电子科技大学随机信号分析课件 第2章 随机信号.ppt

1、1,第二章 随机信号,2,本章的主要内容,随机信号的基本概念 随机信号的概率分布函数 随机信号的概率密度函数 随机信号基本的矩函数 正交 互不相关与统计独立,3,几个简单的定义 对接收机的噪声电压作观察 样本函数： 都是时间的函数，称为样本函数。,4,例 用投币实验产生信号。进行投币实验并规定正面对应250Hz的余弦波，反面对应250Hz的正弦波。可见，实验有2种结果波形： 与 ，于是，该实验产生的是这两种可能波形中的一种，是一个随机函数。 这样一个信号就是随机信号，记为： 其中， 是取值0、1等概的随机变量。,5,例 医院登记新生儿性别，男婴记为1，女婴记为0。这份记录可能是：1001101

2、0，也可能是：001010110 ，等等。可见这份记录本质上式无穷多种数列中的某个不能事先确知的数列，它是具有某种统计规律的随机数列。 第n个婴儿的性别记为Xn（），一个二值随机变量,6,随机性：一次实验，随机信号必须取一个样本函数，但所取的样本函数是哪一个，带有随机性。但是，能肯定为所有可能波形中的一个。因此，随机信号不仅是时间t的函数，还是实验可能结果的函数，记做X(t,s)，简写作X(t)。,7,2.1随机信号的定义及分类,一.随机信号的定义 在概率论中，我们对随机变量及其特性进行了研究，此时随机变量在实验中的结果与时间 t 无关。而在实际中，经常会遇到随机变量会随着时间 t 而变化，这

3、时的随机变量就称为随机信号。记为X(t,s) 随机变量 与时间无关 随机信号 与时间有关,8,定义1：若对于每个特定的时间 ， 都是随机变量，则称 为随机信号， 称为随机信号在 时刻的状态。 定义2 ：设随机实验E的样本空间 ，若对于每个元素 ，总有一个确知的时间函数 与它对应，这样，对于所有的 ，就可以得到一簇时间t的函数，称它为随机信号。簇中的每一个函数称为样本函数。,9,定义的理解： 上面两种对随机信号的定义，从两个角度描述了随机信号。具体的说，作观测时，常用定义2，这样通过观测的实验样本来得到随机信号的统计特性；对随机信号作理论分析时，常用定义1，这样可以把随机信号看成为n 维随机变量

4、，n越大，采样时间越小，所得到的统计特性越准确。,10,可以从四个方面对定义进行理解： 1. 一个时间函数族（t和s都是变量） 2. 一个确知的时间函数（t是变量而s固定） 3. 一个随机变量（t固定而s是变量） 4. 一个确定的量（t和s都固定）,11,一般性数学定义 给定参量集T与概率空间 ，若对于每个 ，都有一个定义在 上的实随机变量 与之对应，就称依赖于参量 的随机变量族 为实随机信号或随机过程。,12,二、随机信号的分类 1.按时间参量来分类 时间连续的随机信号：时间t是连续的。 如：正弦随机信号，二进制传 输信号 时间离散的随机信号：时间t是离散的。 如：贝努里随机信号 2.按信号

5、状态取值分类 取值连续的随机信号：X(t)值是连续的 如：正弦随机信号 取值离散的随机信号：X(t)值是离散的 如：贝努里随机信号，二进制传输信号 还有很多的分类方法,13,基本概率特性,一、一维概率分布 随机信号 在任意 时刻的取值 是一维随机变量。概率 是取值 ，时刻 的函数，记做 称为随机信号 的一维概率分布函数。 若有 偏导数存在，则有 为其一维概率密度函数。,14,二维概率分布 为了描述随机信号在任意两个时刻 和 的状态之间的内在联系，可以引入二维随机向量 的分布函数 称为随机信号X(t)的二维概率分布函数。 若 对 的二阶混合偏导存在，则 称为随机信号X(t)的二维概率密度函数。,

6、15,n维概率分布 随机信号X(t)在n个时刻 的取值 构成n维随机变量。类似地，可以定义n维概率分布函数和概率密度函数。,16,例 分析投币实验：正面（记为H）对应250Hz的频率的余弦波cos(500t)，反面（记为T）对应250Hz的正弦波sin(500t)。求： （1）t=1 ms时随机信号的概率密度函数； （2）任意t时刻随机信号的概率密度函数与均值。 解： X(0.001)=H=0， p=0.5 X(0.001)=T=1， p=0.5,17,分析投币实验。求 （1）t1=1ms与t2=0.5ms时随机信号的二维联合概率密度； （2）任意t1和t2时随你信号的二维联合概率密度函数。

7、解：X(t1)与X(t2)的取值,18,而代入t1=0.5ms，t2=1ms,19,例1.1 随机信号U(t)的一维概率密度函数为 不同时刻的随机变量彼此统计独立，求其n维概率密度函数。 解： 时刻，随机变量 统计独立，则,20,基本数字特征,随机变量的矩函数是确定值；随机信号的矩函数是确定性时间函数。 对随机信号矩函数的计算方法：先把时间t固定，再用对随机变量的矩函数计算方法来计算。,21,1、均值函数 显然， 是某个平均函数，随机信号的各样本函数在它附近起伏变化。,物理意义：描述了所有样本函数在各个时刻的摆动中心。,22,2、均方值函数和方差函数 随机信号X(t)在任一时刻t的取值是一个随

