求下列事件的概率：(1)A=某指定的n间房中各住1个人；(2)B =每个人住不同房间；(3)C=某指定的房间住k个人.,.,.,(3) 事件C分两个步骤，首先从n个人中选k个人入住指定的房间，有 种方法，然后再将剩下的n-k个人安排到余下的任意一间，有(N-1)n-k种方法. 于是事件C中包含的样本点数为 ，所以,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社

28、, 2014.2,43,例16 求任意n(n365)个人中至少有两人同一天生日的概率.,解 记事件A=n个人中至少有两人同一天生日. 要直接计算P(A)非常困难，我们可以先计算 . 因 =n个人中没有人同一天生日，若把一年365天中的每一天看成一个房间，某人在某一天生日看成是将某人分进某一房间，这样 可理解为将n个人分配到不同的房间去. 这样，,于是,对n=20,30,40,50，计算的结果如下表：,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,44,例17 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规

29、定的？,解 不妨假设接待时间是没有规定的，一周内的每一天都是有可能的，且是等可能的.据古典概率，12次接待来访者都在周二、周四的概率是212/712=0.000000296. 这个值很小，也就是说发生12次接待来访者都在周二、周四的可能性很小.,“概率很小的事件在一次试验中几乎是不发生的”，称之为实际推断原理. 按此原理，在假设成立条件下，12次接待来访者都在周二、周四一般是不会发生的，但是这个事实却发生了，从而假设是不成立，即接待时间是有规定的.,古典概型的局限很显然:它只能用于全部试验结果为有限个,且等可能的情况. 但在某些情况下,这概率可以稍微延伸到试验结果有无穷多的情况,这就是所谓的

30、“几何概型”.,古典概型的条件与局限,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,45,1.3.2 几何概型,定义17 如果随机试验E的样本空间为某一可度量的区域，并且在中任一子区域A出现的可能性大小与该区域的几何度量成正比，而与A的形状和位置无关，则称E为几何概型.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,46,对于几何概型E，若其样本空间为欧氏空间的一个区域，以m()表示的几何度量. A是中一个可以度量的子集，则随机事件A的概率为,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,47,例18 公共汽车每隔10分钟来一辆，某乘

31、客在任一时刻随机到达停车站，试求该乘客候车不超过4分钟的概率.,解 从前一辆公共汽车开走起计算时间，乘客到达车站的时刻t可以是 0,10)中任一点，即样本空间为=t|0t10，因乘客是在任一时刻随机到达该车站，知乘客到达时刻t均匀分布在内，故该问题是几何概型.,设A表示“乘客候车不超过4分钟”事件，则 A=t|6t10,故,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,48,例19 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段随机地到达. 试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.,解 把一昼夜这一时间段以小时为单位记作0,24)，设x,y分别

32、表示甲、乙两艘轮船到达泊位的时刻(单位：小时).于是(x,y)表示一个样本点. 样本空间=(x,y)|0 x24,0y24，因此，m()=242=576.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,49,例19 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段随机地到达. 试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.,设事件A表示“这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待”.事件A也可等价地表示为“这两艘船到达泊位的时间差不超过6小时”.,于是，A=(x,y)|x-y|6，因此，m(A)=242-(24-6)2=252， 所以由几何概率的计算公式

33、有,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,50,例20 在400毫升的水中有一随机游动的大肠杆菌, 今从中任取2毫升水, 试求在这2毫升中发现该大肠杆菌的概率.,解 设事件A为“在所取的2毫升中发现大肠杆菌”, 则当大肠杆菌落入该特定的2毫升中时, 称事件A发生. 显然,试验的可能结果, 即样本点总数有无穷多，并且每一样本点出现具有等可能性: 即该大肠杆菌处在这400毫升水中的任何一点上是等可能性的,并且它落入某特定的一部分水中的可能性大小与这一部分水的体积成正比, 而与这一部分水在400毫升水中所处的位置无关. 于是,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版

34、社, 2014.2,51,.,古典概型与几何概型是两类最基本的概率模型, 其不同点在于样本点是有限个还是无限个,相同点则是样本点的发生都具有等可能性，我们称具有这种性质的概率模型为等可能概型，两者概率求法公式类似,可大致地记为部分量除以总量.,1.4.1 条件概率与乘法公式,1.4 条件概率,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,52,例21 将一枚硬币抛掷2次，观察其出现正面H和反面T的情况. 设事件A为“至少有1次出现正面H”, B为“2次掷出同一面”. 求事件A已经发生的情况下事件B发生的概率.,解 将一枚硬币抛掷2次，观察其出现正面H和反面T的情况.这个试验

