回归分析的基本思想及其初步应用.ppt

1、31回归分析的基本思想及其初步应用,1通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用 2会求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报.,1线性回归模型及随机误差e的来源(重点) 2残差及残差分析的方法(难点),2011年，日本发生了9级特大地震，是一个多世纪以来全世界特大的地震之一，而且余震不但级别高还很频繁，有大约63次不低于5级的余震，其中至少9次超过了6级 你知道地震的震级与地震次数之间有什么关系吗？,(2)基本概念 a和b为模型的未知参数 e是y与bxa之间的误差，通常e为随机变量，称为 x称为 ，y称为,随机误差,解释变量,预报变量,越小,(2)残差图法 残差点 落在水

2、平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域宽度 ，说明模型的精确度越高,比较均匀,越窄,R2越接近于1,3建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是，哪个变量是 (2)画出确定好的 和 的 ，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系)；,解释变量,预报变量,解释变量,预报变量,散点图,(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数； (5)得出结果后分析 是否异常(如个别数据对应残差 ，残差呈现不 等)，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等,残差图,过大,随机的规律性,1设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线

3、的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有() Ab与r的符号相同 Ba与r的符号相同 Cb与r的符号相反 Da与r的符号相反 解析：因为b0时，两变量正相关，此时r0；b0时，两变量负相关，此时r0，所以选A. 答案：A,解析：R2越大，说明模型的拟合效果越好 答案：C,3若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)之间满足yibxiaei(i1,2，n)，且ei恒为0，则R2为_ 答案：1,4为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示： (1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R2； (3)进行残差分析,解析：(1

4、)散点图如图,(2)列表如下：,(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系.,有一位同学家里开了一个小卖部，他为了研究气温对热茶销售杯数的影响，经过统计，得到一个卖出热茶杯数与当天气温的对比表：,(1)求热茶销售杯数与气温的线性回归方程； (2)预测气温为10 时热茶的销售杯数 根据样本点数据画出散点图利用散点图直观分析热茶销售杯数y与气温x具

5、有线性相关关系，利用线性回归方程中参数的计算公式可得线性回归方程并进行预测,解题过程(1)所给数据的散点图如图所示,题后感悟(1)在研究两个变量之间的关系时，首先可依据散点图初步判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，它们线性相关的强弱程度可通过线性相关系数值与1的接近程度来确定如果本身两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的,1.以下是收集到的房屋的销售价格y与房屋的大小x的有关数据 若y与x呈线性相关关系，求回归直线方程,解析：作出散点图,某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的

6、相关关系，随机抽取10户进行调查，其结果如下：,(1)作出散点图； (2)求出回归方程； (3)作出残差图； (4)计算相关指数R2； (5)试预测月人均收入为1 100元和月人均收入为1 200元的两个家庭的月人均生活费,规范解答(1)作出散点图如图所示，由图可知月人均生活费与月人均收入之间具有较强的线性相关关系 2分,(3)残差分析，列表如下：,作残差图如图所示，由图可知残差点比较均匀地分布在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 8分,(4)计算相关指数R20.986 3，说明城镇居民的月人均生活费的差异约有98.63%是由月人均收入引起的. 10分 (5)由以上分析可知，我们可以利用

7、回归方程0.659 9x58.723 9来计算月人均生活费的预报值 将x1 100代入，得y784.61， 将x1 200代入，得y850.60. 故预测月人均收入分别为1 100元和1 200元的两个家庭的月人均生活费分别为784.61元和850.60元. 12分,题后感悟该类题属于线性回归问题，解答本类题目应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析,2.某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下： (1)作出散点图； (2)求出回归方程； (3)作出

8、残差图； (4)计算相关指数R2； (5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩,解析：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如下图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系,(2)列表计算：,(3)残差分析 作残差图如下图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适,(4)计算相关指数R2 计算相关指数R20.985 5.说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的 (5)做出预报 由上述分析可知，我们可用回归方程1.041 5x0.003 02作为该运动员成绩的预报值 将x47和x55分别代入该方程可得y49和y57.故预

9、测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.,在一化学反应过程中某化学物质的反应速度y g/分与一种催化剂的量x g有关，现收集了8组数据列于表中，试建立y与x之间的回归方程.,解题过程根据收集的数据作散点图(如图),根据样本点分布情况，可选用两种曲线模型来拟合 (1)可认为样本点集中在某二次曲线yc1x2c2的附近令tx2，则变换后样本点应该分布在直线ybta(bc1，ac2)的周围 由题意得变换后t与y的样本数据表如下：,作y与t的散点图： 由y与t的散点图可观察到样本数据点并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程ybta来拟合，即不宜用二次曲线yc1x2c2来拟合y与x之

10、间的关系,(2)根据x与y的散点图也可以认为样本点集中在某一条指数型函数曲线yc1ec2x的周围 令zln y，则zc2xln c1， 即变换后样本点应该分布在直线zbxa(aln c1，bc2)的周围， 由y与x的数据表可得z与x的数据表如下：,作出z与x的散点图(如图)：,题后感悟研究两个变量的关系时，根据样本数据作出散点图观察散点图中样本点的分布，从整体看，如果样本点没有分布在某一条直线附近，我们就称这两个变量之间不具有线性相关关系 当回归方程不是形如ybxa(a，bR)时，称之为非线性回归方程 列举通过变量代换，把非线性回归方程转化为线性回归方程：(1)yaxm(a，m为常数，a，x，

11、y取正值)，令uln y，vln x，bln a，则umvb.,3.下表为收集到的一组数据： (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系； (2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差； (3)利用所得模型，预报x40时y的值,解析：(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线yc1ec2x的周围，其中c1、c2为待定的参数,(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令zln y，则有变换后的样本点应分布在直线zbxa，aln c1，bc2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以

12、转化为：,1如何理解回归分析？ (1)从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 (2)对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 (3)利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,3如何理解随机误差e的主要来源？ (1)用线性回归模型近似真实模型(真实模型是客观存在的，但我们并不知道到底是什么)所引起的误差可能存在非线性的函数能更好的描述y与x之间的关系，但我们现在却用线性函数来表述这种关系，结果就产生误差，这种由于模型近似所引起的误差包含在e中 (2)忽略了某些因素的影响影响变量y的因素不止变量x一个，可能还有其他因素，但通常它们每一个因素的影响可能都比较小，它们的影响都体现在e中,(3)观测误差由于测量工具等原因，得到的y的观测值一般是有误差的，这样的误差也包含在e中 以上三项误差越小，则回归模型的拟合效果越好,显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好 在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强，回归的效果越好 如果某组数据可能采