8、机变量X(t)。 X(t)的二阶原点矩称为随机信号的均方值函数；二阶中心矩称为随机信号的方差函数。 物理意义：如果 表示噪声电压，则均方值函数 和方差函数 分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。,23,3、自相关函数 先比较两个具有相同均值函数和方差函数的随机信号。,24,上述的随机信号均值函数和方差函数相同，但从样本函数看，两者明显不同。X(t)时间变化慢，不同时刻的两个状态之间依赖性强（相关性强）。Y(t)随时间变化快，不同时刻的两个状态之间依赖性弱（相关性弱）。因此，均值函数和方差函数不能反映随机信号内部变化的快慢，相关性的强弱。 一般用自相关函数来描述随

9、机信号任意两个状态之间的相关程度。,25,自相关函数描述的是随机信号任意两个时刻的状态之间的内在联系。 4、自协方差函数和相关系数函数 自协方差函数是随机信号任意两个时刻的随机变量的二阶混合中心矩。反映了任意两时刻的起伏值之间的相关程度。,26,相关系数函数定义为 5、互相关函数和互协方差函数 两个随机信号X(t)和Y(t)的互相关函数定义为 两个随机信号的互协方差函数定义为,27,自相关函数与互相关函数图,28,检测淹没在随机噪声中的周期信号,29,互相关函数,30,互相关函数在检测技术中的应用,31,（1）确定延迟时间； （2）识别传输路径； （3）检测淹没在外来噪声中的信号； （4）系统

10、脉冲响应的测定。,32,典型随机信号举例,随机正弦信号 贝努里随机序列 半随机二进制传输信号 泊松过程,33,正弦随机信号,给定具有某种分布的振幅随机变量A，角频率随机变量 与相位随机变量 ，以时间参量t建立随机信号 ，观察信号随参量t的各次过程，其样本函数呈现出正弦函数规律。 称为正弦随机信号。,无数个正弦样本函数组成了正弦随机信号，符合定义2中对于随机信号的描述。,34,(1)均值 (2) 自相关函数,35,(3) 一、二阶密度函数 令 根据式1-33、1-34、1-35,36,协方差 方差 相关系数,37,例 假定正弦随机信号 的振幅随机变量A服从0至1之间的均匀分布，计算t时刻随机变量

11、的均值和方差。 解：,38,贝努里随机变量X(s)基于一个投币实验:1表示s为正面；0表示s不为正面；s为正面的概率为PX(s)=1=p，s不为正面的概率为PX(s)=0=q，p+q=1。 若无休止地在t=n(n=0,1,)时刻上，独立地进行（相同的）投币实验，构成无限长的随机变量序列X1,X2, ，其中Xn与n和s都有关，记做X(n,s),贝努里随机信号,39,且有概率： 上述随机信号X(n,s)称为贝努里随机信号或随机序列。,无数个贝努里随机变量构成了贝努里随机信号，符合定义1中对于随机信号的描述。,40,贝努里随机信号的概率特性 （1）对于任一时刻n，Xn是一个贝努里随机变量， Xn0或

12、1。 （2）对于任意两个时刻，构成一个二维随机向量。,41,（3）对于m个时刻的一段，它们构成m维向量。 m个数值中，取k个1的概率为,42,计算贝努里随机信号X(n)的一维，二维概率分布函数和概率密度函数。 解：,43,所以,44,求贝努里随机信号X(n)的均值函数，自相关函数，自协方差函数和相关系数函数。 解：,45,46,半随机二元传输信号,讨论半随机二元传输信号的矩函数。,左图为半随机二元传输信号（初始时刻确定） 右图为随机二元传输信号（初始时刻随机滑动）,47,求 的均值，自相关函数和协方差函数。 解：,48,令事件H为,49,如下图示,50,因此,51,泊松过程,（1）任何长度为的

13、区间上，发生的数目服从泊松分布P()； （2）在不重叠的区间上，发生的行为彼此独立。 泊松过程：N(t), t0，表示到t时刻总的发生数目。,52,（1）均值 （2）自相关函数,53,所以 因t1、 t2互换性 （3）一阶概率密度函数,54,2.3 一般特性与基本运算,联合特性 随机信号X(t)和Y(t)的联合概率密度函数有任意两时刻的随机变量X(t1)和Y(t2)定义 n+m维联合概率密度函数,55,互相关函数 互协方差函数 互相关系数,56,三、随机信号的正交性、互不相关性和独立性,两个随机信号X(t)和Y(t)，有任意两时刻,57,讨论随机信号Z(t)=aX(t)+bY(t) 的均值、自

14、相关函数与协方差函数。 若两信号正交，则,58,讨论两个随机信号 与 。其中，A与为实随机变量，且彼此独立。假定A服从参数为2的瑞利分布， 在-,上均匀分布。 求 它们的互相关函数及其正交与无关性。,59,相关函数与协方差函数的性质,自相关函数 （1）对称性 （2）均方值非负性 （3）方差非负性 （4）相关系数,60,互相关函数 （1）对称性 （2） （4）相关系数,61,2.3.2 微分与积分,1.定积分 随机变量,62,2. 微分 随机信号,63,2.4 多维高斯分布与高斯信号,一维高斯分布,64,多维高斯分布,65,性质 1. 经过任意线性变换后的随机向量仍是高斯分布的。 2. m维边缘概率分布也是高斯的。 3. m维的条件概率分布也是高斯的。 4. 各随机变量相互独立的充要条件是两两互不相关，因此，协方差矩阵为对角阵。,66,2