35、的样本空间为=HH,HT,TH,TT，A=HH,HT,TH, B=HH,TT，显然，这是古典概型.,在事件A已经发生的情况下，则“TT”就不能发生了，因此试验所有的可能结果所组成的集合就是A. A中有3个元素，其中只有HHB，于是，事件A已经发生的条件下事件B发生的概率P(B|A)=1/3.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,53,在这里，我们看到 .另外，我们注意到， ,于是有,在例21中，有 .在更一般的情况下，我们给出条件概率的定义.,定义18 设A, B为随机试验E 的两个事件，且P(A)0，则称,为在事件 A已发生的条件下,事件B发生的条件概率.,条件

36、概率P(|A)符合概率公理化定义的三个公理，即 (1)非负性 P(B|A)0； (2)规范性 P(|A)=1； (3)可列可加性 设B1,B2,是可列个两两互不相容的事件，则,由此可知，概率的有关性质，对条件概率也都适用.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,55,例22 某年级有学生180人，其中男生100人，女生80人，男女生中党员人数分别有20人和5人.现从该年级中选一名同学，求：(1)该生为党员的概率是多少？(2)若已知选出的是女生，她是党员的概率又是多少？,解 设A=“任选一名为女生”，B=“任选一名学生为党员”，由题设可得(1) ;,（2）就是要求在“

37、已知事件A发生的条件下事件B发生”的概率，用条件概率公式，有,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,56,.,此题也可以用缩小样本空间的方法来做. 既然已知选出的是女生，那么男生就可排除在考虑范围之外，因此“事件A已发生的条件下事件B发生”就相当于在全部女生中任选一人，并选出党员. 从而A样本点总数不再是原样本空间的180人，而是全体女生数80人，而上述事件中包含的样本点数就是女党员数5人，因此所求概率为,.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,57,.,综上, 计算条件概率有两种方法: (1) 设E是一个试验, 其样本空间为,A,B为

38、E的事件, 可先计算P(A)，P(AB)，再按(1-3)式求得P(B|A). (2) 若在原来试验E的基础上,再加上事件A发生的条件,便可在减缩了的样本空间A中计算事件B发生的概率,从而得到P(B|A).,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,58,例23 设一袋中有10个球, 其中3个白球，7个红球, 先后从袋中不放回两次从袋中摸球.(1)第一次取到白球的概率.(2)已知第一次取到的是白球，求第二次取到的仍是白球的概率.,解 记事件A为“第一次取到的是白球”，事件B为“第二次取到的是白球”,则由古典概型知(1)P(A)=3/10;,（2） ,从而,.,在缩减了的样

39、本空间B中考虑，即从直观上来看，第一次取到一个白球，那么还剩9个球，其中白球只有2个了，故当第一次取到白球后，第二次取到白球的概率等于,.,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,59,定义19 设有两个事件A、B，若P(A)0，则P(AB)=P(A)P(B|A)，或者当P(B)0时，有P(AB)=P(B)P(A|B)成立，称它们为乘法公式.,由条件概率的定义可得：,一般地，设有n个事件A1,A2,An，且P(A1A2An-1)0，则,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,60,例24 设一批电子元件共100个,其中有10个次品，采用不放回

40、地抽取3次，每次抽一个，求第3次才抽到合格品的概率.,解 设事件Ai(i=1,2,3)为“第i次抽到合格品”，则有,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,61,例25 签筒中放有10支签，其中只有一支是“好”签. 10人依次随机地从中取走一签，求第i(i=1,2,10)人抽得“好”签的概率.,解 设Ai(i=1,2,10)表示第i人抽得“好”签.,所以,.,这道题的结果说明了抽签问题是与抽签的顺序无关的，是公平的.,定理1 设试验的样本空间为，设事件A1，A2，An为 样本空间的一个划分，且P(i)0 (i =1,2, ,n) 则对任意事件B，有,B,证明 因为Ai

41、 Aj = （ij）,按概率的可加性及乘法公式有,1.4.2 全概率公式,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,62,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,63,例26 某工厂的甲、乙、丙车间生产同一种产品，产量依次占总产量的30%、30%、40%，而三个车间的产品次品率分别为5%、3%、2%. 现从该厂产品中随机抽取一件，试求该产品是次品的概率.,解 设Ai (i=1,2,3)分别表示取到甲、乙、丙车间生产的产品，B表示取到的产品是次品，则A1,A2,A3为的一个划分.,由题意知,由全概率公式有,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大

