11(3)格林公式及其应用.ppt

1、1,，其中积分区域,是由,和,所围成.,习题10-6,1.2,解：积分区域,可用不等式表示为,2,(1.3),其中积分区域,解：在极坐标下，积分区域,3,2.2 改变下列二重积分的顺序,解：,4,2 计算, 其中,为上半圆周,与,轴围成的区域的整个边界.,解:,，其中,故,5,3 计算,其中,为折线,，这,依次为点,和,解:,故得,所在直线方程为,从而直线段,的参数方程为,其中,，,故得,所在直线方程为,6,故直线段,的参数方程为,其中,故,7,4 计算,为圆周,，直线,及,轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.,解:,由线段,，,圆弧,和线段,组成.,8,于是,9,5. 计算,，,为锥面螺线

2、,，,，,上相应于,从,变到,的一段弧.,解: 因为,，,，,故,故,10,11,2.5一力场由沿横轴正方向的恒力,所构成，试求当一,的质点沿圆周,移过位于第一象限的那一段弧时,质量为,场力所作的功.,.,按逆时针方向,解: 依题意，,，,12,第三节 格林公式及其应用,格林(Green)公式,平面上曲线积分与路径无关的条件,二元函数的全微分求积,第十章 曲线积分与曲面积分,13,1. 区域连通性的分类,设D为平面区域,复连通区域,单连通区域,一、格林公式,否则称为,则称D为平面,复连通区域.,成的部分都属于D,如果D内任一闭曲线所围,单连通区域,14,格林定理(定理1),设闭区域D由分段光滑

3、的,曲线L围成,在D上具有,一阶连续偏导数,则有,2. 格林公式,公式(1)称,其中L是 D的取正向的边界曲线.,格林公式.,15,当观察者沿边界行走时,(1) P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;,(2) 曲线L是封闭的,并且取正向.,注,规定,边界曲线L的正向,区域D总在他的,左边.,16,(1)先对简单区域证明:,证明,若区域D既是,又是,即平行于坐标轴的直线,和L至多交于两点.,17,同理可证,18,(2) 再对一般区域证明:,若区域D由按段光,(如图),将D分成三个既是,又是,的区域,滑的闭曲线围成.,19,20,(3) 对复连通区域证明:,由(2)知,若区域不止由一条闭曲线,添加

4、直线段,则D的边界曲线由,及,构成.,所围成.,对复连通区域D,格林公式,且边界的方向对区,的曲线积分,右端应包括沿区域D的全部边界,域D来说都是正向.,G,F,21,便于记忆形式:,格林公式的实质,之间的联系.,沟通了沿闭曲线的积分与,二重积分,22,(1) 计算平面面积,3. 简单应用,格林公式,得,闭区域D的面积,23,例 求椭圆,解,由公式,得,D,所围成的面积.,24,(2) 简化曲线积分,例,其中L为圆周,解,由格林公式有,的正向.,25,设 L 是一条分段光滑的正向闭曲线, 证明,证: 令,则,利用格林公式 , 得,例,26,解,由格林公式,练习,27,对平面闭曲线上的对坐标曲线

5、积分,比较简单时,常常考虑通过格林,公式化为二重积分来计算.,28,例,计算,分析,但由,可知,非常简单.,的上半圆周,到点,此积分路径,不是闭曲线!,29,为应用格林公式再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单,使之构成,闭曲线.,所以,因而这里补加直线段,直线段.,通常是补充与坐标轴平行的,L不闭合+边L,使L+ L闭合,再用格林公式.,由格林公式,解,的方程为,故,所以,30,其中L 为上半,从 A (4, 0) 到O(0,0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,练习 计算,31,解,记L所围成的闭区域为D,其中

6、L为一条分段光滑,且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向.,例,令,有,32,即L为不包围原点,的任一闭曲线.,即L为包围原点在内的任一,闭曲线.,由格林公式,应用由格林公式,得,作位于D内圆周,33,注意格林公式的条件,其中l 的方向取,逆时针方向,34,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,35

7、,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明 (1) (2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),36,证明 (2) (3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数,37,证明 (3) (4),设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,38,证明 (4) (1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得,所围区域为,证毕,39,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,说明:,40,其中L为,(1) 抛物线,(2) 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,例 计算,41,解,原式=,原积分与路径无关.,例,42,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,例 验证,43,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证: 令,则,由定理2 可知存在原函数,例. 验证,