42、学出版社, 2014.2,64,例27 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率.,解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别为A1,A2,A3,A4，则它们构成样本空间的一个划分，用B表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒的事件，则由全概率公式,乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因”的概率

43、.,贝叶斯公式,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,65,定理2 设A1，A2，An为样本空间的一个划分，且 P(Ai)0（i=1,2,n），则对于任何一事件B ( P(B)0), 有,于是 （j=1，2，n）。,事实上，由条件概率的定义及全概率公式,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,66,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,67,例28 (续例26)某工厂的甲、乙、丙车间生产同一种产品，产量依次占总产量的30%、30%、40%，而三个车间的产品次品率分别为5%、3%、2%.若某次抽得的一件是次品，则这

44、件产品是甲车间生产的概率.,解,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,68,例29 据调查某一地区患有癌症的人占0.0003，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，今有一人检查结果为阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,解 设事件A=居民患有癌症，B=试验结果为阳性，由题意有,于是可得,由贝叶斯公式，可得,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,69,这表明在检查结果为阳性的人中，真患癌症的人只有0.708%，还不到1%，为什么检验法的准确率这么高（达到95%），失误的概率也很小（才4%），可

45、检验结果却非常值得怀疑呢？,事实上，由于在人群中未患这种病的人占到了99.97%，因此检验为阳性者中还是未患癌症的人居多.,在实际中，一般先用简易办法排查掉大量明显不是患者的人，当医生怀疑某人有可能是患癌症时，才建议用这种检验法. 这时被怀疑的对象中患癌症的概率已大幅提高了，如P(A)=40%，再用贝叶斯公式计算，可得P(A|B)94.06%，这样就大大提高了检验法的准确率.,例30 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率,解 记Ai=该学生第i次考试及格

46、，i=1,2显然为样本空间的一个划分，且已知,于是，由全概率公式得,由贝叶斯公式得,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,70,一般地 P(A|B)P(A), 即B的发生，会对A的发生产生影响，但在某些情况下有(A|B)P(A)，如： 设盒中3个白球，2个红球，从中取球两次，每次一个，就 a)不放回取样; b)放回取样; 求下列事件的概率： (1) 第二次取得红球的概率； (2) 在第一次取得白球的条件下，第二次取得红球的概率 解 设第一次取得白球，第二次取得红球, a)不放回取样 (1) P(B)=2/5, (2) P(B|A)=2/4, P(B)P(B|A);

47、b)放回取样 (1) P(B)=2/5, (2) P(B|A)= 2/5 , P(B)P(B|A) .,1.5 事件独立性,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,71,定义20 设A、B 是E的两个事件，如果满足等式 P(AB) = P(A)P(B), 则称A、B为相互独立的事件。,由定义得：必然事件及不可能事件与任何事件都相互独立。,定理3 若P(A)0, P(B)0,则A和B独立的充要条件是 P(B|A)=P(B);,所以,和B相互独立,1.5.1 事件的独立性,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,72,例 分别掷两枚均匀的硬币，令

48、A=硬币甲出现正面H，B=硬币乙出现反面T，试验证A、B相互独立,解 样本空间=HH, HT, TH, TT共含有4个基本事件，它们发生的概率均为1/4而A=HH, HT，B=HT, TT，AB=HT，故有,P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ，,所以A、B相互独立,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,73,定义21 三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式,则称三事件A、B、C 相互独立。,1） 仅满足(1)式，则称三事件A、B、C两两相互独立。,事件两两独立，不一定相互独立。,2）关系式(1) (2)不能互相推出。,

49、欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,74,定义22 n个事件A1, A2, , An,如果对于任意k(1kn）, 任意1i1i2ikn，满足等式,则称A1，A2，An是相互独立的事件。,要说明A1，A2，An相互独立，需验证上述多个等式成立。,注：(1)若n个事件A1, A2, , An独立，则其部分事件组也独立；,(2)若n个事件A1，A2，An独立，则将其中部分事件换为对立事件所得的事件组也独立,(3) 若A1，A2，An是相互独立的，则,P(A1A2An)= P(A1)P(A2)P(An)，,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,75,欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2,76,例31 在一个均匀的正四面体的四个面上分别涂上红色、蓝色、黄色和红、蓝、黄色，抛掷该四面体，设事件A为有红色一面着地，事件B为有蓝色一面着地，事件C为有黄色一面着地，则,，,且,但是,本题说明事件A,B,